1) Tổng số tuổi của anh và em bằng 24. Biết rằng anh lớn hơn em 6 tuổi, hãy tính số tuổi của mỗi người.

2) Một xe máy đi từ thành phố Quảng Ngãi đến thành phố Đà Nẵng, quãng đường dài \(120\) km. Sau khi xe máy xuất phát được 30 phút, một ô tô bắt đầu đi từ thành phố Đà Nẵng đến thành phố Quảng Ngãi và gặp xe máy sau khi đã đi được 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy \(20\) km/h.

1) Gọi tuổi em là \(x\,\,\left( {x \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}},\,\,0 < x < 24} \right).\)

Do anh hơn em 6 tuổi nên tuổi anh là \(x + 6.\)

Tổng số tuổi của hai anh em là 24 nên ta có phương trình: \(x + \left( {x + 6} \right) = 24.\)

Hay \(2x + 6 = 24,\) suy ra \(2x = 18,\) nên \(x = 9.\)

Vậy tuổi em là 9 tuổi, tuổi anh là \(9 + 6 = 15\) tuổi.

2) Gọi vận tốc xe máy là \(x\) (km/h) \(\left( {x > 0} \right).\)

Khi đó vận tốc ô tô là \(x + 20\) (km/h).

Thời gian xe máy đi từ Quảng Ngãi cho đến khi gặp ô tô là: 1 giờ + 30 phút \[ = 1,5\] giờ.

Quãng đường xe máy đi từ Quảng Ngãi cho đến khi gặp ô tô là: \(1,5x\) (km).

Thời gian ô tô đi từ Đà Nẵng cho đến khi gặp ô tô là 1 giờ.

Quãng đường ô tô đi từ Đà Nẵng cho đến khi gặp ô tô là: \(1 \cdot \left( {x + 20} \right) = x + 20\) (km).

Do quãng đường từ thành phố Quảng Ngãi đến thành phố Đà Nẵng dài \(120{\rm{\;km}}\) nên ta có phương trình: \(1,5x + x + 20 = 120\) hay \(2,5x = 100,\) suy ra \(x = 40\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe máy là \(40\) km/h và vận tốc của ô tô là \(40 + 20 = 60\) km/h.