Biết $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2017}+1}{2018}, {90}^0<\alpha <{180}^0$. Tính giá trị của biểu thức $M=\cot \alpha +\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }$

Cho ba vec tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ thỏa mãn: $\left|\overrightarrow{a}\right|=4;\left|\overrightarrow{b}\right|=1;\left|\overrightarrow{c}\right|=5$ và $5\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)+3\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$. Khi đó biểu thức $M=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}$ có giá trị là:

Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức $4M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=\frac{5a^2}{2}$ nằm trên một đường tròn  có bán kính R. Tính R?

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (1; 3), B (−1; −1), C (1; 1). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I (a; b). Giá trị a + b bằng

Cho tam giác ABC có a = 5 cm, c = 9 cm, $\cos C=-\frac{1}{10}$. Tính độ dài đường cao $h_a$ hạ từ A của tam giác ABC

Cho tam giác đều ABC cạnh 18cm. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|$ là:

Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ bằng:

Trên nóc một tòa nhà có cột ăng-ten cao 5m. Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc ${50}^{\circ }$ và ${40}^{\circ }$ so với phương nằm ngang (như hình vẽ bên). Chiều cao của tòa nhà (được làm tròn đến hàng phần mười) là:

Đoạn thẳng AB có độ dài 2a, I là trung điểm AB. Khi $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=3a^2$. Độ dài MI là:

Cho tam giác ABC vuông tại A, $BC=a\sqrt{3}$, M là trung điểm của BC và có $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{a^2}{2}$. Tính cạnh AB, AC

Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M thỏa mãn MO = 3R. Một đường kính AB thay đổi trên đường tròn. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = MA + MB

Cho $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$ vuông góc với $\overrightarrow{v}=7\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}$ vuông góc với $\overrightarrow{y}=7\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$. Khi đó góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng:

Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đáy lớn CD. Biết AB = AD và $\tan \widehat{BDC}=\frac{3}{4}$. Tính $\cos \widehat{BAD}$

Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi M là điểm tùy ý trên đường tròn nội tiếp hình vuông. Tính $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}$

Từ một miếng tôn có hình dạng là nửa đường tròn bán kính 1m, người ta cắt ra một hình chữ nhật. Hỏi có thể cắt được miếng tôn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?