IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 12 Toán Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh Diều có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh Diều có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh Diều có đáp án - Đề 07

  • 253 lượt thi

  • 22 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Phát biểu nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \[\left( { - 1;\,1} \right)\]; nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) \(\left( {1; + \infty } \right)\).


Câu 2:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại \[x =  - 1\] (đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua điểm này).


Câu 3:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) và có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây.

 

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ {0;\,2} \right]\) bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Xét đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên đoạn \(\left[ {0;\,2} \right]\) như hình vẽ: Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 0\); \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2\).


Câu 4:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Phát biểu nào dưới đây là đúng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị trên, ta thấy: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - 1\), tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\).


Câu 5:

Chọn khẳng định sai. Với hai vectơ bất kì \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) và hai số thực \(h,\,k\), ta có:
Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Với hai vectơ bất kì \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) và hai số thực \(h,\,k\), ta có:

+) \(k\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a  + k\overrightarrow b \); \(k\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a  - k\overrightarrow b \);

+) \(\left( {h + k} \right)\overrightarrow a  = h\overrightarrow a  + k\overrightarrow a \);

+) \(h\left( {k\overrightarrow a } \right) = \left( {hk} \right)\overrightarrow a \).

Vậy khẳng định ở đáp án D sai.


Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \(M\left( {3; - 4;2} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) là:
Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Với \(M\left( {3; - 4;2} \right)\) thì \(\overrightarrow {OM}  = \left( {3; - 4;2} \right)\).


Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho vectơ \(\overrightarrow u  = 4\overrightarrow i  - \overrightarrow j  + 6\overrightarrow k \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là: 
Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\overrightarrow u  = 4\overrightarrow i  - \overrightarrow j  + 6\overrightarrow k  = 4\overrightarrow i  + \left( { - 1} \right)\overrightarrow j  + 6\overrightarrow k \).

Suy ra \(\overrightarrow u  = \left( {4; - 1;6} \right)\).


Câu 8:

Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

TXĐ của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 3\)

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 1\), giá trị cực đại ; đạt cực tiểu tại \(x = 3\), giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = 6\).


Câu 9:

Cho hàm số \(y = x\ln x\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ {1;\,e} \right]\) bằng:
Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ÿ Tập xác định của hàm số là \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó, hàm số \(y = x\ln x\) liên tục và xác định trên đoạn \(\left[ {1;\,\,e} \right]\).

Ÿ Ta có: \(y' = \ln x + 1\). Trên khoảng \(\left( {0;e} \right)\), không tồn tại giá trị của \(x\) để \(y' = 0\).

Ÿ\(y\left( 1 \right) = 0;\,\,y\left( e \right) = e\).

Từ đó suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\,e} \right]} y = y\left( 1 \right) = 0\).


Câu 10:

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 9x + 3}}{{x + 1}}\) là đường thẳng:
Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có: \(y = \frac{{2{x^2} - 9x + 3}}{{x + 1}} = 2x - 11 + \frac{8}{{x + 1}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {2x - 11} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{8}{{x + 1}} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {2x - 11} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{8}{{x + 1}} = 0\).

Vậy đường thẳng \(y = 2x - 11\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.


Câu 11:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số ở các phương án sau:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có:

+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - 1\) nên ta loại phương án C.

+ Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng đi xuống từ trái qua phải nên \(a,\,m\) trái dấu. Vậy phương án đúng là A.


Câu 12:

Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) tạo với nhau một góc \(60^\circ \)\(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\), \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\). Khi đó, \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b \) bằng:
Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 2 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ  = 5\).


Câu 13:

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\)có bảng biến thiên như sau:

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)\(\left( {0;1} \right)\).

b) Hàm số đã cho có \(3\) điểm cực trị.

c) Trên đoạn \(\left[ { - 1;\,1} \right]\), giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng \(3\).

d) Phương trình \(f\left( x \right) + 3 = 0\) có 4 nghiệm.

Xem đáp án

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

– Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;\,0} \right)\)\(\left( {1; + \infty } \right)\); nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)\(\left( {0;1} \right)\). Vậy ý a) đúng.

– Hàm số đã cho có \(3\) điểm cực trị: \(x =  - 1\) (điểm cực tiểu), \(x = 0\) (điểm cực đại) và \(x = 1\) (điểm cực tiểu). Do đó, ý b) đúng.

 Trên đoạn \(\left[ { - 1;\,1} \right]\), hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 0\), \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\,1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 3\). Do đó, ý c) đúng.

– Ta có \(f\left( x \right) + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - 3\).

Đường thẳng \(y =  - 3\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) không cắt nhau nên phương trình \(f\left( x \right) =  - 3\) không có nghiệm, tức là phương trình \(f\left( x \right) + 3 = 0\) vô nghiệm.

Vậy ý d) sai.


Câu 14:

Cho hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\).

a) Hàm số đã cho đồng biến trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\].

b) Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 4\).

c) Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - 1\), tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1\).

d) \(2\,023\) giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2\,024;2\,024} \right]\) để đường thẳng \(y = x + 2m\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Xem đáp án

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\).

– Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

– Ta có \(y' = \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y' > 0\) với mọi \(x \ne  - 1\).

– Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)\(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho không có cực trị. Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 3}}{{x + 1}} = 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 3}}{{x + 1}} = 1\). Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(y = 1\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{x - 3}}{{x + 1}} =  - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{x - 3}}{{x + 1}} =  + \infty \). Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(x =  - 1\).

Vậy ý c) đúng.

– Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = x + 2m\,\,\left( d \right)\) và đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)\) là: \(\frac{{x - 3}}{{x + 1}} = x + 2m\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2m} \right) = x - 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 2m + 3 = 0\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} + 2mx + 2m + 3\).

\(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_1};\,{x_2}\) khác \( - 1\)\({x_1}{x_2} < 0\). Điều này xảy ra khi và chỉ khi

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array}\\{\frac{c}{a} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m - 3 > 0\\1 - 2m + 2m + 3 \ne 0\\2m + 3 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 3\end{array} \right.\\m <  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m <  - \frac{3}{2}\).

\(m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left[ { - 2\,024;\,2\,024} \right]\) nên \(m \in \left\{ { - 2\,024;\, - 2\,023;\,...; - 2} \right\}\).

Vậy có \(2\,023\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Do đó, ý d) đúng.


Câu 15:

Cho hình chóp \(S.ABC\)\(SA = SB = SC = AB = AC = 1\)\(BC = \sqrt 2 \).

a) \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {SC} \).

b) \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt 2 \).

c) \(\overrightarrow {SC}  \cdot \overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\).

d) \(\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\).

Xem đáp án

a) Đ, b) S, c) S, d) S.

Hướng dẫn giải

– Theo quy tắc ba điểm, ta có: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {SC} \). Do đó, ý a) đúng.

– Ta có \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = SA = 1;\,\,\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = 1;\,\,\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt 2 \). Do đó, ý b) sai.

– Từ giả thiết, ta thấy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và tam giác \(SAB\) đều.

Do đó, \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0\)\(\left( {\overrightarrow {SA} ,\,\overrightarrow {AB} } \right) = 180^\circ  - \widehat {SAB} = 120^\circ \).

Ta có: \[\overrightarrow {SC}  \cdot \overrightarrow {AB}  = \left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AB} \]

\( = \overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {AB}  = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos 120^\circ  =  - \frac{1}{2}\).

Do đó, ý c) sai.

– Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SC}  \cdot \,\overrightarrow {AB} }}{{\left| {\overrightarrow {SC} } \right| \cdot \,\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{1 \cdot 1}} =  - \frac{1}{2}\). Vậy ý d) sai.


Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\)\(A'\left( {1;\,0 & ;\,1} \right)\), \(B'\left( {3;1;\,3} \right)\), \(D'\left( {1;\, - 1;1} \right)\), \(C\left( {3;\,5;\, - 5} \right)\).

a) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {A'D'} \)\(\left( {0; - 1;0} \right)\).

b) Gọi tọa độ của điểm \(B\)\(\left( {{x_B};\,{y_B};{z_B}} \right)\), ta có tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BC} \) là:

\(\left( {{x_B} - 3;{y_B} - 5;{z_B} + 5} \right)\).

c) Tọa độ của điểm \(B\)\(\left( {3;6; - 5} \right)\).

d) Tọa độ của vectơ tổng \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DD'} \)\(\left( { - 2;\, - 7;6} \right)\).

Xem đáp án

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Ta có: \(\overrightarrow {A'D'}  = \left( {1 - 1; - 1 - 0;1 - 1} \right) = \left( {0; - 1;0} \right)\). Do đó, ý a) đúng.

– Gọi tọa độ của điểm \(B\)\(\left( {{x_B};\,{y_B};{z_B}} \right)\), ta có tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BC} \) là:

\(\left( {3 - {x_B};5 - {y_B}; - 5 - {z_B}} \right)\).

Do đó, ý b) sai.

– Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {A'D'} \).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}3 - {x_B} = 0\\5 - {y_B} =  - 1\\ - 5 - {z_B} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 3\\{y_B} = 6\\{z_B} =  - 5\end{array} \right.\). Vậy \(B\left( {3;6; - 5} \right)\). Do đó, ý c) đúng.

– Ta có: \(\overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {BB'} \). Khi đó, theo quy tắc hình hộp, ta có:

\(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DD'} \)\( = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BD'} \).

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BD'} \)\(\left( { - 2;\, - 7;6} \right)\).

Vậy tọa độ của vectơ tổng \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DD'} \)\(\left( { - 2;\, - 7;6} \right)\). Do đó, ý d) đúng.


Câu 17:

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 2\) có hai điểm cực trị?

Xem đáp án

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x + m + 1\).

Hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt, tức là \({\Delta _{y'}} > 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( { - 3} \right)^2} - 3\left( {m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow 6 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 2\).

\(m \in \mathbb{Z},\,m > 0\) nên \(m = 1\). Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn. 

Đáp số: \(1\).


Câu 18:

Người ta giới thiệu một loại thuốc để kích thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn. Sau \(t\) phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức: \(f\left( t \right) =  - {t^3} + 30{t^2} + 1\,000\) với \(0 \le t \le 30\). Hỏi sau bao nhiêu phút thì số vi khuẩn lớn nhất?
Xem đáp án

Xét hàm số \(f\left( t \right) =  - {t^3} + 30{t^2} + 1\,000\) với \(0 \le t \le 30\).

Ta có \(f'\left( t \right) =  - 3{t^2} + 60t\).

Trên khoảng \(\left( {0;30} \right)\), \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 20\).

\(f\left( 0 \right) = 1\,000;\,f\left( {20} \right) = 5\,000;\,f\left( {30} \right) = 1\,000\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;30} \right]} f\left( t \right) = 5\,000\) tại \(t = 20\).

Vậy sau \(20\) phút thì số vi khuẩn lớn nhất.

Đáp số: \(20\).


Câu 19:

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E,\,F\) là các điểm lần lượt thuộc các cạnh \(AB,\,CD\) sao cho \(AE = \frac{1}{3}AB,\,CF = \frac{1}{3}CD\). Khi biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {EF} \) theo ba vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AD} ,\,\overrightarrow {BC} \) ta được: \(\overrightarrow {EF}  = \frac{a}{b}\overrightarrow {AB}  + \frac{c}{d}\overrightarrow {AD}  + \frac{r}{s}\overrightarrow {BC} \) (với \(\frac{a}{b},\,\frac{c}{d},\,\frac{r}{s}\) là các phân số tối giản và \(a,b,c,d,r,s \in \mathbb{Z}\)). Ta tính được giá trị của biểu thức \(M = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{r}{s}\) bằng \(\frac{x}{y}\) (với \(\frac{x}{y}\) là phân số tối giản và \(x,\,y \in \mathbb{Z}\)). Khi đó, giá trị của biểu thức \(P = x + y\) bằng bao nhiêu?
Xem đáp án

Ta có: \(\overrightarrow {EF}  = \overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DF} \)\( =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {DC} \)

\( =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right)\)

\( = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right) + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)

\( = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \).

Khi đó, \(\frac{a}{b} = \frac{1}{3};\,\,\frac{c}{d} = \frac{1}{3};\,\,\frac{r}{s} = \frac{2}{3}\).

Do đó, \(M = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{r}{s}\)\( = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\). Suy ra \(x = 4;y = 3\).

Vậy \(P = x + y = 4 + 3 = 7\).

Đáp số: \(7\).


Câu 20:

Người ta kéo vật nặng bằng một lực \(\overrightarrow F \) có cường độ \(200\) N như hình dưới đây.

Khi đó, ta biểu diễn được tọa độ của vectơ \(\overrightarrow F \) trong hệ tọa độ trên là \(\overrightarrow F  = \left( {a\sqrt 2 ; - b\sqrt 2 ;c\sqrt 3 } \right)\) (với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\)). Giá trị của biểu thức \(K = a - 2b + c\) bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Đặt \(\overrightarrow F  = \left( {x;y;z} \right)\), ta có:

\(x = 200 \cdot \cos 60^\circ  \cdot \cos 45^\circ  = 50\sqrt 2 \);

\(y =  - 200 \cdot \cos 60^\circ  \cdot \cos 45^\circ  =  - 50\sqrt 2 \);

\(z = 200 \cdot \sin 60^\circ  = 100\sqrt 3 \).

Do đó, \(\overrightarrow F  = \left( {50\sqrt 2 ; - 50\sqrt 2 ;100\sqrt 3 } \right)\).

Suy ra \(a = 50,b = 50,c = 100\). Vậy \(K = a - 2b + c = 50 - 2 \cdot 50 + 100 = 50\).

Đáp số: \(50\).


Câu 21:

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá \(30\,000\) đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình \(3\,000\) chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhuận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lí thấy rằng nếu từ mức giá \(30\,000\) đồng mà cứ tăng thêm \(1\,000\) đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn \(100\) chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là \(18\,000\) đồng. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu nghìn đồng để đạt lợi nhuận lớn nhất?
Xem đáp án

Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là \(x\) (nghìn đồng, \(x > 0\)).

Vì cứ tăng giá thêm \(1\,\) nghìn đồng thì số khăn bán ra mỗi tháng sẽ ít hơn \(100\) chiếc nên tăng \(x\) nghìn đồng thì số khăn bán ra giảm \(100x\) chiếc.

Do đó, tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: \(3\,000 - 100x\) (chiếc).

Lúc đầu bán với giá \(30\) nghìn đồng, mỗi chiếc khăn có lãi \(12\) nghìn đồng. Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: \(12 + x\) (nghìn đồng).

Khi đó, lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là:

\(L\left( x \right) = \left( {3\,000 - 100x} \right)\left( {12 + x} \right)\)\( =  - 100{x^2} + 1\,800x + 36\,000\) (nghìn đồng).

Xét hàm số \(L\left( x \right) =  - 100{x^2} + 1\,800x + 36\,000\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(L'\left( x \right) =  - 200x + 1\,800\). Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 9\).

Bảng biến thiên của hàm số \(L\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) như sau:

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi  (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta thấy: trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), hàm số \(L\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 9\).

Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất phải tăng giá bán mỗi chiếc khăn lên \(9\) nghìn đồng, tức là giá bán mới của mỗi chiếc khăn là \[39\] nghìn đồng.

Đáp số: \(39\).


Câu 22:

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng \(m = 3\) kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích \(SA,\,SB,\,SC,\,SD\) sao cho \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat {ASC} = 60^\circ \) như hình dưới.

Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Biết rằng gia tốc rơi tự do có độ lớn 9,8 m/s2.

Xem đáp án

Gọi \(O\) là tâm của đáy \(ABCD\).

\(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = SB = SC = SD\)\(O\) là trung điểm của \(AC\)\(BD\).

Ta có: \(\widehat {ASC} = 60^\circ \), suy ra \(\widehat {ASO} = 30^\circ \).  

Hợp lực của bốn sợi xích là: 

\(\overrightarrow F  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = \left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC} } \right) + \left( {\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} } \right)\)\( = 2\overrightarrow {SO}  + 2\overrightarrow {SO}  = 4\overrightarrow {SO} \).

Để đèn chùm đứng yên thì hợp lực của các sợi xích phải cân bằng với trọng lực \(\overrightarrow P \), điều đó có nghĩa là \(4\overrightarrow {SO}  = \overrightarrow P \), suy ra \(4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = \left| {\overrightarrow P } \right|\), hay \(SO = \frac{P}{4}\).

Độ lớn của trọng lực tác động lên đèn chùm là: \(P = mg = 3 \cdot 9,8 = 29,4\) (N).

Do đó, \(SO = \frac{{29,4}}{4} = 7,35\).

Ta có: \(SA = \frac{{SO}}{{\cos \widehat {ASO}}} = \frac{{7,35}}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{49\sqrt 3 }}{{10}} \approx 8,5\).

Vậy độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng khoảng 8,5 N.

Đáp số: \(8,5\).


Bắt đầu thi ngay