Tính tổng các nghiệm nguyên thuộc \(\left[ { - 5\,;\,\,10} \right]\) của bất phương trình \[{2^{{x^2} + x}}\left( {3{x^2} - 6x + 6} \right) \ge 7{x^2} - 29x + 34.\]
Giải bởi Vietjack
Ta có \[{2^{{x^2} + x}}\left( {3{x^2} - 6x + 6} \right) \ge 7{x^2} - 29x + 34\]
\[ \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x - 2}}\left( {12{x^2} - 24x + 24} \right) \ge 7{x^2} - 29x + 34\]
Đặt \[a = 12{x^2} - 24x + 24\,,\,\,b = 7{x^2} - 29x + 34\,\,\left( {a\,,\,\,b > 0} \right)\]\( \Rightarrow {x^2} + x - 2 = \frac{{a - b}}{5}.\)
Khi đó ta có \({2^{\frac{{a - b}}{5}}} \cdot a \ge b \Leftrightarrow a \cdot {2^{\frac{a}{5}}} \ge b \cdot {2^{\frac{b}{5}}}\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t \cdot {2^{\frac{t}{5}}}\) với \(t > 0\). Ta có \(f'\left( t \right) = {2^{\frac{t}{5}}} + \frac{1}{5}t \cdot {2^{\frac{t}{5}}}\ln 2 > 0\,\,\forall t > 0.\)
Khi đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\)
\[ \Rightarrow f\left( a \right) \ge f\left( b \right) \Leftrightarrow a \ge b\]\[ \Rightarrow 12{x^2} - 24x + 24 \ge 7{x^2} - 29x + 34\]
\[ \Leftrightarrow 5{x^2} + 5x - 10 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le - 2\end{array} \right.\].
Kết hợp điều kiện ta suy ra \(x \in \left\{ { - 5\,;\,\, - 4\,;\,\, \ldots ;\,\,10} \right\}.\)
Do đó tổng các nghiệm nguyên thuộc \(\left[ { - 5\,;\,\,10} \right]\) của bất phương trình là:
\( - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 + 0 + 1 + 2 + \ldots + 10 = 41.\) Chọn D.
Lớp 12D có 45 học sinh, trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Tiếng Anh, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên là bao nhiêu?
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {a\,;\,\,b} \right)\) thoả mãn \(a < 5\) và hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + {x^2} - 3\) có \({\min _\mathbb{R}}f\left( x \right) = f\left( 0 \right)?\)
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho tam giác \[ABC\] có \(A\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 1} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,3} \right),\)\(C\left( { - 4\,;\,\,7\,;\,\,5} \right).\) Gọi \(D\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) là chân đường phân giác trong góc \[B\] của tam giác \[ABC.\] Giá trị của \(a + b + 2c\) bằng
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố ở vĩ độ \(40^\circ \) bắc trong ngày thứ \(t\) của một năm không nhuận được cho bởi một hàm số \(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\) với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365.\) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?\({\rm{A}}\)
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\) có đồ thị \[\left( C \right)\] và đường thẳng \(d:y = x - m\), với \(m\) là tham số thực. Biết rằng đường thẳng \(d\) cắt \[\left( C \right)\] tại hai điểm phân biệt \[A\] và \[B\] sao cho điểm \(G\left( {2\,;\,\, - 2} \right)\) là trọng tâm của tam giác \[OAB\] \[(O\] là gốc tọa độ). Giá trị của \(m\) bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {m^2}\left( {\sqrt {2 + x} + \sqrt {2 - x} } \right) + 4\sqrt {4 - {x^2}} + m + 1.\) Tổng tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giá trị nhỏ nhất bằng 4 là
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ax + 1}}{{bx + c}}\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Trong các số \[a,\,\,b,\,\,c\] có bao nhiêu số dương?
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho hai điểm \(A\left( {0\,;\,\,2\,;\,\, - 2} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\,2\,;\,\, - 4} \right).\) Giả sử \[I\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[OAB.\] Tính \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2}\).
Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt phẳng \((\alpha ):ax - y + 2z + b = 0\) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng \((P):x - y - z + 1 = 0\) và \((Q):x + 2y + z - 1 = 0.\) Giá trị của \(a + 4b\) bằng
Biết \(M\left( {1\,;\,\, - 5} \right)\) là một điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + 4{x^2} + bx + 1.\) Giá trị \(f\left( 2 \right)\) bằng
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + \left( {5 - m} \right)x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2\,;\,\, + \infty } \right)\) là
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] gọi \(I\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) là tâm mặt cầu đi qua điểm \(A\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\,4} \right)\) và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính \(P = a - b + c.\)
