Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f(x)\) ta có hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực tiểu của hàm số bằng \( - 5.\)

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị hàm số \(y = f(x)\), ta có điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có tọa độ là \(\left( { - 1; - 1} \right).\)

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(y = {x^3} - 3x\) \( \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3.\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1.\)

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số \(y = {x^3} - 3x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right).\)

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số \(y = 2\sqrt x  - x\):

Tập xác định \(D = \left[ {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(y' = \frac{1}{{\sqrt x }} - 1 = \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\), \(\forall x \in \left( {0;\, + \infty } \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Bảng biến thiên của hàm số trên \(D = \left[ {0; + \infty } \right)\) như sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 4\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2.\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên, hàm số có giá trị cực đại bằng \(4\) tại \(x = 0\) và đạt giá trị cực tiểu bằng \(0\) tại \(x = 2.\)

Vậy hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số là: \(4 - 0 = 4.\)

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(G\left( x \right) = 0,025{x^2}\left( {30 - x} \right) = 0,75{x^2} - 0,025{x^3}\), \(\left( {x > 0} \right)\).

           \(G'\left( x \right) = 1,5x - 0,075{x^2}\)

            \(G'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 20\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên như sau:

Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân nằm trong khoảng \(\left( {0;20} \right)\) thì huyết áp bệnh nhân tăng.

Đáp án đúng là: C

Xét trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\), hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng \(7\) và đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - 4\).

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) bằng\(7 + \left( { - 4} \right) = 3.\)

Đáp án đúng là: A

Nhìn vào đồ thị ta thấy:

\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) =  - 1\) khi \(x =  - 1\) hoặc \(x = 2.\)

\(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) =  - 5\) khi \(x =  - 2\) hoặc \(x = 1.\)

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị hàm số, ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} f\left( x \right) = 3\\m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} f\left( x \right) =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow M.m = 3.\left( { - 2} \right) =  - 6.\)

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho liên tục trên \(\left[ {0;3} \right]\).

Ta có \(y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\) với \(\forall x \in \left[ {0;3} \right]\).

Ta được: \(y\left( 0 \right) =  - 1,y\left( 3 \right) = \frac{1}{2}\).

Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 0 \right) =  - 1.\)

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(f'\left( x \right) = 2\left( {{x^2} - 2} \right){e^{2x}} + 2x{e^{2x}} = 2\left( {{x^2} + x - 2} \right){e^{2x}}\)

           \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right]\\x =  - 2 \notin \left[ { - 1;2} \right]\end{array} \right.\)

Và \(f\left( { - 1} \right) =  - {e^{ - 2}};f\left( 2 \right) = 2{e^4};f\left( 1 \right) =  - {e^2}.\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2} \right){e^{2x}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) bằng \( - {e^2}\) tại \(x = 1.\)

Đáp án đúng là: B

Đặt \(t = {\sin ^2}x\), \(0 \le t \le 1\) \( \Rightarrow f\left( t \right) = {t^2} - 4t + 5\)\( \Rightarrow \)\(f'\left( t \right) = 2t - 4\).

\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2 \notin \left[ {0;1} \right]\).

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 5,f\left( 1 \right) = 2\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = 2,\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = 5\).

Đáp án đúng là: A

Vận tốc của chuyển động là: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - 3{t^2} + 12t + 10.\)

Gia tốc của chuyển động là: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = {t^2} - 6t + 12 = {\left( {t - 3} \right)^2} + 3.\)

Nhận thấy \({t^2} - 6t + 12 = {\left( {t - 3} \right)^2} + 3 \ge 3\).

Dấu  xảy ra khi \(t = 3\).

Vậy gia tốc đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = 3\left( s \right)\).

Khi đó vận tốc của vật bằng: \(v\left( 3 \right) = 28\left( {m/s} \right).\)

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y =  - \infty \) nên \(x = 0\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 1\) nên \(y = 1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 3\) nên \(y = 3\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{2x - 2}}{{x + 1}} =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{2x - 2}}{{x + 1}} =  + \infty \) nên đường thẳng \(x =  - 1\)là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án A, B, C, D, ta thấy:

Ở đáp án C, hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x + 3}}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty .\end{array} \right.\)

Do đó đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x + 3}}\) không có tiệm cận ngang.

Đáp án đúng là: D

Để đồ thị \(\left( C \right)\) nhận điểm \(I\left( {2;1} \right)\) là tâm đối xứng thì đồ thị \(\left( C \right)\) phải có đường tiệm cận đứng \(x = 2.\)

Do đó \(m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2.\)

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(y = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 3}}\).

Xét \(2f\left( x \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - \frac{3}{2}\).

Từ bảng biến thiên nhận thấy phương trình \(f\left( x \right) =  - \frac{3}{2}\) có hai nghiệm phân biệt\({x_1} \in \left( { - \infty ;0} \right),\)\({x_2} \in \left( {0;1} \right)\).

Do đó đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 3}}\) có hai đường tiệm cận đứng.

Đáp án đúng là: B

Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì \({x^2} - 2mx + 1 = 0\) vô nghiệm.

Do đó \(\Delta ' = {m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow  - 1 < m < 1.\)

Đáp án đúng là: D

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \({d_1}:x = 1\) và tiệm cận ngang \({d_2}:y = 2.\)

Giả sử \(M\left( {{x_0};\frac{{2{x_0} - 1}}{{{x_0} - 1}}} \right) \in \left( C \right)\) với \({x_0} \ne 1.\)

Ta có: \(d\left( {M,{d_1}} \right) = \left| {{x_0} - 1} \right|\); \(d\left( {M,{d_2}} \right) = \left| {\frac{{2{x_0} - 1}}{{{x_0} - 1}} - 2} \right| = \frac{1}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}.\)

Theo đề bài, ta có: \(\left| {{x_0} - 1} \right| + \frac{1}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = 2\left| {{x_0} - 1} \right|.\frac{1}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = 2\).

\( \Leftrightarrow \left| {{x_0} - 1} \right| = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = 0.\end{array} \right.\)

Vậy có hai điểm \(M\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án đúng là: D

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y = {x^3} + x + 1\)

            \(y' = 3{x^2} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)

Vậy hàm số luôn đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\) Chọn D.

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}\):

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}} = x + 2 + \frac{3}{{x - 1}}\)

            \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

             \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 \\x = 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\).

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 1\) và tiệm cận xiên \(y = x + 2.\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số có 2 cực trị.

Quan sát các đồ thị đã cho, ta thấy đồ thị ở phương án A thỏa mãn.

Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ các điểm ở các đáp án A, B, C, D vào hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\), ta thấy đáp án A thỏa mãn.

Đáp án đúng là: A

Từ bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng \(y = 0\) (trục hoành) cắt đồ thị hàm số đã cho tại 4 điểm.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại 3 điểm phân biệt khi \( - \sqrt 2  < m <  - 1.\)

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), ta có:

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a \in \left( { - 2; - 1} \right)\\x = 0\\x = b \in \left( {1;2} \right).\end{array} \right.\)

Từ đồ thị, ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) như sau:

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right).\)

Đáp án đúng là: C

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}.\)

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 4x + m - 1\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\): \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)

Ta có: \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 4{x_0} + m - 1\)

\(k' = 6{x_0} - 4\)

\(k' = 0 \Leftrightarrow {x_0} = \frac{2}{3} \Rightarrow k = \frac{{ - 7}}{3} + m.\)

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ đây, hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) là \({k_{\min }} = \frac{{ - 7}}{3} + m\).

Tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng \(d:y = 3x + 2024\) khi và chỉ khi

\({k_{\min }} = \frac{{ - 1}}{{{k_d}}} = \frac{{ - 1}}{3}\) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{3} + m = \frac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow m = 2.\)

Đáp án đúng là: A

Có 3 vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {BC} \), đó là: \(\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {A'D'} ,\overrightarrow {B'C'} \).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(EG\,{\rm{//}}\,AC\) (do \(ACGE\) là hình chữ nhật).

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 45^\circ .\)

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right).\)

Mà theo giả thiết, ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\) \( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) =  - 1 \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ .\)

Đáp án đúng là: B

Gọi \(M\) là trung điểm \(CD\) \( \Rightarrow \overrightarrow {BG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} .\)

Ta có: \(\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}.\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} } \right).\)

                  \( = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

                   \( = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right).\)

Đáp án đúng là: D

Vì \(BB'C'C\) là hình bình hành nên

\(\overrightarrow {B'C}  = \overrightarrow {B'C'}  + \overrightarrow {B'B}  = \overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {AA'} .\)

       \( =  - \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} \)

       \( =  - \overrightarrow {AA'}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \)

       \( =  - \overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c .\)

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {A'D'}  + \overrightarrow {A'A} } \right).\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

                         \[ = \overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {A'D'} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {A'D'} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AB} \]

                          \( = 0 - {\left( {\overrightarrow {AB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AD} } \right)^2} - 0 + 0 - 0 = 0\).

(Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB = AD\)).   

Vậy \(\overrightarrow {A'C}  \bot \overrightarrow {BD} \) hay góc giữa \(\overrightarrow {A'C} \) và \(\overrightarrow {BD} \) bằng \(90^\circ .\)  

Đáp án đúng là: B

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có: \(AH = A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(AH \bot BC,A'H \bot BC\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow BC \bot AA'\) hay \(BC \bot BB'\). Do đó, \(BCC'B'\) là hình chữ nhật.

Khi đó, \(CC' = AA' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 2  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) \( \Rightarrow BM = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}.6}}{{16}}}  = \frac{{a\sqrt {22} }}{4}\).

Xét \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AA'} .\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CM} } \right) = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {CM}  = 0 + \left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\left| {\overrightarrow {CM} } \right|.\cos 0^\circ  = \frac{{3{a^2}}}{4}.\)

Suy ra \(\cos \alpha  = \cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BM} }}{{\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BM} } \right|}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4}}}{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\frac{{a\sqrt {22} }}{4}}} = \frac{{\sqrt {33} }}{{11}}.\)

Với \(m =  - 4\), ta có: \(\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}}\).

1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} =  + \infty .\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} =  - \infty .\)

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} =  - \infty ,\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} =  + \infty \), do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = 1\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 2x - 4}}{{x - 1}} =  - 2\).

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = x - 2\) làm tiệm cận xiên.

Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} - 2x + 7}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D.\)

Từ đây ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0;4} \right).\)

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(\left( {4;0} \right),\left( { - 1;0} \right).\)

Đồ thị đi qua các điểm \(\left( { - 2; - 2} \right);\left( {2; - 6} \right);\left( {3; - 2} \right);\left( {5;\frac{3}{2}} \right)\).

Đồ thị nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = x - 2\) làm tiệm cận xiên.

Ta có đồ thị hàm số:

Với \(m = 2\), ta có: \(\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 1 > 0,\forall x \in D.\)

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên \(\left[ {2;3} \right]\).

Xét trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\), ta tính được các giá trị sau: \(y\left( 2 \right) = 0,y\left( 3 \right) = 1.\)

Vậy với \(m = 2\), giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) bằng \(1\) và giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) bằng \(0.\)

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right) \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {MN} } \right|^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  + {{\overrightarrow {BD} }^2}} \right)\)

                                                           \( = \frac{1}{4}\left( {2{a^2} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} } \right).\)

Mà: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)

\( = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos 60^\circ  - \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos 60^\circ  = 0.\)

Suy ra \({\left| {\overrightarrow {MN} } \right|^2} = \frac{1}{4}.2{a^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{{a^2}}}{2}.\)

Khi đó, \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {MN} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {MN} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{a.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Vậy \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {MN} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Gọi \(x\) là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng \(\left( {30000 \le x \le 50000} \right)\), đơn vị: đồng.

Theo đề ta có:

Nếu bán với giá \(50000\) đồng thì bán được \(40\) quả bưởi

Giảm giá \(5000\) đồng thì bán được thêm \[50\] quả.

Giảm giá \(50000 - x\) thì bán được thêm bao nhiêu quả?

Khi đó, số quả bưởi được bán thêm là: \(\left( {50000 - x} \right)\frac{{50}}{{5000}} = \frac{1}{{100}}\left( {50000 - x} \right)\).

Do đó, số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán \(x\):

\(40 + \frac{1}{{100}}\left( {50000 - x} \right) = \frac{{ - 1}}{{100}}x + 540\).

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm lợi nhuận thu được (\(F\left( x \right)\): đồng).

Ta có: \(F\left( x \right) = \left( {\frac{{ - 1}}{{100}}x + 540} \right)\left( {x - 30000} \right) = \frac{{ - 1}}{{100}}{x^2} + 840x - 16200000\).

Lúc này, bài toán trở thành tìm GTLN của hàm số:

\(F\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{100}}{x^2} + 840x - 16200000\) với \(30000 \le x \le 50000\).

\(F'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{50}}x + 840\)

\(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{50}}x + 840 = 0 \Leftrightarrow x = 42000\).

Vì hàm \(F\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {30000;\,50000} \right]\) nên ta có:

\(F\left( {30000} \right) = 0\)

\(F\left( {42000} \right) = 1440000\)

\(F\left( {50000} \right) = 800000\).

Vậy với \(x = 42000\) thì \(F\left( x \right)\) đạt GTLN.

Vậy để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng là \(42000\) đồng.