IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 12 Toán Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh Diều có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh Diều có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh Diều có đáp án - Đề 08

  • 67 lượt thi

  • 22 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

 

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)\(\left( {1; + \infty } \right)\).


Câu 2:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 
Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \[x = 1\] và giá trị cực tiểu \({y_{CT}} =  - 2\).


Câu 3:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây.

 

Giá trị nhỏ nhất \(m\) và giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) lần lượt là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Nhìn vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy:

\(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) =  - 5\) khi \(x =  - 2\) hoặc \(x = 1\);

\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) =  - 1\) khi \(x =  - 1\) hoặc \(x = 2\).


Câu 4:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\]\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 2\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - 2\). Phát biểu nào dưới đây là đúng?
Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 2\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - 2\) thì đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang là các đường thẳng \(y = 2\)\(y =  - 2\).


Câu 5:

Cho tứ diện \(ABCD\). Có bao nhiêu vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) mà mỗi vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện \(ABCD\)?
Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Số vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) mà mỗi vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện \(ABCD\) là số các chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử, do đó số vectơ là \(A_4^2 = 12\).


Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \(M\left( { - 2; - 5;7} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) là:
Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Với \(M\left( { - 2; - 5;7} \right)\) thì \(\overrightarrow {OM}  = \left( { - 2; - 5;7} \right)\).


Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho vectơ \(\overrightarrow u  =  - 3\overrightarrow i  + \overrightarrow j  - 8\overrightarrow k \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là: 
Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\overrightarrow u  =  - 3\overrightarrow i  + \overrightarrow j  - 8\overrightarrow k  = \left( { - 3} \right)\overrightarrow i  + 1\overrightarrow j  + \left( { - 8} \right)\overrightarrow k \).

Suy ra \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;1; - 8} \right)\).


Câu 8:

Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

TXĐ của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 3\)

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)\(\left( {3; + \infty } \right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\)\(\left( {1;3} \right)\).


Câu 9:

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2\cos x - \frac{4}{3}{\cos ^3}x\) trên đoạn \(\left[ {0;\,\pi } \right]\) bằng
Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đặt \(\cos x = t\). Vì \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) nên \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Khi đó, ta có hàm số \(y = f\left( t \right) = 2t - \frac{4}{3}{t^3}\). Ta có \(f'\left( t \right) = 2 - 4{t^2}\).

Trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\), \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) hoặc \(t = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

\(f\left( { - 1} \right) = \frac{{ - 2}}{3};\,f\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3};\,f\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3};\,f\left( 1 \right) = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\). Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,\pi } \right]} y = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).


Câu 10:

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x + 2}}\) là đường thẳng:
Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x + 2}} = x - 5 + \frac{{16}}{{x + 2}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x - 5} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{16}}{{x + 2}} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {x - 5} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{16}}{{x + 2}} = 0\).

Vậy đường thẳng \(y = x - 5\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.


Câu 11:

Cho hàm số \(y = \frac{{ax - b}}{{x - 1}}\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y =  - 1\), suy ra \(a =  - 1 < 0\).

Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2;0} \right)\) nên ta có: \(2a - b = 0\).

Khi đó, \(2 \cdot \left( { - 1} \right) - b = 0\), suy ra \(b =  - 2\).

Vậy \(b < a < 0\).


Câu 12:

Cho tứ diện \(ABCD\) và điểm \(G\) thỏa mãn \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \) (\(G\) là trọng tâm của tứ diện). Gọi \({G_0}\) là giao điểm của \(GA\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

\({G_0}\) là giao điểm của \(GA\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) nên ta suy ra được \({G_0}\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\). Do đó, \(\overrightarrow {{G_0}B}  + \overrightarrow {{G_0}C}  + \overrightarrow {{G_0}D}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra \(\overrightarrow {GA}  =  - \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) =  - \left( {3\overrightarrow {G{G_0}}  + \overrightarrow {{G_0}B}  + \overrightarrow {{G_0}C}  + \overrightarrow {{G_0}D} } \right) =  - 3\overrightarrow {G{G_0}}  = 3\overrightarrow {{G_0}G} \).

Vậy \(\overrightarrow {GA}  = 3\overrightarrow {{G_0}G} \).


Câu 13:

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\)có đồ thị như hình dưới đây.

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)\(\left( {1;2} \right)\).

b) Hàm số đã cho có \(2\) điểm cực trị.

c) Trên đoạn \(\left[ { - 1;\,1} \right]\), giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng \(2\).

d) Phương trình \(3f\left( x \right) - 6 = 0\) có duy nhất 1 nghiệm.

Xem đáp án

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

Quan sát đồ thị, ta thấy:

– Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\)\(\left( {2; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\). Vậy ý a) sai.

– Hàm số đã cho có \(2\) điểm cực trị: \(x = 0\) (điểm cực đại) và \(x = 2\) (điểm cực tiểu). Do đó, ý b) đúng.

 Trên đoạn \(\left[ { - 1;\,1} \right]\), hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 0\), \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\,1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2\). Do đó, ý c) đúng.

– Ta có \(3f\left( x \right) - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = 2\).

Đường thẳng \(y = 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 2 điểm nên phương trình \(f\left( x \right) = 2\)có 2 nghiệm, tức là phương trình \(3f\left( x \right) - 6 = 0\) có 2 nghiệm.

Vậy ý d) sai.


Câu 14:

 Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\).

a) Hàm số đã cho đồng biến trên \[\left( { - \infty ; - 1} \right)\]\(\left( {3; + \infty } \right)\).

b) Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng \( - 4\)

c) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm \(A\left( {0;1} \right)\).

d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho vuông góc với đường thẳng \(x - 3y - 6 = 0\) đi qua điểm \(B\left( { - \frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

Xem đáp án

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 2}}\).

– Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

– Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\); \(y' = 0\) khi \(x =  - 3\) hoặc \(x =  - 1\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

– Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\)\(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x =  - 3\), ; đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\), \({y_{CT}} = 1\).

Suy ra . Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận:

+) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(x =  - 2\).

+) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(y = x + 1\).

Với \(x = 0\) thì \(y = 0 + 1 = 1\), do đó đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm \(A\left( {0;1} \right)\). Vậy ý c) đúng.

– Đường thẳng \(x - 3y - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}x - 2\) có hệ số góc \({k_1} = \frac{1}{3}\). Đường thẳng này vuông góc với tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho nên tiếp tuyến này có hệ số góc \({k_2} = \frac{{ - 1}}{{{k_1}}} =  - 3\).

Khi đó, với \({x_0}\) là hoành độ của tiếp điểm thì \(y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{{x_0^2 + 4{x_0} + 2}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} =  - 3\).

Ta tìm được \({x_0} =  - \frac{5}{2}\) hoặc \({x_0} =  - \frac{3}{2}\).

+) Với \({x_0} =  - \frac{5}{2}\), ta có tiếp tuyến: \(y =  - 3x - 11\).

+) Với \({x_0} =  - \frac{3}{2}\), ta có tiếp tuyến: \(y =  - 3x - 3\), tiếp tuyến này đi qua điểm \(B\left( { - \frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

Do đó, ý d) đúng.


Câu 15:

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(1\).

a) \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {B'D'} \).

b) \(\left| {\overrightarrow {A'C} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = \sqrt 3 \).

c) \(\overrightarrow {A'C}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {D'D} \).

d) \(\overrightarrow {A'C}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \sqrt 2 \).

Xem đáp án

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

– Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(BDD'B'\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {B'D'} \). Do đó, ý a) đúng.

– Ta có: \(A'C' = \sqrt {A'{{B'}^2} + B'{{C'}^2}}  = \sqrt 2 \); \(A'C = \sqrt {A'{{C'}^2} + C{{C'}^2}}  = \sqrt 3 \).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {A'C} } \right| = A'C = \sqrt 3 \). Tương tự, \(\left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = AC' = \sqrt 3 \).

Vậy ý b) đúng.

– Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {A'C}  = \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {A'D'}  + \overrightarrow {A'A} \).

\(\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {A'D'}  = \overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {A'A}  = \overrightarrow {D'D} \). Do đó, \(\overrightarrow {A'C}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {D'D} \).

Vậy ý c) đúng.

– Ta có: \(\overrightarrow {A'C}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DD'} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  - {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DD'}  \cdot \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {DD'}  \cdot \overrightarrow {AB} \)

\( = 0 - {1^2} + {1^2} - 0 + 0 - 0 = 0\).

Vậy \(\overrightarrow {A'C}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\), do đó ý d) sai.


Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình bình hành \(ABCD\) có ba đỉnh\(A\left( {1;\,3 & ;\, - 1} \right)\), \(B\left( {3;0;\,3} \right)\)\(C\left( {2;\,3;\,6} \right)\).

a) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \)\(\left( {2;3;4} \right)\).

b) Gọi tọa độ của điểm \(D\)\(\left( {{x_D};\,{y_D};{z_D}} \right)\), ta có tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {CD} \) là:

\(\left( {{x_D} - 2;{y_D} - 3;{z_D} - 6} \right)\).

c) Tọa độ của điểm \(D\)\(\left( {0;6;2} \right)\).

d) Tọa độ tâm \(O\) của hình bình hành \(ABCD\)\(\left( {\frac{1}{2};\,0;\,\frac{7}{2}} \right)\).

Xem đáp án

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

– Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3 - 1;0 - 3;3 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {2; - 3;4} \right)\). Do đó, ý a) sai.

– Gọi tọa độ của điểm \(D\)\(\left( {{x_D};\,{y_D};{z_D}} \right)\), ta có tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {CD} \) là:

\(\left( {{x_D} - 2;{y_D} - 3;{z_D} - 6} \right)\).

Do đó, ý b) đúng.

– Ta có \(\overrightarrow {DC}  = \left( {2 - {x_D};3 - {y_D};6 - {z_D}} \right)\). Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB} \).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2 - {x_D} = 2\\3 - {y_D} =  - 3\\6 - {z_D} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 0\\{y_D} = 6\\{z_D} = 2\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {0;6;2} \right)\). Do đó, ý c) đúng.

– Gọi \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\). Khi đó, \(O\) là trung điểm của \(AC\).

Suy ra \(\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {OC} \).

Gọi tọa độ của \(O\)\(\left( {x;y;z} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AO}  = \left( {x - 1;y - 3;z + 1} \right)\), \(\overrightarrow {OC}  = \left( {2 - x;3 - y;6 - z} \right)\).

Khi đó, \(\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {OC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2 - x\\y - 3 = 3 - y\\z + 1 = 6 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = 3\\x = \frac{5}{2}\end{array} \right.\). Suy ra \(O\left( {\frac{3}{2};3;\frac{5}{2}} \right)\).

Do đó, ý d) sai.


Câu 17:

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 3\left( {7m - 3} \right)x\). Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số không có cực trị. Tập hợp \(S\) có bao nhiêu phần tử?
Xem đáp án

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 3\left( {7m - 3} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 7m - 3 = 0\).

Để hàm số đã cho không có cực trị thì \(\Delta ' \le 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {7m - 3} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 4 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le m \le 4\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(S = \left\{ {1;\,2;\,3 & ;4} \right\}\). Vậy tập hợp \(S\) có 4 phần tử.

Đáp số: \(4\).


Câu 18:

Trong 18 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s\left( t \right) =  - {t^3} + 18{t^2} + t + 3\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Chất điểm chuyển động có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu mét trên giây trong 18 giây đầu tiên đó?
Xem đáp án

Ta có vận tốc tức thời là: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) =  - 3{t^2} + 36t + 1\).

Xét hàm số \(v\left( t \right) =  - 3{t^2} + 36t + 1\) với \(t \in \left[ {0;18} \right]\).

Ta có \(v'\left( t \right) =  - 6t + 36\). Trên khoảng \(\left( {0;18} \right)\), \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 6\).

\(v\left( 0 \right) = 1;\,v\left( 6 \right) = 109;\,v\left( {18} \right) =  - 323\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;18} \right]} v\left( t \right) = v\left( 6 \right) = 109\).

Vậy vận tốc tức thời đạt giá trị lớn nhất bằng \(109\) m/s.

Đáp số: \(109\).


Câu 19:

Một tàu kéo một xà lan trên biển di chuyển được 5 km với một lực kéo có cường độ \(3\,000\) N và có phương hợp với phương dịch chuyển một góc \(30^\circ \). Công thực hiện bởi lực kéo nói trên bằng bao nhiêu Jun (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Xem đáp án

Ta có 5 km = 5 000 m.

Áp dụng công thức tính công, ta có:

\(A = \overrightarrow F  \cdot \overrightarrow d  = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow d } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow F ,\,\overrightarrow d } \right) = 3\,000 \cdot 5\,000 \cdot \cos 30^\circ  \approx 12\,\,990\,\,381\) (J).

Đáp số: \(12\,\,990\,\,381\).


Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có đỉnh \(A\) trùng với gốc \(O\), các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AD} ,\,\overrightarrow {AA'} \) theo thứ tự cùng hướng với \(\overrightarrow i ,\,\overrightarrow j ,\,\overrightarrow k \)\(AB = 14,\,\,AD = 12,\,\,AA' = 18\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(C'D'\), khi đó ta biểu diễn được tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AM} \)\(\left( {a;\,b;\,c} \right)\). Giá trị của biểu thức \(a + b - c\) bằng bao nhiêu?
Xem đáp án

Theo bài ra ta có: \(\overrightarrow {AB}  = 14\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j  + 0\overrightarrow k \); \(\overrightarrow {AD}  = 0\overrightarrow i  + 12\overrightarrow j  + 0\overrightarrow k \); \(\overrightarrow {AA'}  = 0\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j  + 18\overrightarrow k \).

\(M\) là trung điểm của \(C'D'\) nên

 

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} } \right)\) (quy tắc hình hộp và quy tắc hình bình hành)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AD}  + 2\overrightarrow {AA'} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {14\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j  + 0\overrightarrow k  + 2\left( {0\overrightarrow i  + 12\overrightarrow j  + 0\overrightarrow k } \right) + 2\left( {0\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j  + 18\overrightarrow k } \right)} \right]\)

\( = 7\overrightarrow i  + 12\overrightarrow j  + 18\overrightarrow k \).

Suy ra \(\overrightarrow {AM}  = \left( {7;12;18} \right)\). Do đó, \(a = 7,b = 12,c = 18\).

Vậy \(a + b - c = 7 + 12 - 18 = 1\).

Đáp số: \(1\).


Câu 21:

Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng \(108\) cm2 như hình dưới đây.

Biết khi \(x = {x_0},\,h = {h_0}\) thì thể tích của hộp là lớn nhất. Khi đó \({x_0} + {h_0}\) bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Hình hộp trên có độ dài cạnh đáy là \(x\) (cm, \(x > 0\)) và chiều cao là \(h\) (cm, \(h > 0\)).

Diện tích bề mặt của hình hộp là \(108\) cm2 nên \({x^2} + 4xh = 108\).

Suy ra \(h = \frac{{108 - {x^2}}}{{4x}}\) (cm).

Thể tích của hình hộp là: \(V = {x^2} \cdot h = {x^2} \cdot \frac{{108 - {x^2}}}{{4x}} = \frac{{108x - {x^3}}}{4}\) (cm3).

Xét hàm số \(V\left( x \right) = \frac{{108x - {x^3}}}{4}\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(V'\left( x \right) = \frac{{ - 3{x^2} + 108}}{4}\). Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 6\).

Bảng biến thiên của hàm số \(V\left( x \right)\) như sau:

Do đó, thể tích của hình hộp lớn nhất khi độ dài cạnh đáy là \(x = 6\) cm.

Khi đó, chiều cao của hình hộp là \(h = \frac{{108 - {6^2}}}{{4 \cdot 6}} = 3\) (cm).

Vậy \({x_0} = 6,{h_0} = 3\)\({x_0} + {h_0} = 9\).

Đáp số: \(9\).


Câu 22:

Một chất điểm \(A\) nằm trên mặt phẳng nằm ngang \(\left( \alpha  \right)\), chịu tác động bởi ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} \). Các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} \) có giá nằm trong \(\left( \alpha  \right)\)\(\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} } \right) = 135^\circ \), còn lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) có giá vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\) và hướng lên trên. Độ lớn hợp lực của các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} \) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười), biết rằng độ lớn của ba lực đó lần lượt là 20 N, 15 N và 10 N.

Xem đáp án

Vẽ \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {{F_3}} \).

Dựng hình bình hành \(OADB\) và hình bình hành \(ODEC\).

Hợp lực tác động vào vật là \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OE} \).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(OBD\), ta có:

\(O{D^2} = B{D^2} + O{B^2} - 2BD \cdot OB \cdot \cos \widehat {OBD} = O{A^2} + O{B^2} + 2OA \cdot OB \cdot \cos 135^\circ \)

\(OC \bot \left( {OADB} \right)\) nên \(OC \bot OD\), suy ra \(ODEC\) là hình chữ nhật.

Do đó, tam giác \(ODE\) vuông tại \(D\).

Ta có \(O{E^2} = O{C^2} + O{D^2} = O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2OA \cdot OB \cdot \cos 135^\circ \).

Suy ra \(O{E^2} = \sqrt {O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2OA \cdot OB \cdot \cos 135^\circ } \)

\( = \sqrt {{{10}^2} + {{20}^2} + {{15}^2} + 2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot \cos 135^\circ }  \approx 17,3\).

Vậy độ lớn của hợp lực là \(F = OE \approx 17,3\) N.

Đáp số: \(17,3\).


Bắt đầu thi ngay