15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Ôn tập Toán 10 Chương 2 Hình học có đáp án

Câu 1:

Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ bằng:

A. $1 + \sqrt{2}$

B. $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

D. $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $R = \frac{a b c}{4 S}, r = \frac{S}{p}$

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên b = c và $a = \sqrt{b^{2} + c^{2}} = b \sqrt{2}$

Xét tỉ số:

$\frac{R}{r} = \frac{a b c . p}{4 S^{2}} = \frac{a b c . \frac{a + b + c}{2}}{4. \frac{1}{4} . {(b . c)}^{2}} = \frac{a (a + 2 b)}{2 b^{2}} = \frac{2 b^{2} (1 + \sqrt{2})}{2 b^{2}} = 1 + \sqrt{2}$

Câu 2:

Cho tam giác đều ABC cạnh 18cm. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$ là:

A. Tập rỗng

B. Đường tròn cố định có bán kính R = 2cm

C. Đường tròn cố định có bán kính R = 3cm

D. Một đường thẳng

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $|\vec{M A} - \vec{M B}| = |\vec{A B}| = 18$

Dựng điểm I thỏa mãn:

$2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{A I} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{4}{9} \vec{A C}$

Khi đó:

$|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M A} - \vec{M B}| \Leftrightarrow 9 |\vec{M I}| = 18 \Leftrightarrow I M = 2$

Do đó tập hợp các điểm M là đường tròn cố định có bán kính R = 2cm

Câu 3:

Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi M là điểm tùy ý trên đường tròn nội tiếp hình vuông. Tính $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M C} . \vec{M D}$

A. $\frac{a^{2}}{2}$

B. $\frac{a^{2}}{4}$

C. $\frac{a^{2}}{8}$

D. 0

Xem đáp án

Đáp án A

$\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M C} . \vec{M D} = (\vec{M O} + \vec{O A}) (\vec{M O} + \vec{O B}) + (\vec{M O} + \vec{O C}) (\vec{M O} + \vec{O D}) = 2 M O^{2} + \vec{O A} . \vec{O B} + \vec{O C} . \vec{O D} + \vec{M O} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D}) C ó \vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}; \vec{O B} + \vec{O D} = \vec{0} \Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0} \vec{O A} ⊥ \vec{O B} \Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = 0, \vec{O C} ⊥ \vec{O D} \Rightarrow \vec{O C} . \vec{O D} = 0$

Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a có bán kính $\frac{a}{2} \Rightarrow M O = \frac{a}{2} \Rightarrow M O^{2} = \frac{a^{2}}{4}$

Vậy $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M C} . \vec{M D} = 2. \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{2}$

Câu 4:

Trên nóc một tòa nhà có cột ăng-ten cao 5m. Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc $50^{\circ}$ và $40^{\circ}$ so với phương nằm ngang (như hình vẽ bên). Chiều cao của tòa nhà (được làm tròn đến hàng phần mười) là:

A. 21,2m

B. 14,2m

C. 11,9m

D. 18,9m

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có chiều cao của tòa nhà chính là đoạn HC.

Mà HC = CD + DH = CD + 7

Xét tam giác ACD vuông tại D có $A C = \frac{C D}{\sin 40^{0}}$

Xét tam giác ABD vuông tại D có $A B = \frac{5 + C D}{\sin 50^{0}}$

Xét tam giác ABC có:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos \hat{B A C} \Leftrightarrow (\frac{1}{\sin^{2} 50^{0}} + \frac{1}{\sin^{2} 40^{0}} - \frac{2 \cos 10^{0}}{\sin 40^{0} \sin 50^{0}}) C D^{2} + (\frac{10}{\sin^{2} 50^{0}} - \frac{10 \cos 10^{0}}{\sin 40^{0} \sin 50^{0}}) + \frac{25}{\sin^{2} 50^{0}} - 25 = 0 \Leftrightarrow C D \approx 11, 9 \Rightarrow H C \approx 7 + 11, 9 \approx 18, 9 (m)$

Vậy tòa nhà cao 18,9m

Câu 5:

Cho tam giác ABC có a = 5 cm, c = 9 cm, $\cos C = - \frac{1}{10}$ . Tính độ dài đường cao $h_{a}$ hạ từ A của tam giác ABC

A. $h_{a} = \frac{\sqrt{462}}{40} c m$

B. $h_{a} = \frac{\sqrt{462}}{100} c m$

C. $h_{a} = \frac{21 \sqrt{11}}{40} c m$

D. $h_{a} = \frac{21 \sqrt{11}}{10} c m$

Xem đáp án

Đáp án D

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a . b . \cos C \Rightarrow 81 = 25 + b^{2} - 2.5. b . (- \frac{1}{10}) \Leftrightarrow b^{2} + b - 56 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} b = 7 \\ b = - 8 \end{matrix}$

Ta nhận được b = 7 (cm)

Diện tích tam giác ABC là

$S_{Δ A B C} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{\frac{21}{2} (\frac{21}{2} - 5) (\frac{21}{2} - 7) (\frac{21}{2} - 9)} = \frac{21 \sqrt{11}}{4} (c m^{2})$

Độ dài đường cao $h_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{\frac{21 \sqrt{11}}{2}}{5} = \frac{21 \sqrt{11}}{10} (c m)$

Câu 6:

Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M thỏa mãn MO = 3R. Một đường kính AB thay đổi trên đường tròn. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = MA + MB

A. Min S = 6R

B. Min S = 4R

C. Min S = 2R

D. Min S = R

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $\hat{M O A} = α \Rightarrow \hat{M O B} = 180^{0} - α$

Ta có:

$M A = \sqrt{M O^{2} + A O^{2} - 2 M O . A O . \cos α} = \sqrt{9 R^{2} + R^{2} - 6 R^{2} \cos α} = R \sqrt{10 - 6 \cos α} M B = \sqrt{M O^{2} + B O^{2} - 2 M O . B O . \cos (180^{0} - α)} = \sqrt{9 R^{2} + R^{2} + 6 R^{2} \cos α} = R \sqrt{10 + 6 \cos α}$

Xét $C = \sqrt{10 - 6 \cos α} + \sqrt{10 + 6 \cos α}$

$\Rightarrow C^{2} = 20 + 2 \sqrt{100 - 36 \cos^{2} α} \geq 20 + 2 \sqrt{100 - 36} = 36$

Suy ra $C \geq 6$ . Dấu bằng xảy ra khi

$\cos^{2} α = 1 \Leftrightarrow [\begin{matrix} \cos α = 1 \\ \cos α = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} α = 0^{0} \\ α = 180^{0} \end{matrix}$

Ta có $S = M A + M B = R (\sqrt{10 - 6 \cos α} + \sqrt{10 + 6 \cos α}) \geq 6 R$

Suy ra min S = 6R khi và chỉ khi A, O, B, M thẳng hàng

Câu 7:

Từ một miếng tôn có hình dạng là nửa đường tròn bán kính 1m, người ta cắt ra một hình chữ nhật. Hỏi có thể cắt được miếng tôn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

A. $1, 6 m^{2}$

B. $2 m^{2}$

C. $1 m^{2}$

D. $0, 8 m^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Xét đường tròn bán kính 1, ta cắt trên đó một hình chữ nhật ABCD.

Khi đó $S_{A B C D} = \frac{1}{2} A C . B D . \sin α = 2 \sin α \leq 2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $α = 90^{\circ}$

Vậy diện tích lớn nhất của miếng tôn cắt trên nửa đường tròn bằng 1

Câu 8:

Cho $\vec{u} = \vec{a} + 3 \vec{b}$ vuông góc với $\vec{v} = 7 \vec{a} - 5 \vec{b}$ và $\vec{x} = \vec{a} - 4 \vec{b}$ vuông góc với $\vec{y} = 7 \vec{a} - 2 \vec{b}$ . Khi đó góc giữa hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng:

A. $(\vec{a}, \vec{b}) = 75^{0}$

B. $(\vec{a}, \vec{b}) = 60^{0}$

C. $(\vec{a}, \vec{b}) = 120^{0}$

D. $(\vec{a}, \vec{b}) = 45^{0}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$\{\begin{matrix} \vec{u} . \vec{v} = 0 \\ \vec{x} . \vec{y} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} (\vec{a} + 3 \vec{b}) . (7 \vec{a} - 5 \vec{b}) = 0 \\ (\vec{a} - 4 \vec{b}) . (7 \vec{a} - 2 \vec{b}) = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 7 {|\vec{a}|}^{2} - 15 {|\vec{b}|}^{2} = - 16 \vec{a} . \vec{b} \\ 7 {|\vec{a}|}^{2} + 8 {|\vec{b}|}^{2} = 30 \vec{a} . \vec{b} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} {|\vec{b}|}^{2} = 2 \vec{a} . \vec{b} \\ {|\vec{a}|}^{2} = 2 \vec{a} . \vec{b} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} {|\vec{b}|}^{2} = 2 \vec{a} . \vec{b} \\ |\vec{a}| = |\vec{b}| \end{matrix}$

Từ đó, ta có:

$\cos (\vec{a} . \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{{|\vec{b}|}^{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 60^{0}$

Câu 9:

Cho tam giác ABC vuông tại A, $B C = a \sqrt{3}$ , M là trung điểm của BC và có $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{a^{2}}{2}$ . Tính cạnh AB, AC

A. $A B = a, A C = a \sqrt{2}$

B. $A B = a \sqrt{2}, A C = a \sqrt{2}$

C. $A B = a \sqrt{2}, A C = a$

D. $A B = a, A C = a$

Xem đáp án

Đáp án A

$\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{a^{2}}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) (\vec{A C} + \vec{A B}) = \frac{a^{2}}{2} \Rightarrow A C^{2} - A B^{2} = a^{2}$

Mặt khác, tam giác ABC vuông tại A nên $A B^{2} + A C^{2} = 3 a^{2}$

Suy ra $\{\begin{matrix} A C^{2} = 2 a^{2} \\ A B^{2} = a^{2} \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} A C = a \sqrt{2} \\ A B = a \end{matrix}$

Câu 10:

Đoạn thẳng AB có độ dài 2a, I là trung điểm AB. Khi $\vec{M A} . \vec{M B} = 3 a^{2}$ . Độ dài MI là:

A. 2a

B. a

C. $a \sqrt{3}$

D. $a \sqrt{7}$

Xem đáp án

Đáp án A

+ Vì I là trung điểm đoạn AB nên ta có:

$\vec{M A} . \vec{M B} = 2 \vec{M I} \Rightarrow {(\vec{M A} . \vec{M B})}^{2} = 4 {\vec{M I}}^{2} \Rightarrow M A^{2} + 2 \vec{M A} . \vec{M B} + M B^{2} = 4 M I^{2} \Rightarrow M A^{2} + M B^{2} + 6 a^{2} = 4 M I^{2} (1)$

+ Theo công thức độ dài đường trung tuyến:

$M I^{2} = \frac{M A^{2} + M B^{2}}{2} - \frac{A B^{2}}{4} \Rightarrow M I^{2} = \frac{M A^{2} + M B^{2}}{2} - a^{2} \Rightarrow 4 M I^{2} = 2 (M A^{2} + M B^{2}) - 4 a^{2} (2)$

+ Từ (1) và (2) suy ra $M A^{2} + M B^{2} = 10 a^{2}$

Thay vào (1) ta được:

$10 a^{2} + 6 a^{2} = 4 M I^{2} \Rightarrow M I^{2} = 4 a^{2} \Rightarrow M I = 2 a$

Câu 11:

Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức $4 M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = \frac{5 a^{2}}{2}$ nằm trên một đường tròn có bán kính R. Tính R?

A. $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

B. $R = \frac{a}{4}$

C. $R = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $R = \frac{a}{\sqrt{6}}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi N là trung điểm đoạn BC

Gọi I là điểm thỏa mãn:

$4 \vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0} \Leftrightarrow 4 \vec{I A} + 2 \vec{I N} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{I A} + \vec{I N} = \vec{0}$ nên điểm I thuộc đoạn thẳng AN sao cho IN = 2IA

Khi đó: $I A = \frac{1}{3} A N = \frac{1}{3} \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ và $I N = \frac{2}{3} A N = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$I B^{2} = I C^{2} = I N^{2} + B N^{2} = \frac{a^{2}}{3} + \frac{a^{2}}{4} = \frac{7 a^{2}}{12}$

Ta có: $4 M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = \frac{5 a^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 4 {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2} = \frac{5 a^{2}}{2} \Leftrightarrow 6 M I^{2} + 4 I A^{2} + I B^{2} + I C^{2} = \frac{a \sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow 6 M I^{2} + 4. \frac{a^{2}}{12} + 2. \frac{7 a^{2}}{12} = \frac{5 a^{2}}{2} \Leftrightarrow M I = \frac{a}{\sqrt{6}}$

Câu 12:

Biết $\sin α = \frac{\sqrt{2017} + 1}{2018}, 90^{0} < α < 180^{0}$ . Tính giá trị của biểu thức $M = \cot α + \frac{\sin α}{1 + \cos α}$

A. $M = - \frac{\sqrt{2017} + 1}{2018}$

B. $M = \frac{\sqrt{2017} + 1}{2018}$

C. $M = - \frac{2018}{\sqrt{2017} + 1}$

D. $M = \frac{2018}{\sqrt{2017} + 1}$

Xem đáp án

Đáp án D

$M = \cot α + \frac{\sin α}{1 + \cos α} = \frac{\cos α}{\sin α} + \frac{\sin α}{1 + \cos α} = \frac{1 + \cos α}{\sin α (1 + \cos α)} = \frac{1}{\sin α} = \frac{2018}{\sqrt{2017} + 1}$

Câu 13:

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (1; 3), B (−1; −1), C (1; 1). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I (a; b). Giá trị a + b bằng

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\vec{I A} = (a - 1; b - 3)$

$\Rightarrow I A^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a - 6 b + 10$

$\vec{I B} = (a + 1; b + 1) \Rightarrow I B^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a + 2 b + 2 \vec{I C} = (a - 1; b - 1) \Rightarrow I C^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a - 2 b + 2$

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên:

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} I A = I B \\ I C = I B \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} I A^{2} = I B^{2} \\ I C^{2} = I B^{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a + 2 b = 2 \\ a + b = 0 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} a = - 2 \\ b = 2 \end{matrix}$

Vậy a + b = 0

Câu 14:

Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đáy lớn CD. Biết AB = AD và $\tan \hat{B D C} = \frac{3}{4}$ . Tính $\cos \hat{B A D}$

A. $\frac{17}{25}$

B. $- \frac{7}{25}$

C. $\frac{5}{25}$

D. $- \frac{17}{25}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi E là hình chiếu vuông góc của B trên DC. Đặt $A B = A D = B C = x$

Ta có: $E C = \frac{D C - x}{2}$ (1)

Trong tam giác vuông BDE ta có:

$\tan \hat{B D C} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{B E}{E D} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow B E = \frac{3}{4} E D \Leftrightarrow B E = \frac{3}{4} (D C - \frac{D C - x}{2}) = \frac{3}{8} (D C + x) (2)$

Trong tam giác vuông BEC ta có: $B C^{2} = E C^{2} + B E^{2}$ (3)

Thay (1), (2) vào (3) biến đổi ta được:

$39 x^{2} + 14 D C . x - 25 D C^{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{25}{39} D C h a y D C = \frac{39}{25} x$

Khi đó, $E C = \frac{7}{25} x$

Mặt khác:

$\cos \hat{B A D} = - \cos \hat{B C E} = - \frac{E C}{B C} = - \frac{7}{25}$

Câu 15:

Cho ba vec tơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ thỏa mãn: $|\vec{a}| = 4; |\vec{b}| = 1; |\vec{c}| = 5$ và $5 (\vec{b} - \vec{a}) + 3 \vec{c} = \vec{0}$ . Khi đó biểu thức $M = \vec{a} . \vec{b} + \vec{b} . \vec{c} + \vec{c} . \vec{a}$ có giá trị là:

A. 29

B. $\frac{67}{2}$

C. 18,25

D. – 18.25

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $5 (\vec{b} - \vec{a}) + 3 \vec{c} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 5 (\vec{a} - \vec{b}) = 3 \vec{c} \Leftrightarrow 25 {(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = 9 {\vec{c}}^{2} \Leftrightarrow 25 ({\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} \vec{b} + {\vec{b}}^{2}) = 9 {\vec{c}}^{2} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 4$

Tương tự:

$5 (\vec{b} - \vec{a}) + 3 \vec{c} = \vec{0} \Leftrightarrow 5 \vec{a} = 5 \vec{b} + 3 \vec{c} \Leftrightarrow \vec{b} . \vec{c} = 5 5 (\vec{b} - \vec{a}) + 3 \vec{c} = \vec{0} \Leftrightarrow 5 \vec{b} = 5 \vec{a} - 3 \vec{c} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{c} = 20$

Vậy M = 4 + 5 + 20 = 29