Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB=2a, $\widehat{BAC}={120}^{\circ }$,SA=SB và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng $\frac{a^3}{4}$ . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1]  thỏa mãn $f\left(x\right)=6x^{2}f\left(x^3\right)+\frac{3}{\sqrt{3x+1}}$  Giá trị ${\int }_0^2\left(x+1\right)f\text{'}\left(\frac{x}{2}\right)dx$  bằng

Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $\sqrt{3}a$. M là trung điểm cạnh A'B', N là điểm trên tia đối của tia C'A' sao choA’C’=2NC. Mặt phẳng (AMN) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện chứa đỉnh A' bằng

Một loài vi khuẩn A được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm với số lượng ban đầu là N(0) và  số lượng vi khuẩn A sau t phút là N(t). Số lượng vi khuẩn A theo thời gian t được biểu diễn bởi đồ thị bên hình vẽ. Biết rằng cứ sau 3 phút, số lượng vi khuẩn A tăng lên gấp k lần. Hỏi sau bao lâu, kể từ thời điểm ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 20 triệu con?

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $f\left(ab+bc+ca+3\right)$+$f\left(2-2a^2-2b^2-2c^2\right)=1$  với hàm số $f\left(x\right)=\frac{4^x}{4^x+4}$  Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^2+b^2+c^2-\frac{1}{a+b+c+3}$  bằng

Từ một miếng tôn hình tam giác đều cạnh $\sqrt{3}$ , người ta dùng để chế tạo một thùng hình trụ  không đáy có thể tích V bằng cách cắt ra một hình chữ nhật như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của V bằng bao nhiêu lít? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Trong không gian, quay tam giác ABC vuông tại A có $AB=\sqrt{3}a$  quanh cạnh AC tạo thành khối nón có góc ở đỉnh bằng ${60}^{\circ }$  . Thể tích khối nón được tạo thành bằng 

Một khối gỗ có dạng khối cầu bán kính bằng 2 cm . Người ta cần chế tạo một con xúc sắc có dạng khối đa diện đều loại $\left\{4;3\right\}$ . Thể tích gỗ tối thiểu phải bỏ đi gần với giá trị nào dưới đây?

Đường cong parabol $y=\frac{x^2}{6}$  chia đường elip (E) có độ dài trục lớn và trục bé lần lượt bằng 4 và 2 thành hai phần có tỉ số diện tích bằng (tham khảo hình vẽ bên) 

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân đỉnh  AC=$\sqrt{2}a$ , đường thẳng AB' tạo với mặt phẳng đáy một góc . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Bác A định trồng ngô và sắn trên diện tích 8a Nếu trồng ngô thì cần 20 ngày công và thu 3 triệu đồng trên mỗi a, nếu trồng sắn thì cần 30 ngày công và thu 4 triệu đồng trên mỗi a. Biết tổng số ngày công không quá 180 ngày thì số tiền lớn nhất A thu    được bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến đơn vị triệu đồng )   

Với các giá trị x,y bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?  

Cho hai số phức $z_1=2-3i,z_2=1+i$  Phần ảo của số phức $z_1-2\overline{z_2}$  bằng

Cho tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 19. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 số. Xác suất để chọn được ít nhất một số chia hết cho 4 bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[-20;20\right]$  để bất phương trình $2^{2x+1}-12m.2^{x-1}+5m^2-10<0$  có nghiệm thực?

Biết ${\int }_{32}^{128}\frac{1+{\log }_{2}x}{\left({\log }_2^2-3{\log }_{2}x\right)x\ln 2}dx$=$a\ln 2+b\ln 5+c\ln 7$$\left(a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Q}}\right)$ . Giá trị a+b-c bằng