15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ . Định lý cosin và sin trong tam giác có đáp án

Câu 1:

Tam giác ABC có $A B = 5, B C = 7, C A = 8$ . Số đo góc $\hat{A}$ bằng:

A. $30 °;$

B. $45 °;$

C. $60 °;$

D. $90 °;$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Theo định lí hàm cosin, ta có: $\cos \hat{A} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 A B . A C} = \frac{5^{2} + 8^{2} - 7^{2}}{2.5.8} = \frac{1}{2}$ .

Do đó, $\hat{A} = 60 °$ .

Câu 2:

Tam giác ABC có $A B = 2, A C = 1$ và $\hat{A} = 60 °$ . Tính độ dài cạnh BC.

A. BC = 1;

B. BC = 2;

C. BC =

\sqrt{2}

;

D. BC =

\sqrt{3}

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Theo định lí hàm cosin, ta có:

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos \hat{A} = 2^{2} + 1^{2} - 2.2.1. \cos 60 ° = 3 \Rightarrow B C = \sqrt{3}

.

Câu 3:

Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3, cạnh AB = 9 và $\hat{A C B} = 60 °$ . Tính độ dài cạnh cạnh BC.

A. $B C = 3 + 3 \sqrt{6};$

B. $B C = 3 \sqrt{6} - 3;$

C. $B C = 3 \sqrt{7}$

D. $B C = \frac{3 + 3 \sqrt{33}}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3, cạnh AB = 9 và (ảnh 1)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

$\Rightarrow$ MN là đường trung bình của $Δ A B C$ .

$\Rightarrow M N = \frac{1}{2} A C$ . Mà MN = 3, suy ra AC = 6.

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2. A C . B C . \cos \hat{A C B}$

$\Leftrightarrow 9^{2} = 6^{2} + B C^{2} - 2.6. B C . \cos 60 °$

$\Leftrightarrow B C^{2}$ - 6.BC - 45 = 0

$\Leftrightarrow$ BC = 3 + 3 $\sqrt{6}$

Câu 4:

Tam giác ABC có

A B = \sqrt{2}, A C = \sqrt{3}

và

\hat{C} = 45 °

. Tính độ dài cạnh BC.

A. $B C = \sqrt{5};$

B. $B C = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2};$

C. $B C = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2};$

D. $B C = \sqrt{6};$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2. A C . B C . \cos \hat{C}$

$\Rightarrow {(\sqrt{2})}^{2} = {(\sqrt{3})}^{2} + B C^{2} - 2. \sqrt{3} . B C . \cos 45 °$

$\Leftrightarrow B C^{2}$ - $\sqrt{6}$ .BC + 1 = 0

$\Rightarrow B C = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ .

Câu 5:

Tam giác ABC có $\hat{B} = 60 °, \hat{C} = 45 °$ và AB = 5. Tính độ dài cạnh AC.

A. $A C = \frac{5 \sqrt{6}}{2};$

B. $A C = 5 \sqrt{3};$

C. $A C = 5 \sqrt{2};$

D. $A C = 10.$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Theo định lí hàm sin, ta có:

\frac{A B}{\sin \hat{C}} = \frac{A C}{\sin \hat{B}} \Leftrightarrow \frac{5}{\sin 45 °} = \frac{A C}{\sin 60 °} \Rightarrow A C = \frac{5 \sqrt{6}}{2}

.

Câu 6:

Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1cm và có $\hat{B A D} = 60 °$ . Tính độ dài AC.

A. $A C = \sqrt{3};$

B. $A C = \sqrt{2};$

C. $A C = 2 \sqrt{3};$

D. $A C = 2$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Do ABCD là hình thoi, có $\hat{B A D} = 60 ° \Rightarrow \hat{A B C} = 120 °$ .

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2. A B . B C . \cos \hat{A B C}$

$\Rightarrow 1^{2} + 1^{2} - 2.1.1. \cos 120 ° = 3 \Rightarrow A C = \sqrt{3}$

Câu 7:

Tam giác ABC có $A B = 4, B C = 6, A C = 2 \sqrt{7}$ . Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB. Tính độ dài cạnh AM..

A. $A M = 4 \sqrt{2};$

B. $A M = 3;$

C. $A M = 2 \sqrt{3};$

D. $A M = 3 \sqrt{2};$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Theo định lí hàm cosin, ta có : $\cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C} = \frac{4^{2} + 6^{2} - {(2 \sqrt{7})}^{2}}{2.4.6} = \frac{1}{2}$ .

Do $M C = 2 M B \Rightarrow B M = \frac{1}{3} B C = 2$ . Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A M^{2} = A B^{2} + B M^{2} - 2. A B . B M . \cos \hat{B}$

$\Rightarrow 4^{2} + 2^{2} - 2.4.2. \frac{1}{2} = 12 \Rightarrow A M = 2 \sqrt{3}$

Câu 8:

Tam giác ABC có

A B = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}, B C = \sqrt{3}, C A = \sqrt{2}

. Gọi D là chân đường phân giác trong góc

\hat{A}

. Khi đó góc

\hat{A D B}

bằng bao nhiêu độ?

A. $45 °;$

B. $60 °;$

C. $75 °;$

D. $90 °;$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$\cos \hat{B A C} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \hat{B A C} = 120 ° \Rightarrow \hat{B A D} = 60 °$

$\cos \hat{A B C} = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \hat{A B C} = 45 °$

Trong $Δ A B D$ có $\hat{B A D} = 60 °, \hat{A B D} = 45 ° \Rightarrow \hat{A D B} = 75 °$ .

Câu 9:

Tam giác ABC có $A B = 3, A C = 6$ và $\hat{A} = 60 °$ . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. $R = 3;$

B. $R = 3 \sqrt{3};$

C. $R = \sqrt{3};$

D. $R = 6;$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí Cosin, ta có $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos \hat{B A C}$

$= 3^{2} + 6^{2} - 2.3.6. c o s 60^{0} = 27 \Leftrightarrow B C^{2} = 27 \Leftrightarrow B C^{2} + A B^{2} = A C^{2} .$

Suy ra tam giác ABC vuông tại B do đó bán kính $R = \frac{A C}{2} = 3.$

Câu 10:

Tam giác MPQ vuông tại P. Trên cạnh MQ lấy hai điểm E, F sao cho các góc $\hat{M P E}, \hat{E P F}, \hat{F P Q}$ bằng nhau. Đặt $M P = q, P Q = m, P E = x, P F = y$ . Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?

A. $M E = E F = F Q;$

B. $M E^{2} = q^{2} + x^{2} - x q;$

C. $M F^{2} = q^{2} + y^{2} - y q;$

D. $M Q^{2} = q^{2} + m^{2} - 2 q m .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\hat{M P E} = \hat{E P F} = \hat{F P Q} = \frac{\hat{M P Q}}{3} = 30 ° \Rightarrow \hat{M P F} = \hat{E P Q} = 60 °$ .

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$M E^{2} = M P^{2} + P E^{2} - 2. M P . P E . \cos \hat{M P E}$

$\Rightarrow q^{2} + x^{2} - 2 q x . \cos 30 ° = q^{2} + x^{2} - q x \sqrt{3}$

$M F^{2} = M P^{2} + P F^{2} - 2 M P . P F . \cos \hat{M P F}$

$\Rightarrow q^{2} + y^{2} - 2 q y . \cos 60 ° = q^{2} + y^{2} - q y$

$M Q^{2} = M P^{2} + P Q^{2} = q^{2} + m^{2}$

Câu 11:

Cho góc $\hat{x O y} = 30 °$ . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:

A. $\frac{3}{2};$

B. $\sqrt{3};$

C. $2 \sqrt{2}$

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Theo định lí hàm sin, ta có:

$\frac{O B}{\sin \hat{O A B}} = \frac{A B}{\sin \hat{A O B}} \Leftrightarrow O B = \frac{A B}{\sin \hat{A O B}} . \sin \hat{O A B}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sin 30 °} . \sin \hat{O A B} = 2 \sin \hat{O A B}$

Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi

$\sin \hat{O A B} = 1 \Leftrightarrow \hat{O A B} = 90 °$ .

Khi đó OB = 2.

Câu 12:

Cho góc $\hat{x O y} = 30 °$ . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Khi OB có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn OA bằng:

A. $\frac{3}{2};$

B. $\sqrt{3};$

C. $2 \sqrt{2}$

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Theo định lí hàm sin, ta có: $\frac{O B}{\sin \hat{O A B}} = \frac{A B}{\sin \hat{A O B}} \Leftrightarrow O B = \frac{A B}{\sin \hat{A O B}} . \sin \hat{O A B}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sin 30 °} . \sin \hat{O A B} = 2 \sin \hat{O A B}$

Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi: $\sin \hat{O A B} = 1 \Leftrightarrow \hat{O A B} = 90 °$ .

Khi đó OB = 2. Tam giác OAB vuông tại $A \Rightarrow O A = \sqrt{O B^{2} - A B^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$ .

Câu 13:

Tam giác ABC có $A B = c, B C = a, C A = b$ . Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức $b (b^{2} - a^{2}) = c (a^{2} - c^{2})$ . Khi đó góc $\hat{B A C}$ bằng bao nhiêu độ?

A. $30 °;$

B. $45 °;$

C. $60 °;$

D. $90 °;$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Theo định lí hàm cosin, ta có: $\cos \hat{B A C} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{c^{2} + b^{2} - a^{2}}{2 b c}$ .

Mà $b (b^{2} - a^{2}) = c (a^{2} - c^{2})$ $\Leftrightarrow b^{3} - a^{2} b = a^{2} c - c^{3}$

$\Leftrightarrow - a^{2} (b + c) + (b^{3} + c^{3}) = 0$

$\Leftrightarrow (b + c) (b^{2} + c^{2} - a^{2} - b c) = 0$

$\Leftrightarrow b^{2} + c^{2} - a^{2} - b c = 0$ (do $b > 0, c > 0$ )

$\Leftrightarrow b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$

Khi đó, $\cos \hat{B A C} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{B A C} = 60 °$ .

Câu 14:

Tam giác ABC vuông tại A, có $A B = c, A C = b$ . Gọi m là độ dài đoạn phân giác trong góc $\hat{B A C}$ . Tính m theo b và c.

A. $m = \frac{\sqrt{2} b c}{b + c};$

B. $m = \frac{2 (b + c)}{b c};$

C. $m = \frac{2 b c}{b + c};$

D. $m = \frac{\sqrt{2} (b + c)}{b c} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{b^{2} + c^{2}}$ .

Do AD là phân giác trong của $\hat{B A C}$

$\Rightarrow B D = \frac{A B}{A C} . D C = \frac{c}{b} . D C = \frac{c}{b + c} . B C = \frac{c \sqrt{b^{2} + c^{2}}}{b + c}$ .

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2. A B . A D . \cos \hat{A B D}$

$\Leftrightarrow \frac{c^{2} (b^{2} + c^{2})}{{(b + c)}^{2}} = c^{2} + A D^{2} - 2 c . A D . \cos 45 °$

$\Rightarrow A D^{2} - c \sqrt{2} . A D + (c^{2} - \frac{c^{2} (b^{2} + c^{2})}{{(b + c)}^{2}}) = 0$

$\Leftrightarrow A D^{2} - c \sqrt{2} . A D + \frac{2 b c^{3}}{{(b + c)}^{2}} = 0$

$\Rightarrow A D = \frac{\sqrt{2} b c}{b + c}$ hay $m = \frac{\sqrt{2} b c}{b + c}$ .

Câu 15:

Tam giác ABC có BC = 10 và $\hat{A} = 30^{O}$ . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. R = 5;

B. R = 10;

C.

R = \frac{10}{\sqrt{3}};

D.

R = 10 \sqrt{3} .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{B C}{\sin \hat{B A C}} = 2 R \Rightarrow R = \frac{B C}{2. \sin \hat{A}} = \frac{10}{2. \sin 30^{0}} = 10.$