Cho a, b, c là các số dương tùy ý. Chứng minh rằng:
bcb+c+2a+cac+a+2b+aba+b+2c≤a+b+c4.
Lời giải
Ta có: b+c+2a=(a+b)+(a+c)≥2√(a+b)(a+c)
⇒(a+b)(a+c)≤(a+b+a+c)24
⇔1a+b+a+c≤a+b+a+c4(a+b)(a+c)
⇔1a+b+a+c≤14(1a+b+1a+c)
⇒bcb+c+2a≤bc4(1a+b+1a+c)
Tương tự ta có:
cac+a+2b≤ca4(1b+c+1a+b)
aba+b+2c≤ab4(1a+c+1b+c)
Suy ra VT=bcb+c+2a+cac+a+2b+aba+b+2c
≤bc4(1a+b+1a+c)+ca4(1b+c+1a+b)+ab4(1a+c+1b+c)
=14[1a+b(bc+ac)+1a+c(bc+ab)+1b+c(ac+ab)]
=14[1a+b.c(b+a)+1a+c.b(c+a)+1b+c.a(c+b)]
=14(c+b+a)=a+b+c4=VP.
Vậy bcb+c+2a+cac+a+2b+aba+b+2c≤a+b+c4 (đpcm).Cho tam giác ABC vuông cân tại A, tia phân giác của góc B và góc C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh BE = CD, AD = AE.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD, AI cắt BC tại M. Chứng minh tam giác MAC vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE. Các đường này cắt BC tại K và H. Chứng minh HK = KC.
Tìm số nguyên dương n sao cho:
log20182019+22log√20182019+32log3√20182019+...+n2logn√20182019
= 10102 . 20212 log 2018 2019
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x2 + y2 − 4xy
b) 27 + 9x2 + 27x + x3
c) 8z3 + 1
d) (2z − 3)2 − 16
e) (2x − 7)2 − (x + 2)2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 4x2 − 4xy + y2
b) 9x3 − 9x2y − 4x + 4y
c) x3 + 2 + 3(x3 − 2)