Cho x, y không âm thỏa mãn: x2 + y2 = 2. Tìm GTNN, GTLN của
\(A = \frac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy + 1}}\).
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Áp dụng BĐT Cauchy, ta được:
\({x^2} + {y^2} \ge 2\sqrt {{x^2}{y^2}} = 2xy \Rightarrow 2xy \le 2 \Leftrightarrow xy \le 1\)
Khi đó: \(A = \frac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy + 1}} \ge \frac{{2 + 1}}{{1 + 1}} = \frac{3}{2}\). Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1.
Vậy GTNN của A là \(\frac{3}{2}\) khi x = y = 1.
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}x;\;y \ge 0\\{x^2} + {y^2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow 0 \le x;\;y \le \sqrt 2 \)
\[ \Rightarrow {x^2}\left( {x - \sqrt 2 } \right) \le 0 \Rightarrow {x^3} \le {x^2}\sqrt 2 \]
Tương tự: \[{y^3} \le {y^2}\sqrt 2 \].
Mặt khác: x; y ³ 0 Þ xy + 1 ³ 1
\( \Rightarrow A \le \frac{{{a^2}\sqrt 2 + {b^2}\sqrt 2 + 1}}{1} = 1 + 2\sqrt 2 \).
Vậy GTLN của A là \(1 + 2\sqrt 2 \) khi \(\left( {a;\;b} \right) = \left( {0;\;\sqrt 2 } \right)\) và hoán vị.
Cho các khẳng định:
(I): Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
(II): Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.
(III): Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng thì chúng thẳng hàng.
Số khẳng định sai trong các khẳng định trên là:
Tìm công thức hàm số bậc hai, biết:
a) Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm A(1; −3), B(0; −2), C(2; −10).
b) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = 3, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −16 và một trong hai giao điểm với trục hoành có hoành độ là −2.
Cho tam giác ABC có AB = AC và D là trung điểm của BC. Gọi E là trung điểm của AC, trên tia đối của tia EB lấy điểm M sao cho EM = EB.
a) Chứng minh DABD = DACD.
b) Chứng minh rằng AM = 2.BD.
c) Tính số đo \[\widehat {MAD}\].
