Áp dụng định lí cô sin  trong tam giác  ta có: 

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2 AB.AC.\cos A=4^2+6^2-\mathrm{2.4.6.}\cos 120°$

$=4^2+6^2-\mathrm{2.4.6.}\left(-\frac{1}{2}\right)=76\Rightarrow BC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$.

Chọn B.

Áp dụng hệ quả của định lí cô sin trong tam giác ta có: 

 $cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(5^2+4^2-6^2)/2.5.4=1/8=0,125$.

Chọn A.

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến ta có:

 ${m_c}^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}=\frac{3^2+5^2}{2}-\frac{6^2}{4}=8\Rightarrow m_c=2\sqrt{2}$.

Chọn B.

Sử dụng công thức trung tuyến, ta có:

${m_a}^2+{m_b}^2+{m_c}^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}+\frac{2c^2+2a^2-b^2}{4}+\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$

$=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)$

Chọn D

 Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có$\frac{a}{\sin A}=2R$. Suy ra:

 $R=\frac{a}{2\sin 60°}=\frac{a}{2. \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Chọn A.

 $S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.10.12.}\sin 150°=60.\frac{1}{2}=30$.

Chọn B.

Ta có: $A{B}^2+A{C}^2=3^2+4^2=5^2\Rightarrow A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ 

⇒ ∆ABC vuông tại A.

Diện tích tam  giác ABC  là:

$S_{∆ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.3.4=6$ .

 Nửa chu vi của tam giác là $p=1/2 (3+4+5)=6$.

Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC là:

$r=\frac{S}{p}=\frac{6}{6}=1$. Chọn D.

Ta có:

 $a{h}_a=b{h}_b=2S\Rightarrow \frac{h_a}{h_b}=\frac{b}{a}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.

Chọn A.

Nửa chu vi của tam giác ABC là:   $p=\frac{5+6+7}{2}=9$

Áp dụng công  thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC là: 

$S=\sqrt{9.\left(9-5\right).\left(9-6\right).\left(9-7\right)}=\sqrt{36.6}=6\sqrt{6}$.

Chọn C.

Nửa chu vi của tam giác ABC là:  $p=\frac{3+5+6}{2}=7$

Áp dụng công  thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC là: 

$S=\surd (7.(7-3).(7-5).(7-6) )=\surd 56=2\surd 14$

Bán kính đường trong nội tiếp của tam giác là:

$r=\frac{S}{p}=\frac{2\sqrt{14}}{7}$. Chọn A.

$a^2+b^2=5^2+{12}^2={13}^2\Rightarrow a^2+b^2=c^2$ ⇒ ∆ABC vuông tại C

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $R=\frac{c}{2}=\frac{13}{2}=\mathrm{6,5}$.

Chọn C.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ta có:

 $c^2=2^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2-\mathrm{2.2.2}\sqrt{2}.\cos 135°=4+8-\mathrm{2.2.2}\sqrt{2}.\frac{-1}{\sqrt{2}}=20$

$c=2\sqrt{5}$

Chọn D

Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ta có:

 $\cos B=\frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2-4^2}{2.\sqrt{3}.2\sqrt{3}}=-\frac{1}{12}$

Chọn B

Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ta có:

 $\cos C=\frac{2^2+3^2-{\left(\sqrt{19}\right)}^2}{\mathrm{2.2.3}}=\frac{13-19}{12}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{C}=120°$

Chọn D

Ta có:  a² = b² +c² – bc nên b² + c² – a² = bc

 Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ta có:

 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2.bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{A}=60°$

Chọn C

Ta có: ${\text{a}}^2=b^2+\text{}{c}^2+\sqrt{2}bc\Rightarrow b^2+c^2-a^2=-\sqrt{2}bc$

Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ta có:

 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2.bc}=\frac{-\sqrt{2}bc}{2bc}=\frac{-\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{A}=135°$

Chọn A

Chọn D

Ta có:  a² + b² = c² nên tam giác ABC là tam giác vuông.

Chọn C

Ta có: $\text{cosC = }\frac{a^2+\text{}{b}^2-c^2}{2ab}=\frac{8^2+\text{}{9}^2-{10}^2}{\mathrm{2.8.9}}>0$

$\Rightarrow 0^0<\text{}\widehat{C}<{90}^0$

Tam giác ABC có AB = c là cạnh lớn nhất. Do đó, góc C là góc lớn nhất.

Lại có:  $0^0<\text{}\widehat{C}<{90}^0$nên tam giác ABC là tam giác nhọn.

Chọn A

Ta có: $\text{cosC = }\frac{a^2+\text{}{b}^2-c^2}{2ab}=\frac{6^2+\text{}{7}^2-{10}^2}{\mathrm{2.6.7}}<0$

$\Rightarrow \text{}\widehat{C}>{90}^0$

Suy ra, tam giác ABC là tam giác tù.

Chọn B

ĐÁP ÁN C

Ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc . \cos A$

Suy ra: $bc.c\text{osA = }\frac{b^2+\text{}{c}^2-a^2}{2}$

Tương tự, $ab.c\text{osC = }\frac{a^2+\text{}{b}^2-c^2}{2};\text{\hspace{0.17em}}ac.c\text{osB = }\frac{a^2+\text{}{c}^2-b^2}{2}$

Do đó,  $\text{P = }\frac{a^2+\text{}{b}^2-c^2}{2}\text{+}\frac{b^2+\text{}{c}^2-a^2}{2}\text{+ }\frac{a^2+\text{}{c}^2-b^2}{2}=\frac{a^2+\text{}{b}^2+c^2}{2}$

Áp dụng hệ quả định lí cô sin trong tam giác ta có:

$\text{cosA = }\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\Rightarrow \frac{\text{cosA}}{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}$

$\text{cosB = }\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\Rightarrow \frac{\text{cosB}}{b}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2abc}$

$\text{cosC = }\frac{a^2+b^2-c^2}{2bc}\Rightarrow \frac{\text{cosC}}{c}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$

Do đó, 

$\frac{\text{cosA}}{a}+\frac{\text{cosB}}{b}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{cosC}}{c}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$

ĐÁP ÁN B

ĐÁP ÁN B

Áp dụng công thức đường trung  tuyến trong tam giác ta có:

 ${m_c}^2=\frac{{\left(\sqrt{31}\right)}^2+{\left(\sqrt{29}\right)}^2}{2}-\frac{{\left(2\sqrt{7}\right)}^2}{4}=23 \Rightarrow m_c=\sqrt{23}$

Áp dụng công thức đường trung  tuyến trong tam giác ta có:

 ${m_c}^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\Rightarrow \frac{c^2}{4}=\frac{a^2+b^2}{2}-{m_c}^2=\frac{4^2+6^2}{2}-4^2=10$

$\Rightarrow c^2=40\Rightarrow c=2\sqrt{10}$

ĐÁP ÁN A

Ta có:

${m_a}^2-{m_b}^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}-\frac{2c^2+2a^2-b^2}{4}=\frac{3}{4}\left(b^2-a^2\right)$

ĐÁP ÁN A

Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có: $GA\text{}=\frac{2}{3}{m}_a$. Suy ra: 

 $G{A}^2={\left(\frac{2}{3}{m}_a\right)}^2=\frac{4}{9}.\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{9}$

ĐÁP ÁN D

Theo hệ quả định lí cô sin trong tam giác ta có: $\text{cosB = }\frac{c^2+\text{}{a}^2-b^2}{2ca}$

Từ  giả thiết: c = a. cosB nên: 

$c=a.\frac{c^2+a^2-b^2}{2.ca}\Rightarrow c=\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}\Rightarrow 2c^2=c^2+a^2-b^2\Rightarrow a^2=b^2+c^2$

Do đó, tam giác ABC vuông tại A.

ĐÁP ÁN C

Áp dụng định lí sin trong tam giác: $\frac{a}{\sin A}=2R$

Suy ra: $R=\frac{a}{2.\sin A}=\frac{30}{2.\sin {60}^0}=10\sqrt{3}$

ĐÁP ÁN A

Diện tích tam giác  ABC là:

$S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}\mathrm{.10.3}=15$

ĐÁP ÁN B

Nửa chu vi tam giác ABC là:  $p=\frac{4+6+8}{2}=9$

Áp dụng công thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC: 

$S=\sqrt{9\left(9-4\right)\left(9-6\right)\left(9-8\right)}=3\sqrt{15}$

ĐÁP ÁN A

Diện tích tam  giác ABC là: 

$S\text{}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.4.6.}\sin {30}^0=6$

ĐÁP ÁN B

Ta có: $A{B}^2 + A{C}^2 = B{C}^2 ( 3^2 + 4^2 = 5^2 )$

 Suy ra, tam giác vuông tại A.

Diện tích tam giác ABC là:  $S=\frac{1}{2}.AB.AC=6$

Nửa chu vi tam giác: $p=\frac{3+4+5}{2}=6$

Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác là: $r=\frac{S}{p}=1$

ĐÁP ÁN A

Nửa chu vi tam giác: $p=\frac{7+8+9}{2}=12$

Áp dụng công thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC

$S=\sqrt{12\left(12-7\right)\left(12-8\right)\left(12-9\right)}=\sqrt{\mathrm{12.5.4.3}}=12\sqrt{5}$

Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác là $r=\frac{S}{p}=\frac{12\sqrt{5}}{12}=\sqrt{5}$ 

ĐÁP ÁN C

Nửa chu vi tam giác $p=\frac{5+7+8}{2}=10$

Áp dụng công thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC

$S=\sqrt{10\left(10-5\right)\left(10-7\right)\left(10-8\right)}=10\sqrt{3}$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

$R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{5.7.8}}{40\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$ 

ĐÁP ÁN B.

Hình lục giác đã cho là hợp của 2 tam giác đều có độ dài cạnh là 4 và 1 hình chữ nhật với độ dài 2 cạnh là 4 và 6.

 Diện tích mỗi tam giác đều là $\frac{1}{2}\mathrm{.4.4.}\sin 60°=4\sqrt{3}$.

Diện tích hình chữ nhật là 24.

Diện tích của hình lục giác là: $4\sqrt{3}+4\sqrt{3}+\text{}24=8\sqrt{3}+24$ 

ĐÁP ÁN D

Gọi O là tâm của hình lục giác đều – O là giao điểm các đường chéo.

Hình lục giác đều cạnh 8 cm được chia thành sáu tam giác đều cạnh 8 cm.

Diện tích mỗi tam giác đều là $\frac{1}{2}\mathrm{.8.8.}\sin 60°=16\sqrt{3}$.

Diện tích lục giác là $16\sqrt{3}.6=$ $96\sqrt{3} c{m}^2$.

ĐÁP ÁN C

Giả sử tam giác ABC cân tại C, AC = BC = a, C =  α

Diện tích tam giác là:

$\text{}S=\frac{1}{2}ab.\sin C=\frac{1}{2}a.a.\sin \alpha =\frac{1}{2}{a}^2\sin \alpha$

ĐÁP ÁN B

Gọi O là tâm đa giác, giả sử A, B là hai đỉnh kề nhau của đa giác

Ta có $\widehat{AOB}=\left(\frac{360}{n}\right)°$. Diện tích đa giác đều bằng.

$S=n{S}_{OAB}=n.\frac{1}{2}OA.OB.\sin \widehat{AOB}=\frac{1}{2}n{R}^2.\sin \left(\frac{360}{n}\right)°$

ĐÁP ÁN A

Diện tích phần được tô màu bằng hiệu diện tích của hình vuông cạnh 8cm và 4 tam giác bằng nhau có 1 cạnh bằng 8 và đường cao ứng với cạnh đó bằng 2 cm.

Diện tích của 1 tam giác là: $S=\frac{1}{2}\mathrm{.2.8}=8$

Diện tích hình vuông là:  $S’ = 8^2 = 64$

Diện tích phần tô đậm là:  64 – 4.8 =  32.

ĐÁP ÁN B

$S=\frac{1}{2}\mathrm{.2.3.}\sin 120°+\frac{1}{2}\mathrm{.3.4.}\sin 120°+\frac{1}{2}\mathrm{.4.2.}\sin 120°$$=\frac{13\sqrt{3}}{2}$

ĐÁP ÁN B

ĐÁP ÁN D

Ta có: $S=\frac{1}{2}bc.\sin A\Rightarrow 4S\text{}=2bc.\sin A$  (1)

Theo giả thiết ta có: bc = 4S   (2)

Từ (1) (2) suy ra:

$\begin{array}{l}2bc.\sin A=bc\iff 2\sin A=1\\ \iff \sin A=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{c}\widehat{A}={30}^0\\ \widehat{A}={150}^0\end{array}\right.\end{array}$

Theo định lí sin trong tam giác ta có: $\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow \sin \text{}A=\frac{a}{2R}$ 

 $\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{\cos A}{\frac{a}{2R}}=\frac{2Rcos A}{a}$

ĐÁP ÁN C

Theo định lí sin trong tam giác ta có: $$$\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow \sin \text{}A=\frac{a}{2R}$

$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{\cos A}{\frac{a}{2R}}=\frac{2Rcos A}{a}=\frac{2R\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{a}=\frac{R.\left(b^2+c^2-a^2\right)}{abc}$

ĐÁP ÁN A

Diện tích tam giác ABC là:  $S\text{}=\frac{1}{2}bc.\sin A\Rightarrow 4S=2bc\sin A$

 $\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bcsin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$

ĐÁP ÁN D

* Diện tích tam giác ABC là:  $S\text{}=\frac{1}{2}bc.\sin A\Rightarrow 4S=2bc\sin A$

$\cot A=\frac{\text{cosA}}{\sin A}=\frac{\frac{b^2+\text{}{c}^2-a^2}{2bc}}{\sin A}=\frac{b^2+\text{}{c}^2-a^2}{2bc.sinA}=\frac{b^2+\text{}{c}^2-a^2}{4S}$

* Tương tự, ta có:  $\cot B=\frac{a^2+\text{}{c}^2-b^2}{4S};\cot C=\frac{a^2+\text{}{b}^2-c^2}{4S}$

* Do đó,

$\begin{array}{l}\cot A+\text{}\cot B+\cot C=\frac{b^2+\text{}{c}^2-a^2}{4S}+\text{}\frac{a^2+\text{}{c}^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+\text{}{b}^2-c^2}{4S}=\frac{a^2+\text{}{b}^2+c^2}{4S}\\ \end{array}$

ĐÁP ÁN B

Ta có: $S=\frac{1}{2}a.h_a\Rightarrow a=\frac{2S}{h_a}$  

Tương tự, $S=\frac{1}{2}b.h_b\Rightarrow b=\frac{2S}{h_b}$

Theo giả thiết  a= 2b nên $\frac{2S}{h_a}=2.\frac{2S}{h_b}\iff \frac{1}{h_a}=\frac{2}{h_b}\iff h_b=2h_a$

ĐÁP ÁN A

Theo định lí sin trong tam giác ta có: $\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow a=2R.\sin A$

Tương tự, b = 2RsinB; c= 2R.sin C

Theo đầu bài:

 a + b =2c ⇒ 2Rsin A + 2Rsin B = 4Rsin C ⇒ sin A + sin B = 2sin C.

ĐÁP ÁN C

Theo định lí sin trong tam giác ta có:

$\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow a=2R\text{}.\sin A$

Tương tự, $b=2R.\sin B;c=2R.\sin C$

Ta có: $ab = c^2 nên 2R.\sin A . 2R. \sin B = {(2R\sin C)}^2$

Hay $\sin A. \sin B= {\left(\sin C\right)}^2$

^{ĐÁP ÁN A}

Theo định lí sin trong tam giác ta có:

$\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow a=2R\text{}.\sin A$

Tương tự,$b=2R.\sin B;c=2R.\sin C$

 Theo bất đẳng thức tam giác ta có:  a + b > c

Do đó,  2Rsin A + 2Rsin B > 2Rsin C ⇒ sin A + sin B > sin C

Tương tự, sin A + sin C > sin B và sin B + sin C > sin A

Vậy D sai.

ĐÁP ÁN D

ĐÁP ÁN B

Giả sử A, B, C là ba đỉnh liên tiếp của đa giác đều.

Tam giác ABC cân tại B có góc ở đỉnh là α, góc ở đáy là $90°-\frac{\alpha }{2}$.

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R nên $a=2R\sin \left(90°-\frac{\alpha }{2}\right)=2R\cos \frac{\alpha }{2}$

Ta có:

$\begin{array}{l}S=pr=\frac{a+b+c}{2}.r\Rightarrow r=\frac{2S}{a+\text{}b+c}\\ S\text{}=\frac{1}{2}a.h_a\Rightarrow h_a=\frac{2S}{a}\end{array}$

Suy ra:  $\frac{r}{h_a}=\frac{\frac{2S}{a+b+c}}{\frac{2S}{a}}=\frac{a}{a+b+c}$

ĐÁP ÁN B

Áp dụng định lí sin trong tam giác: $\frac{a}{\sin \text{}A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

Suy ra:  b = 2R sin B;  c =  2R . sin C

 Ta có, $S\text{}=\frac{1}{2}a.h_a$ nên :

 $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2\frac{abc}{4R}}{a}=\frac{bc}{2R}=\frac{2Rsin B.2Rsin C}{2R}=2Rsin Bsin C$

ĐÁP ÁN C

Ta có: $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}, \widehat{COA}=2\widehat{CBA}, \widehat{AOB}=2\widehat{ACB}$

( góc ở tâm gấp 2 lần số đo góc nội tiếp cùng chắn 1 cung )

$S=S_{OAB}+S_{OBC}+S_{OCA}$ 

= $\frac{1}{2}OA.OB.\sin \widehat{AOB}+\frac{1}{2}OB.OC.\sin \widehat{BOC}+\frac{1}{2}OC.OA.\sin \widehat{COA}$

$S=\frac{1}{2}{R}^2\left(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C\right)$ .

ĐÁP ÁN A

$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AM.AN.\sin A}{\frac{1}{2}AB.AC.\sin A}=\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AC}$

ĐÁP ÁN D

Ta có:  $b.\cos C+c.\cos B=b.\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+c.\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}$

$=\frac{a^2+\text{}{b}^2-c^2}{2a}+\text{}\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}=\frac{a^2+\text{}{b}^2-c^2+c^2+a^2-b^2\text{}}{2a}=\frac{2a^2}{2a}=a$

ĐÁP ÁN B