Cho hàm số y = x² có đồ thị (P).

1) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

2) Tìm giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng $\left(d\right):y=2mx-m^2+1$ cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x₁ , x₂ thỏa mãn x₁ < 2024 < x₂.

1) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số $y=x^2$ là một Parabol (P) đi qua các điểm $\left(-2;\text{4}\right), \left(-1;\text{1}\right) , \left(0;\text{0}\right), \left(1;\text{1}\right), \left(2;\text{4}\right)$

2) Tìm giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng $\left(d\right):y=2mx-m^2+1$ cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1<2024<x_2$.

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm phương trình:

$x^2=2mx-m^2+1\iff x^2-2mx+m^2-1=0 \left(1\right)$

Đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nên ${\Delta }^{\text{'}}>0$

$\iff {\left(-m\right)}^2-1.\left(m^2-1\right)>0\iff m^2-m^2+1>0$

$\iff 1>0$  (luôn đúng với mọi m).

Do đó phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ hay đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_1,x_2$ với mọi giá trị m.

$x_1=\frac{m-\sqrt{1}}{1}=m-1, x_2=\frac{m+\sqrt{1}}{1}=m+1$

Ta có: $x_1<2024<x_2\iff m-1<2024<m+1$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m-1<2024\\ m+1>2024\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<2025\\ m>2023\end{array}\right.$

$\iff m=2024$ (vì cần tìm m có giá trị nguyên)

Vậy $m=2024$ thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1<2024<x_2$.