Trong không gian \[Oxyz,\] cho các đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = - 6 + t{\rm{ v\`a }}}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\) \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = 1 + t}\\{z = - 1 - t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng \((P):x + 3y - z - 1 = 0.\) Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\) thuộc \(d\), tiếp xúc với cả \(\Delta \) và \((P).\) Biết hoành độ điểm \(I\) là số nguyên. Tung độ của điểm \(I\) là
Do \(I \in d \Rightarrow I\left( {t\,;\,\, - 6 + t\,;\,\,2 - t} \right).\)
Ta có \(d\left( {I\,,\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {5t - 21} \right|}}{{\sqrt {11} }}.\)
\[\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2\,;\,\,1\,;\,\, - 1} \right),\,\,M\left( {5\,;\,\,1\,;\,\, - 1} \right) \in \Delta \]\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\,\,\overrightarrow {IM} } \right] = \left( { - 4\,;\,\,t - 1\,;\,\,t - 9} \right)\)
\[ \Rightarrow d\left( {I,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {t - 9} \right)}^2}} }}{{\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt {2{t^2} - 20t + 98} }}{{\sqrt 6 }}\]
Mà \[\left( S \right)\] tiếp xúc với \(\Delta \) và \(\left( P \right)\) nên \(d\left( {I,\,\,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\,\,\Delta } \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {5t - 21} \right|}}{{\sqrt {11} }} = \frac{{\sqrt {2{t^2} - 20t + 98} }}{{\sqrt 6 }}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {5t - 21} \right)}^2}}}{{11}} = \frac{{2{t^2} - 20t + 98}}{6} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 2}\\{t = \frac{{49}}{8}}\end{array} \Rightarrow I\left( {2\,;\,\, - 4\,;\,\,0} \right).} \right.\) Chọn C.
Một xe khách đi từ Việt Trì về Hà Nội chở tối đa 60 hành khách một chuyến. Nếu một chuyến chở được \(m\) hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách được tính là \({\left( {30 - \frac{{5m}}{2}} \right)^2}\) đồng. Tính số hành khách trên mỗi chuyến xe để nhà xe thu được lợi nhuận của mỗi chuyến xe là lớn nhất.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) + \sqrt {8 + 2x - {x^2}} = 2m\) có nghiệm?
Đồ thị nào dưới đây biểu diễn đúng sự biến đổi nồng độ các chất theo thời gian của phản ứng A + 2B → C?
Số nghiệm của phương trình \({\cos ^2}x - \sin 2x = \sqrt 2 + {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\) trên khoảng \[\left( {0\,;\,\,3\pi } \right)\] là
Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = {e^{f\left( x \right)}} - m \cdot {3^{f\left( x \right)}}\) có đúng 7 điểm cực trị?
Trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho hình bình hành \[ABCD\] có phương trình đường thẳng \[AB\] là \(2x + y + 7 = 0\), phương trình đường thẳng \[AD\] là \(x - 4y - 1 = 0\) và giao điểm của hai đường chéo \[AC,\,\,BD\] là \[I\left( {1\,;\,\,2} \right).\] Phương trình của đường thẳng \[BC\] là
Trên mặt phẳng toạ độ \[Oxy,\] tập hợp biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \[\left| {{{\left| z \right|}^2} - z\left( {\bar z + i} \right) - i} \right| = 3\] là đường tròn \((C).\) Khoảng cách từ tâm \(I\) của đường tròn \((C)\) đến trục tung bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {{x^3} - 3x} \right) = m\) có 6 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1\,;\,\,2} \right]?\)
Trong một hộp có 100 tấm thẻ được đánh số từ 101 đến 200 (mỗi tấm thẻ được đánh một số khác nhau). Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 tấm thẻ trong hộp. Xác suất để tổng các số ghi trên 3 tấm thẻ đó là một số chia hết cho 3 là
Cho khối chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành và có thể tích băng 1. Gọi \[M,\,\,N\] lần lượt là các điểm trên các cạnh \[SB,\,\,SD\] sao cho \(MS = MB\,,\,\,ND = 2NS.\) Mặt phẳng \(\left( {CMN} \right)\) chia khối chóp đã cho thành hai phần, thể tích của phần có thể tích nhỏ hơn bằng
Tập hợp các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = - m{x^3} + {x^2} - 3x + m - 2\) nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 3\,;\,\,0} \right)\] là