Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn, từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai tiếp điểm).

1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.

2) Vẽ đường kính CE, nối AE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F.

Chứng minh AB² = AE.AF.

3) Cho OA cắt BC tại H, BF cắt OA tại I. Chứng minh I là trung điểm của AH.

1) Xét tứ giác ABOC có:

$\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90°$ (AC, AB lần lượt là tiếp tuyến tại B, C của (O))

$\Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180°$

Vậy tứ giác ABOC nội tiếp (hai góc đối bù nhau).

2) Xét $\Delta ABF$ và $\Delta AEB$ có:

$\widehat{BAF}$ là góc chung

$\widehat{ABF}=\widehat{AEB}$ (cùng bằng $\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AF}$ của (O))

Do đó $\Delta ABF\backsim \Delta AEB\left(g.g\right)$

$\Rightarrow \frac{AB}{AF}=\frac{AE}{AB}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow A{B}^2=AE.AF$.

3) Xét (O) có AB, AC lần lượt là tiếp tuyến tại B, C của (O), $OA\cap BC=H$.

$\Rightarrow OA\perp BC$ tại H

Xét ABO vuông tại B, đường cao BH, ta có:$A{B}^2=AH.AO$

Do đó $AE.AF=AH.AO \left(=A{B}^2\right)$

$\Rightarrow \frac{AE}{AH}=\frac{AO}{AF}$

Xét AEO và AHF, ta có:

$\widehat{HAF}$ là góc chung

$\frac{AE}{AH}=\frac{AO}{AF}$

Do đó $\Delta AEO\backsim \Delta AHF\left(c.g.c\right)$ 

$\Rightarrow \widehat{AEO}=\widehat{AHF}$ (Hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AHF}+\widehat{FHO}=180°$ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat{AEO}+\widehat{FHO}=180°$ hay $\widehat{FEO}+\widehat{FHO}=180°$

Suy ra tứ giác OHFE nội tiếp (Hai góc đối bù nhau)

$\Rightarrow \widehat{HFE}+\widehat{HOE}=180°$ (Tính chất tứ giác nội tiếp)

Kéo dài AO cắt (O) tại K (O nằm giữa A và K, ta có: $\widehat{KOE}+\widehat{HOE}=180°$)   

$\Rightarrow \widehat{KOE}=\widehat{HFE}$ (cùng bù $\widehat{HOE}$)

Xét (O), ta có:

$\widehat{EBC}=90°$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow EB\perp BC$

Mặt khác, ta có $OA\perp BC$ tại H (cmt) $\Rightarrow AK\perp BC$ 

Do đó: EB // AK (cùng vuông góc với BC) $\Rightarrow \widehat{KOE}=\widehat{OEB}$ (Hai góc so le trong)

$\Rightarrow \widehat{KOE}=\widehat{CEB}$ 

Suy ra $\widehat{HFE}=\widehat{CEB}\left(=\widehat{KOE}\right)$

Xét (O), ta có: $\widehat{BFE}=\widehat{BCE}$ (cùng bằng $\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{BE}$ của (O))

Trong $\Delta EBC$ vuông tại B, ta có: $\widehat{BEC}+\widehat{BCE}=90°$

Ta có: $\widehat{BFH}=\widehat{BFE}+\widehat{HFE}=\widehat{BCE}+\widehat{BEC}=90°\Rightarrow HF\perp BI$ tại F

Xét tam giác BHI vuông tại H, đường cao HF, ta có:

$I{H}^2=IF.IB \left(1\right)$

Xét IAF và IBA, ta có:

$\widehat{AIF}$ là góc chung

$\widehat{IBA}=\widehat{IAF}$ ($\widehat{IBA}=\widehat{BEF}$ cùng chắn cung BF của (O), $\widehat{BEF}=\widehat{IAF}$là hai góc so le trong của EF // AK)

Vậy $\Delta IAF\backsim \Delta IBA\left(g.g\right)$

$\Rightarrow \frac{IA}{IB}=\frac{IF}{IA}\Rightarrow I{A}^2=IF.IB \left(2\right)$

Từ (1) và (2)

=> IH = IA hay i là trung điểm ah.