Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng \(108\) cm2 như hình dưới đây.
Biết khi \(x = {x_0},\,h = {h_0}\) thì thể tích của hộp là lớn nhất. Khi đó \({x_0} + {h_0}\) bằng bao nhiêu?
Giải bởi Vietjack
Hình hộp trên có độ dài cạnh đáy là \(x\) (cm, \(x > 0\)) và chiều cao là \(h\) (cm, \(h > 0\)).
Diện tích bề mặt của hình hộp là \(108\) cm2 nên \({x^2} + 4xh = 108\).
Suy ra \(h = \frac{{108 - {x^2}}}{{4x}}\) (cm).
Thể tích của hình hộp là: \(V = {x^2} \cdot h = {x^2} \cdot \frac{{108 - {x^2}}}{{4x}} = \frac{{108x - {x^3}}}{4}\) (cm3).
Xét hàm số \(V\left( x \right) = \frac{{108x - {x^3}}}{4}\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có: \(V'\left( x \right) = \frac{{ - 3{x^2} + 108}}{4}\). Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 6\).
Bảng biến thiên của hàm số \(V\left( x \right)\) như sau:
Do đó, thể tích của hình hộp lớn nhất khi độ dài cạnh đáy là \(x = 6\) cm.
Khi đó, chiều cao của hình hộp là \(h = \frac{{108 - {6^2}}}{{4 \cdot 6}} = 3\) (cm).
Vậy \({x_0} = 6,{h_0} = 3\) và \({x_0} + {h_0} = 9\).
Đáp số: \(9\).
Một tàu kéo một xà lan trên biển di chuyển được 5 km với một lực kéo có cường độ \(3\,000\) N và có phương hợp với phương dịch chuyển một góc \(30^\circ \). Công thực hiện bởi lực kéo nói trên bằng bao nhiêu Jun (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây.
Giá trị nhỏ nhất \(m\) và giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) lần lượt là:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình bình hành \(ABCD\) có ba đỉnh\(A\left( {1;\,3 & ;\, - 1} \right)\), \(B\left( {3;0;\,3} \right)\) và \(C\left( {2;\,3;\,6} \right)\).
a) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là \(\left( {2;3;4} \right)\).
b) Gọi tọa độ của điểm \(D\) là \(\left( {{x_D};\,{y_D};{z_D}} \right)\), ta có tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {CD} \) là:
\(\left( {{x_D} - 2;{y_D} - 3;{z_D} - 6} \right)\).
c) Tọa độ của điểm \(D\) là \(\left( {0;6;2} \right)\).
d) Tọa độ tâm \(O\) của hình bình hành \(ABCD\) là \(\left( {\frac{1}{2};\,0;\,\frac{7}{2}} \right)\).
Cho hàm số \(y = \frac{{ax - b}}{{x - 1}}\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình dưới đây.
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\).
b) Hàm số đã cho có \(2\) điểm cực trị.
c) Trên đoạn \(\left[ { - 1;\,1} \right]\), giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng \(2\).
d) Phương trình \(3f\left( x \right) - 6 = 0\) có duy nhất 1 nghiệm.
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\).
a) Hàm số đã cho đồng biến trên \[\left( { - \infty ; - 1} \right)\] và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
b) Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng \( - 4\).
c) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm \(A\left( {0;1} \right)\).
d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho vuông góc với đường thẳng \(x - 3y - 6 = 0\) đi qua điểm \(B\left( { - \frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)\).
