Giải bởi Vietjack
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Gọi H là trung điểm của B’C’.
Ta có tam giác A’B’C’ cân tại A (A’B’ = A’C’ = a).
Suy ra A’H vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác A’B’C’.
Do đó A’H ⊥ B’C’.
Mà B’C’ ⊥ AA’ (do AA’ ⊥ (A’B’C’)).
Suy ra B’C’ ⊥ (AA’H) Þ B’C’ ⊥ AH
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AB'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'C'\\\left( {AA'H} \right) \cap \left( {AB'C'} \right) = AH\\\left( {AA'H} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = A'H\\B'C' \bot AH,B'C' \bot A'H\end{array} \right.\)
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’B’C’) là góc giữa hai đường thẳng AH và A’H, tức là \(\widehat {AHA'} = 60^\circ \).
Ta có \({S_{\Delta A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin 120^\circ = \frac{1}{2}a.a.\sin 120^\circ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Lại có \(B'C' = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos 120^\circ } \)
\( = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2a.a.\cos 120^\circ } = a\sqrt 3 \).
Suy ra \(A'H = \frac{{2{S_{\Delta A'B'C'}}}}{{B'C'}} = \frac{{2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{a}{2}\).
Ta có AA’ ⊥ (A’B’C’). Suy ra AA’ ⊥ A’H.
Khi đó \(AA' = A'H.\tan \widehat {AHA'} = \frac{a}{2}.\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là:
\(V = AA'.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{8}\).
Do đó ta chọn phương án A.
Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Từ trung điểm H của đoạn OB, kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại C và D.
a) Chứng minh HC = HD và tứ giác ODBC là hình thoi.
b) Tính số đo của \[\widehat {BOC}\].
c) Gọi M là điểm đối xứng của O qua B. Chứng minh MC là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O). Tính MC theo R.
d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt CD ở I. Chứng minh HI.HD + HB.HM = R2.
Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì (M khác A), kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA. Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
1) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.
3) Chứng minh OI.OM = R2; OI.IM = IA2.
4) Chứng minh OAHB là hình thoi.
5) Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6) Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d.
Cho tam giác ABC cân tại A, AM là đường cao. Gọi N là trung điểm AC, D là điểm đối xứng của M qua N.
a) Tứ giác ADCM là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh tứ giác ABMD là hình bình hành và BD đi qua trung điểm O của AM.
c) BD cắt AC tại I. Chứng minh \(DI = \frac{2}{3}OB\).
d) E là hình chiếu của N trên BC. Tam giác ABC cân ban đầu cần thêm điều kiện gì để tứ giác ONEM là hình vuông?
Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H, K. Một tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các cạnh AB, AC ở M, N.
a) Cho \(\widehat B = \widehat C = \alpha \). Tính \(\widehat {MON}\).
b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.
c) Cho BC = 2a. Tính tích BM.CN.
d) Tiếp tuyến MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?
Cho tam giác ABC nhọn (AB > AC), có \(\widehat B = 45^\circ \) và vẽ đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB. P là điểm đối xứng với H qua M.
a) Chứng minh rằng tứ giác AHBP là hình vuông.
b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC. Chứng minh rằng HP = 2MK.
c) Gọi D là giao điểm của AH và BK. Qua D và C vẽ các đường thẳng song song với BC và AH sao cho chúng cắt nhau tại Q. Chứng minh: ba điểm P, K, Q thẳng hàng.
d) Chứng minh các đường thẳng CD, AB và PQ đồng quy.
Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By nằm cùng phía với nửa đường tròn. M là điểm bất kì trên nửa đường tròn (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax và By lần lượt tại E và N.
a) Chứng minh AOME và BOMN là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AE.BN = R2.
c) Kẻ MH vuông góc By. Đường thẳng MH cắt OE tại K. Chứng minh AK ⊥ MN.
d) Giả sử \[\widehat {MAB} = \alpha \] và MB < MA. Tính diện tích phần tứ giác BOMH ở bên ngoài nửa đường tròn (O) theo R và α.
e) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để K nằm trên đường tròn (O).
Cho (d): y = mx – 2 và (P): y = –x2.
a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung với mọi giá trị của m.
b) Tìm m sao cho y1 + y2 = –8.y1.y2.
