Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C tùy ý trên (O) (C khác A, B và AC < CB). Các tiếp tuyến  của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Dựng CH vuông góc với BD tại H (H nằm trên BD). Đường thẳng DO cắt CH và CB lần lượt tại M và N.

1) Chứng minh tứ giác CNHD nội tiếp được trong đường tròn.

2) Chứng minh CM = CO.

3) Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Chứng minh EA.EB = EC².

4) Khi quay tam giác DNB một vòng quanh cạnh DN ta được một hình nón. Biết OB = 6cm, BD = 8cm. Tính thể tích của hình nón tạo thành.

1) Ta có $CH\perp BD$ nên H nhìn CD dưới một góc vuông (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau CD và BD, ta có DC = DB

Hai bán kính OC = OB

=> OD là trung trực của BC $\Rightarrow OD\perp CB$

=> N nhìn CD dưới một góc vuông (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác CNHD nội tiếp được trong đường tròn.

2) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau CD và BD, ta có DC = DB, ta có $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$

Theo tính chất tiếp tuyến và giả thiết, ta có góc $\widehat{COD}=\widehat{DMH}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$)

Mặt khác $\widehat{DMH}=\widehat{CMO}$ (đối đỉnh) => $\widehat{COD}=\widehat{CMO}$

$\Delta COM$ có $\widehat{COM}=\widehat{CMO}$ 

$\Rightarrow \Delta COM$ cân tại C => CM = CO

3) Xét $\Delta EAC$ và $\Delta ECB$ có góc E chung và góc $\widehat{ECA}=\widehat{CBA}$ (cùng chắn cung AC)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \Delta EAC\backsim \Delta ECB\left(g.g\right) \\ \Rightarrow \frac{EA}{EC}=\frac{EC}{EB}\Rightarrow EA.EB=E{C}^2 \end{gathered}$$

4) Hình nón được tạo bởi tam giác vuông DNB quay quanh DN

Suy ra bán kính r = NB và chiều cao h = ND.

Theo Pythagore cho tam giác vuông BOD vuông tại D có:

$OD=\sqrt{O{B}^2+B{D}^2}=\sqrt{36+64}=10 \left(\text{cm}\right)$.

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông BOD, ta có:

$BN\cdot OD=OB\cdot BD\Rightarrow BN=\frac{6\cdot 8}{10}=4,8 \left(\text{cm}\right)$.

Và $B{D}^2=DN\cdot DO\Rightarrow DN=\frac{64}{10}=6,4 \left(\text{cm}\right)$

Thể tích của hình nón tạo thành

$V=\frac{1}{3}\pi \cdot r^2\cdot h=\frac{1}{3}\pi .{\left(4,8\right)}^2\cdot 6,4=\frac{6144}{125}\pi \approx 154,4156 \left({\text{cm}}^3\right)$.