Chứng minh các đẳng thức sau:
a) \(\left( {\frac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \frac{{\sqrt {216} }}{3}} \right)\,\,.\,\frac{1}{{\sqrt 6 }} = - 1,5\)
b) \(\left( {\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }} = - 2\)
c) \[\frac{{a\sqrt b + b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a - \sqrt b }} = a - b\] với a, b dương và a ¹ b
d) \[\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right) = 1 - a\] với a ³ 0; a ¹ 0
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) \[\left( {\frac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \frac{{\sqrt {216} }}{3}} \right)\,\,.\,\frac{1}{{\sqrt 6 }}\]
\[ = \left( {\frac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{2\sqrt 2 - 2}} - \frac{{6\sqrt 6 }}{3}} \right)\,\,.\,\frac{1}{{\sqrt 6 }}\]
\[ = \left[ {\frac{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} - 2\sqrt 6 } \right]\,\,.\,\frac{1}{{\sqrt 6 }}\]
\[ = \left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2} - 2\sqrt 6 } \right)\,\,.\,\frac{1}{{\sqrt 6 }}\]
\[ = \sqrt 6 \left( {\frac{1}{2} - 2} \right)\,\,.\,\frac{1}{{\sqrt 6 }}\]
\( = - \frac{3}{2} = - 1,5\)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) \(\left( {\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}\)
\[ = \left( {\frac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}\]
\[ = \left( {\frac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\sqrt 2 - 1}} + \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{\sqrt 3 - 1}}} \right):\frac{1}{{\sqrt 5 - \sqrt 7 }}\]
\[ = \left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)\,.\,\left( {\sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)\]
= 5 − 7 = −2.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) \[\frac{{a\sqrt b + b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a - \sqrt b }}\]
\[ = \left( {\frac{{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\sqrt {ab} }}} \right)\,.\,\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\]
\[ = \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right).\,\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\]
= a – b.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) \[\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)\]
\( = \left( {1 + \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\sqrt a - 1}}} \right)\)
\( = \left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a } \right)\)
= 1 – a.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, tia phân giác của góc B và góc C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh BE = CD, AD = AE.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD, AI cắt BC tại M. Chứng minh tam giác MAC vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE. Các đường này cắt BC tại K và H. Chứng minh HK = KC.
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x2 + y2 − 4xy
b) 27 + 9x2 + 27x + x3
c) 8z3 + 1
d) (2z − 3)2 − 16
e) (2x − 7)2 − (x + 2)2
Tìm số nguyên dương n sao cho:
\({\log _{2018}}2019 + {2^2}{\log _{\sqrt {2018} }}2019 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{{2018}}}}2019 + ... + {n^2}{\log _{\sqrt[n]{{2018}}}}2019\)
= 10102 . 20212 log 2018 2019
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 4x2 − 4xy + y2
b) 9x3 − 9x2y − 4x + 4y
c) x3 + 2 + 3(x3 − 2)
