Biết ${\int }_3^4\frac{dx}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=a\ln 2+b\ln 5+c$, với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính $S=a-3b+c.$

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng (ABC) bằng ${60}^0$, tam giác ABC vuông tại C và $\widehat{BAC}={60}^0$. Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Thể tích của khối tứ diện A'.ABC tính theo a bằng

Trên cánh đồng cỏ, có 2 con bò được cột vào hai cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa hai cọc là 5 m, còn hai sợi dây buộc hai con bò lần lượt có chiều dài là 4 m và 3 m (không tính phần chiều dài dây buộc bò). Tính diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung (làm tròn đến hàng phần nghìn)

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1=3$ và số hạng thứ tư $u_4=24$. Tổng $S_{10}$ của 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên là

Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số nguyên m thỏa mãn phương trình ${\log }_{0,5}\left(m+6x\right)+{\log }_2\left(3-2x-x^2\right)=0$ có duy nhất một nghiệm. Khi đó hiệu a - b bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của hàm số $m\in \left[-100;100\right]$ để phương trình ${\log }_3{x}^{2m+1}=\left(m+3\right)\left(x-1\right)$ có hai nghiệm thực dương phân biệt?

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên $\mathrm{ℝ}$, có đồ thị như hình vẽ bên. Với m là tham số thực bất kì thuộc đoạn [1;2]. Phương trình $f\left(x^3-3x^2\right)=m^3-3m^2+5$ có bao nhiêu nghiệm thực?

Nếu ${\log }_{8}a+{\log }_4{b}^2=5$ và ${\log }_4{a}^2+{\log }_{8}b=7$ thì giá trị của ${\log }_2\left(ab\right)$ bằng bao nhiêu?

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, CD và P là điểm trên cạnh  sao cho BP=3PB'. Mặt phẳng (MNP) chia khối lập phương thành hai khối lần lượt có thể tích $V_1, V_2$. Biết khối có thể tích $V_1$ chứa điểm A. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$.

Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x-3}$ có đồ thị (C). Biết điểm I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C).Hỏi I thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $\mathrm{ℝ}$. Đồ thị hàm số y = f '(x) cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ $a,b,c\left(a<b<c\right)$ như hình vẽ. Biết f (b)<0, hỏi phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

Cho số phức z thỏa mãn $z.\overline{z}=13.$ Biết M là điểm biểu diễn số phức z và M thuộc đường thẳng $y=-3$ nằm trong góc phần tư thứ ba trên mặt phẳng Oxyz. Khi đó môđun của số phức $\text{w}=z-3+15i$ bằng bao nhiêu?

Cho $9^x+9^{-x}=3.$ Giá trị của biểu thức $T=\frac{15-{81}^x-{81}^{-x}}{3+\left|3^x-3^{-x}\right|}$ bằng bao nhiêu

Cho $a,b,c$ là số thực thỏa mãn $0<a\ne 1$ và $bc>0.$ Trong các khẳng định sau:

I. ${\log }_a\left(bc\right)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c.$

II. ${\log }_a\left(bc\right)=\frac{1}{{\log }_{bc}a}.$

III. ${\log }_a{\left(\frac{b}{c}\right)}^2=2{\log }_a\frac{b}{c}.$

IV. ${\log }_a{b}^4=4{\log }_{a}b.$

Có bao nhiêu khẳng định đúng?

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (DBC) và $\widehat{DBC}={90}^0$. Khi quay các cạnh của tứ diện xung quanh trục là cạnh AB, có bao nhiêu hình nón được tạo thành?

Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi ít nhất sau bao nhiêu năm người đó thu được nhiều hơn gấp đôi số tiền ban đầu?