Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, BD = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30°. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng:
A. \(6\sqrt 3 {a^3}\)
B. \(\frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{9}\)
C. \(2\sqrt 3 {a^3}\)
D. \(\frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Ta có:
(A’BC) ∩ (ABCD) = BD
\(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot B{\rm{D}}\\AO \bot B{\rm{D}}\end{array} \right. \Rightarrow \left( {A'AO} \right) \bot B{\rm{D}}\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'AO} \right) \cap \left( {A'B{\rm{D}}} \right) = A'O\\\left( {A'AO} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = AO\end{array} \right.\)
Suy ra: \(\widehat {\left( {\left( {A'B{\rm{D}}} \right);\left( {ABC{\rm{D}}} \right)} \right)} = \widehat {\left( {A'O,AO} \right)} = \widehat {AO{\rm{A}}'} = 30^\circ \)
Vì ABCD là hình vuông có hai đường chéo cắt nhau tại O
Suy ra O là trung điểm của AC và BD
Do đó \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}B{\rm{D}} = a\)
Xét tam giác A’OA vuông tại A có \(AA' = \tan 30^\circ .AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABC{\rm{D}}}}{\rm{.AA}}' = \frac{1}{2}AC.B{\rm{D}}.AA' = \frac{1}{2}.{(2a)^2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC. Đẳng thức nào sau đây sai?
Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
![Số nghiệm thuộc đoạn [-pi; 2pi] của phương trình 2f(sinx) + 3 = 0 là: A. 4 B. 6 C. 3 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/09/blobid12-1695110777.png)
Số nghiệm thuộc đoạn [–π; 2π] của phương trình 2f(sinx) + 3 = 0 là:
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức \(\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} } \right|\) là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a.
Cho hai học sinh lớp A, ba học sinh lớp B và bốn học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
![Số nghiệm thuộc đoạn [0; 2pi] của phương trình f(cosx) = -2 là: A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/09/blobid18-1695111629.png)
Số nghiệm thuộc đoạn [0; 2π] của phương trình f(cosx) = –2 là:
Cho tam giác ABC vuông tại A, \(BC = a\sqrt 3 \), M là trung điểm của BC và có \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}}}{2}\). Tính cạnh AB, AC.
Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?
Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; –4). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH trong các phương án sau:
Biết rằng phương trình \({\left[ {{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {9{\rm{x}}} \right)} \right]^2} + {\log _3}\frac{{{x^2}}}{{81}} - 7 = 0\) có hai nghiệm phân biệt x1; x2. Tính P = x1x2.
Cho hai số thực a và b với 1 < a < b. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương của tham số m sao cho bất phương trình 4x – m . 2x – m + 15 ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x ∈ [1; 2]. Tính số phần tử của S.
Cho hình nón đỉnh S, góc ở đỉnh bằng 120°, đáy là hình tròn (O; 3R). Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua S và tạo với đáy góc 60°. Diện tích thiết diện là:
