Cho đường tròn \[\left( O \right),\] từ một điểm \[M\] ở ngoài \[\left( O \right),\] vẽ hai tiếp tuyến \[MA\] và \[MB\] sao cho \[\widehat {AMB}\] bằng \[120^\circ .\] Biết chu vi tam giác \[MAB\] là \[6\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right){\rm{\;cm}}.\] Khi đó độ dài dây \[AB\] bằng
A. \[15{\rm{\;cm}}.\]
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
Ta có \[MA,MB\] là hai tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] cắt nhau tại \(M\) nên \[MA = MB\] và \[MO,\,\,OM\] lần lượt là tia phân giác của \[\widehat {AMB},\,\,\widehat {AOB}.\]
Khi đó \[\widehat {AMO} = \widehat {OMB} = \frac{{\widehat {AMB}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ .\]
Ta có \[MA\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] nên \[MA \bot OA\] tại \[A.\]
Vì tam giác \[OAM\] vuông tại \[A\] nên \[AM = AO \cdot \cot \widehat {AMO} = R \cdot \cot 60^\circ = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}.\]
Suy ra \[MB = MA = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}.\]
Vì tam giác \[OAM\] vuông tại \[A\] nên \[\widehat {AMO} + \widehat {AOM} = 90^\circ .\]
Suy ra \[\widehat {AOM} = 90^\circ - \widehat {AMO} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ .\]
Ta có \[OM\] là tia phân giác của \[\widehat {AOB}\] nên \[\widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ .\]
Xét tam giác \[OAB\] có \[OA = OB = R\] và \[\widehat {AOB} = 60^\circ \] nên tam giác \[OAB\] là tam giác đều.
Khi đó \[AB = OA = OB = R.\]
Ta có chu vi tam giác \[MAB\] là \(MA + MB + AB\)
Theo bài chu vi tam giác \[MAB\] bằng \[6\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right){\rm{\;cm,}}\] suy ra:
\[\frac{{R\sqrt 3 }}{3} + \frac{{R\sqrt 3 }}{3} + R = 6\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right)\,\]
\[R \cdot \left( {\frac{{2\sqrt 3 + 3}}{3}} \right) = 6\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right)\]
\[R = 18{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Vì vậy \[AB = R = 18{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\] Vậy ta chọn phương án C.
Hai tiếp tuyến tại \[A\] và \[B\] của đường tròn \[\left( O \right)\] cắt nhau tại \[I.\] Đường thẳng qua \[I\] vuông góc với \[IA\] cắt \[OB\] tại \[K.\] Khẳng định nào sau đây là đúng?
II. Thông hiểu
Cho \[a\] và \[b\] là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng bằng \[3{\rm{\;cm}}.\] Lấy điểm \[I\] trên \[a\] và vẽ đường tròn \[\left( {I;3,5{\rm{\;cm}}} \right).\] Khi đó đường tròn \[\left( I \right)\] với đường thẳng \[b\]
I. Nhận biết
Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung?
Cho đường tròn \[\left( O \right)\] và đường thẳng \[a.\] Kẻ \[OH \bot a\] tại điểm \[H,\] biết \[OH < R.\] Khi đó, đường thẳng \[a\] và đường tròn \[\left( O \right)\]
Hai tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(A.\) Biết \(OB = 3{\rm{\;cm}},\,\,OA = 5{\rm{\;cm}}{\rm{.}}\) Khẳng định nào sau đây là sai?
Cho đường tròn \[\left( {O;5{\rm{\;cm}}} \right)\] và một điểm \[A\] nằm ngoài \[\left( O \right).\] Qua \[A,\] kẻ đường thẳng cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại hai điểm \[B\] và \[C\] (điểm \[B\] nằm giữa hai điểm \[A\] và \[C)\] sao cho \[AB = BC.\] Vẽ đường kính \[CD\] của đường tròn \[\left( O \right).\] Khi đó độ dài đoạn \[AD\] bằng
Cho đường tròn \[\left( O \right),\] bán kính \[R = OA,\] dây \[CD\] là đường trung trực của \[OA.\] Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại \[C,\] tiếp tuyến này cắt đường thẳng \[OA\] tại \[I.\] Cho các khẳng định sau:
(i) Tứ giác \[CODA\] là hình thoi.
(ii) \[CI = R\sqrt 3 .\]
Kết luận nào sau đây đúng nhất?
Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] và dây \[AB = 1,2R.\] Vẽ một tiếp tuyến song song với \[AB,\] cắt các tia \[OA,OB\] lần lượt tại \[E\] và \[F.\] Diện tích tam giác \[OEF\] theo \[R\] là
Cho đường tròn \[\left( O \right)\] và đường thẳng \[a.\] Kẻ \[OH \bot a\] tại điểm \[H,\] biết \[OH > R.\] Khi đó, đường thẳng \[a\] và đường tròn \[\left( O \right)\] có vị trí tương đối là
Cho hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho \[a\] và \[b\] là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng bằng \[2,5{\rm{\;cm}}.\] Lấy điểm \[I\] trên \[a\] và vẽ đường tròn \[\left( {I;2,5{\rm{\;cm}}} \right).\] Khi đó đường tròn \[\left( I \right)\] với đường thẳng \[b\]
Cho đường tròn tâm \[O\] bán kính \[4{\rm{\;cm}}\] và một điểm \[A\] cách \[O\] là \[7{\rm{\;cm}}.\] Kẻ tiếp tuyến \[AB\] với đường tròn (điểm \[B\] là tiếp điểm). Khi đó độ dài \[AB\] là
III. Vận dụng
Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] và điểm \[A\] nằm ngoài \[\left( O \right).\] Từ \[A\] kẻ hai tiếp tuyến \[AB,AC\] với đường tròn \[\left( O \right)\] (hai điểm \[B,C\] là các tiếp điểm). Gọi \[H\] là giao điểm của \[OA\] và \[BC.\] Lấy \[D\] đối xứng với \[B\] qua \[O.\] Gọi \[E\] là giao điểm của đoạn thẳng \[AD\] với đường tròn \[\left( O \right)\] (điểm \[E\] khác điểm \[D\]) . Tỉ số \[\frac{{DE}}{{BE}}\] bằng
