Cho (d): y = mx – 2 và (P): y = –x2.
a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung với mọi giá trị của m.
b) Tìm m sao cho y1 + y2 = –8.y1.y2.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): mx – 2 = –x2.
⇔ x2 + mx – 2 = 0 (1)
Theo Viet: \(S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - m}}{1} = - m\).
\(P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 2}}{1} = - 2 < 0\).
Suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.
Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung với mọi giá trị của m.
b) Ta có y1 = mx1 – 2; y2 = mx2 – 2.
Theo đề, ta có y1 + y2 = –8.y1.y2.
⇔ mx1 – 2 + mx2 – 2 = –8(mx1 – 2)(mx2 – 2).
⇔ m(x1 + x2) – 4 = –8(m2x1x2 – 2mx1 – 2mx2 + 4).
⇔ m.(–m) – 4 = –8[m2.(–2) – 2m(x1 + x2) + 4].
⇔ –m2 – 4 = –8[–2m2 – 2m.(–m) + 4].
⇔ –m2 – 4 = –8(–2m2 + 2m2 + 4).
⇔ –m2 – 4 = –32.
⇔ m2 – 28 = 0.
\( \Leftrightarrow m = \pm 2\sqrt 7 \).
Vậy \(m = \pm 2\sqrt 7 \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Từ trung điểm H của đoạn OB, kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại C và D.
a) Chứng minh HC = HD và tứ giác ODBC là hình thoi.
b) Tính số đo của \[\widehat {BOC}\].
c) Gọi M là điểm đối xứng của O qua B. Chứng minh MC là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O). Tính MC theo R.
d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt CD ở I. Chứng minh HI.HD + HB.HM = R2.
Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì (M khác A), kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA. Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
1) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.
3) Chứng minh OI.OM = R2; OI.IM = IA2.
4) Chứng minh OAHB là hình thoi.
5) Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6) Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d.
Cho tam giác ABC cân tại A, AM là đường cao. Gọi N là trung điểm AC, D là điểm đối xứng của M qua N.
a) Tứ giác ADCM là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh tứ giác ABMD là hình bình hành và BD đi qua trung điểm O của AM.
c) BD cắt AC tại I. Chứng minh \(DI = \frac{2}{3}OB\).
d) E là hình chiếu của N trên BC. Tam giác ABC cân ban đầu cần thêm điều kiện gì để tứ giác ONEM là hình vuông?
Cho tam giác ABC nhọn (AB > AC), có \(\widehat B = 45^\circ \) và vẽ đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB. P là điểm đối xứng với H qua M.
a) Chứng minh rằng tứ giác AHBP là hình vuông.
b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC. Chứng minh rằng HP = 2MK.
c) Gọi D là giao điểm của AH và BK. Qua D và C vẽ các đường thẳng song song với BC và AH sao cho chúng cắt nhau tại Q. Chứng minh: ba điểm P, K, Q thẳng hàng.
d) Chứng minh các đường thẳng CD, AB và PQ đồng quy.
Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H, K. Một tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các cạnh AB, AC ở M, N.
a) Cho \(\widehat B = \widehat C = \alpha \). Tính \(\widehat {MON}\).
b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.
c) Cho BC = 2a. Tính tích BM.CN.
d) Tiếp tuyến MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?
Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By nằm cùng phía với nửa đường tròn. M là điểm bất kì trên nửa đường tròn (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax và By lần lượt tại E và N.
a) Chứng minh AOME và BOMN là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AE.BN = R2.
c) Kẻ MH vuông góc By. Đường thẳng MH cắt OE tại K. Chứng minh AK ⊥ MN.
d) Giả sử \[\widehat {MAB} = \alpha \] và MB < MA. Tính diện tích phần tứ giác BOMH ở bên ngoài nửa đường tròn (O) theo R và α.
e) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để K nằm trên đường tròn (O).
