Đồ thị hàm số\(y = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{x^2} - 1}}\) có bao nhiêu đường tiệm?

Lời giải

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}} = 1\]\( \Rightarrow y = 1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = - \infty \]\( \Rightarrow x = 1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{3}{2}\].

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{3}{2}\].

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.