13 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai (Nhận biết và thông hiểu) có đáp án

Câu 1:

Phương trình nào sau đây không thể quy về phương trình bậc hai?

A. $\sqrt{x^{2} - x + 1} = \sqrt{x + 3}$ ;

B. $\sqrt{x + 6} = 2 x - 1$ ;

C. $\sqrt{x^{2} + 2 x - 3} = \sqrt{2 x^{2} + 8 x - 7}$ ;

D.

\sqrt{x^{3} - x^{2} + 1} = 3

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bình phương hai vế phương trình ở phương án A, ta được:

x² – x + 1 = x + 3

⇒ x² – 2x – 2 = 0

Vì x² – 2x – 2 = 0 là phương trình bậc hai nên phương án A đúng.

Ta thực hiện tương tự như vậy cho các phương trình ở các phương án B, C, ta thấy phương trình ở phương án B, C có thể quy về phương trình bậc hai.

Đối với phương trình ở phương án D, sau khi bình phương hai vế ta có:

x³ – x² – 2 = 0.

Đây không phải phương trình bậc hai.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 2:

Phương trình $\sqrt{4 x^{2} - 3} = x$ có nghiệm là:

A. x = 1;

B. x = –1;

C. x = 1 hoặc x = –1;

D. Vô nghiệm.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

4x² – 3 = x²

⇒ 3x² – 3 = 0

⇒ x = 1 hoặc x = –1.

Với x = 1, ta có $\sqrt{{4.1}^{2} - 3} = - 1$ (đúng)

Với x = –1, ta có $\sqrt{4. {(- 1)}^{2} - 3} = - 1$ (vô lí)

Vì vậy khi thay các giá trị x = 1 và x = –1 vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.

Ta chọn phương án A.

Câu 3:

Số nghiệm của phương trình $\sqrt{2 x - 4} = \sqrt{x^{2} - 3 x}$ là:

A. 0;

B. 2;

C. 3;

D. 1.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

2x – 4 = x² – 3x

⇒ x² – 5x + 4 = 0

⇒ x = 4 hoặc x = 1.

Với x = 4, ta có $\sqrt{2.4 - 4} = \sqrt{4^{2} - 3.4}$ (đúng)

Với x = 1, ta có $\sqrt{2.1 - 4} = \sqrt{1^{2} - 3.1}$ (sai)

Vì vậy khi thay các giá trị x = 4 và x = 1 vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 4 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4.

Ta chọn phương án D.

Câu 4:

Cho phương trình $\sqrt{3 x^{2} - 10 x - 44} - 8 + x = 0$ . Tổng các nghiệm của phương trình trên là:

A. 3;

B. ‒6;

C. –3;

D. 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\sqrt{3 x^{2} - 10 x - 44} - 8 + x = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{3 x^{2} - 10 x - 44} = 8 - x$ .

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

3x² – 10x – 44 = (8 – x)²

⇒ 3x² – 10x – 44 = 64 – 16x + x²

⇒ 2x² + 6x – 108 = 0

⇒ x = 6 hoặc x = –9.

Với x = 6, ta có $\sqrt{{3.6}^{2} - 10.6 - 44} = 8 - 6$ (đúng)

Với x = –9, ta có $\sqrt{3. {(- 9)}^{2} - 10. (- 9) - 44} = 8 - (- 9)$ (đúng)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 6 và x = –9 vào phương trình đã cho, ta thấy cả x = 6 và x = –9 đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 6 và x = –9.

Tổng hai nghiệm là: 6 + (–9) = –3.

Ta chọn phương án C.

Câu 5:

Cho phương trình $\sqrt{x^{2} + 3} = \sqrt{2 x + 6}$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 2;

B. Tích các nghiệm của phương trình đã cho là –5;

C. Các nghiệm của phương trình đã cho đều lớn hơn –2;

D. Phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

x² + 3 = 2x + 6

⇒ x² – 2x – 3 = 0

⇒ x = 3 hoặc x = –1.

Với x = 3, ta có $\sqrt{3^{2} + 3} = \sqrt{2.3 + 6}$ (đúng)

Với x = –1, ta có $\sqrt{{(- 1)}^{2} + 3} = \sqrt{2. (- 1) + 6}$ (đúng)

Vì vậy khi thay các giá trị x = 3 và x = –1 vào phương trình đã cho, ta thấy cả x = 3 và x = –1 đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 3 và x = –1.

• Tổng các nghiệm là: 3 + (–1) = 2. Do đó phương án A đúng.

• Tích các nghiệm là: 3.(–1) = –3. Do đó phương án B sai.

• Ta có x = 3 > –2 và x = –1 > –2.

Vì vậy các nghiệm của phương trình đã cho đều lớn hơn –2. Do đó phương án C đúng.

• Ta có x = 3 > 0 và x = –1 < 0.

Vì vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu. Do đó phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 6:

Cho phương trình $2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 1} = \sqrt{9 x^{2} + 5 x + 4}$ . Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là:

A. –17;

B. 5;

C. 0;

D. 17.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

4(2x² – 3x + 1) = 9x² + 5x + 4.

⇒ –x² – 17x = 0

⇒ x = 0 hoặc x = –17.

Với x = 0, ta có $2 \sqrt{{2.0}^{2} - 3.0 + 1} = \sqrt{{9.0}^{2} + 5.0 + 4}$ (đúng)

Với x = –17, ta có $2 \sqrt{2. {(- 17)}^{2} - 3. (- 17) + 1} = \sqrt{9. {(- 17)}^{2} + 5. (- 17) + 4}$ (đúng)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 0 và x = –17 vào phương trình đã cho, ta thấy x = 0 và x = –17 đều thỏa mãn.

Do đó nghiệm của phương trình đã cho là x = 0 và x = –17.

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là: 0 + (–17) = –17.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 7:

Cho phương trình $\sqrt{x^{2} + 3} = \sqrt{2 x + 6}$ . Chọn khẳng định đúng:

A. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu;

B. Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu;

C. Phương trình có một nghiệm;

D. Phương trình vô nghiệm.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

x² + 3 = 2x + 6.

⇒ x² – 2x – 3 = 0

⇒ x = 3 hoặc x = –1.

Với x = 3, ta có $\sqrt{3^{2} + 3} = \sqrt{2.3 + 6}$ (đúng)

Với x = –1, ta có $\sqrt{{(- 1)}^{2} + 3} = \sqrt{2. (- 1) + 6}$ (đúng)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 3 và x = –1 vào phương trình đã cho, ta thấy x = 3 và x = –1 đều thỏa mãn.

Do đó nghiệm của phương trình đã cho là x = 3 > 0 hoặc x = –1 < 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.

Ta chọn phương án B.

Câu 8:

Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{(x - 3) (2 - x)} = \sqrt{4 x^{2} + 12 x + 9}$ là:

A. {10; 3};

B. {5};

C. {3};

D. ∅.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\sqrt{(x - 3) (2 - x)} = \sqrt{4 x^{2} + 12 x + 9}$

$\Leftrightarrow \sqrt{- x^{2} + 5 x - 6} = \sqrt{4 x^{2} + 12 x + 9}$

Bình phương hai vế phương trình trên, ta được:

–x² + 5x – 6 = 4x² + 12x + 9

⇒ 5x² + 7x + 15 = 0 (vô nghiệm)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là ∅.

Ta chọn phương án D.

Câu 9:

Giá trị x nào sau đây là nghiệm của phương trình $\sqrt{2 x^{2} + 3 x - 5} = x + 1$ ?

A. x = –3;

B. x = 2;

C. Cả A và B đều đúng;

D. Cả A và B đều sai.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

2x² + 3x – 5 = (x + 1)²

⇒ 2x² + 3x – 5 = x² + 2x + 1

⇒ x² + x – 6 = 0

⇒ x = 2 hoặc x = –3.

Với x = 2, ta có $\sqrt{{2.2}^{2} + 3.2 - 5} = 2 + 1$ (đúng)

Với x = –3, ta có $\sqrt{2 {(- 3)}^{2} + 3. (- 3) - 5} = - 3 + 1$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 2 và x = –3 vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

Ta chọn phương án B.

Câu 10:

Số nghiệm của phương trình $\sqrt{- x^{2} + 4 x} = 2 x - 2$ là:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

–x² + 4x = (2x – 2)²

⇒ –x² + 4x = 4x² – 8x + 4

⇒ 5x² – 12x + 4 = 0

⇒ x = 2 hoặc $x = \frac{2}{5}$

Với x = 2, ta có $\sqrt{- 2^{2} + 4.2} = 2.2 - 2$ (đúng)

Với $x = \frac{2}{5}$ , ta có $\sqrt{- {(\frac{2}{5})}^{2} + 4. \frac{2}{5}} = 2. \frac{2}{5} - 2$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 2 và $x = \frac{2}{5}$ vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

Ta chọn phương án B.

Câu 11:

Số nghiệm của phương trình

\sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{3}{4}} + x = 1

là:

A. 0;

B. 2;

C. 1;

D. 3.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{3}{4}} + x = 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{- (x^{2} - x + \frac{1}{4}) - \frac{3}{4}} = 1 - x$

$\Leftrightarrow \sqrt{- x^{2} + x - 1} = 1 - x$ .

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

–x² + x – 1 = (1 – x)²

⇒ –x² + x – 1 = 1 – 2x + x²

⇒ 2x² – 3x + 2 = 0 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ta chọn phương án A.

Câu 12:

Phương trình $\sqrt{x - 2} - 3 \sqrt{x^{2} - 4} = 0$ có nghiệm là:

A. x = 2;

B. $x = - \frac{17}{9}$ ;

C. Cả A và B đều đúng;

D. Cả A và B đều sai.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\sqrt{x - 2} - 3 \sqrt{x^{2} - 4} = 0$

$\sqrt{x - 2} = 3 \sqrt{x^{2} - 4}$

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

x – 2 = 9(x² – 4)

⇒ 9x² – x – 34 = 0

⇒ x = 2 hoặc $x = - \frac{17}{9}$ .

Với x = 2, ta có $\sqrt{2 - 2} = 3 \sqrt{2^{2} - 4}$ (đúng)

Với $x = - \frac{17}{9}$ , ta có $\sqrt{- \frac{17}{9} - 2} = 3 \sqrt{{(- \frac{17}{9})}^{2} - 4}$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 2 và $x = - \frac{17}{9}$ vào phương trình $\sqrt{x - 2} = 3 \sqrt{x^{2} - 4}$ , ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2.

Ta chọn phương án A.

Câu 13:

Cho phương trình $x + \sqrt{5 + 2 x^{2}} = 6$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Phương trình có một nghiệm;

B. Phương trình vô nghiệm;

C. Tổng các nghiệm của phương trình là –12;

D. Các nghiệm của phương trình đều không nhỏ hơn –10.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $x + \sqrt{5 + 2 x^{2}} = 6$ .

$\Leftrightarrow \sqrt{5 + 2 x^{2}} = 6 - x$ .

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

5 + 2x² = 36 – 12x + x²

⇒ x² + 12x – 31 = 0

⇒ $x = - 6 + \sqrt{67}$ hoặc $x = - 6 - \sqrt{67}$ .

Với $x = - 6 + \sqrt{67}$ , ta có $- 6 + \sqrt{67} + \sqrt{5 + 2 {(- 6 + \sqrt{67})}^{2}} = 6$ (đúng)

Với $x = - 6 - \sqrt{67}$ , ta có $- 6 - \sqrt{67} + \sqrt{5 + 2 {(- 6 - \sqrt{67})}^{2}} = 6$ (đúng)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị $x = - 6 + \sqrt{67}$ và $x = - 6 - \sqrt{67}$ vào phương trình đã cho, ta thấy cả $x = - 6 + \sqrt{67}$ và $x = - 6 - \sqrt{67}$ đều thỏa mãn.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm là $x = - 6 + \sqrt{67}$ hoặc $x = - 6 - \sqrt{67}$ .

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là: $- 6 + \sqrt{67} - 6 - \sqrt{67} = - 12$ .

Suy ra phương án A, B, D sai và phương án C đúng.

Vậy ta chọn phương án C.