15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và $A D = a \sqrt{2}$ . Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Tính $\vec{B K} . \vec{A C}$

A. $\vec{B K} . \vec{A C} = 0$

B. $\vec{B K} . \vec{A C} = - a^{2} \sqrt{2}$

C. $\vec{B K} . \vec{A C} = a^{2} \sqrt{2}$

D. $\vec{B K} . \vec{A C} = 2 a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$\{\begin{matrix} \vec{B K} = \vec{B A} + \vec{A K} = \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{A D} \\ \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D} \end{matrix} \Rightarrow \vec{B K} . \vec{A C} = (\vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{A D}) (\vec{A B} + \vec{A D}) = \vec{B A} . \vec{A B} + \vec{B A} . \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A D} . \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} . \vec{A D} = - a^{2} + 0 + 0 + \frac{1}{2} {(a \sqrt{2})}^{2} = 0$

Câu 2:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính $\vec{A M} . \vec{B C}$

A. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{b^{2} - c^{2}}{2}$

B. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2}}{2}$

C. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2} + a^{2}}{3}$

D. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2} - a^{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Vì M là trung điểm của BC suy ra $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

Khi đó

$\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . (\vec{B A} + \vec{A C}) = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{A B}) (\vec{A C} - \vec{A B}) = \frac{1}{2} ({\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2}) = \frac{1}{2} (A C^{2} - A B^{2}) = \frac{b^{2} - c^{2}}{2}$

Câu 3:

Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M mà $\vec{C M} . \vec{C B} = \vec{C A} . \vec{C B}$ là:

A. Đường tròn đường kính AB

B. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC

C. Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC

D. Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB

Xem đáp án

Đáp án B

$\vec{C M} . \vec{C B} = \vec{C A} . \vec{C B} \Leftrightarrow \vec{C M} . \vec{C B} - \vec{C A} . \vec{C B} = 0 \Leftrightarrow (\vec{C M} - \vec{C A}) . \vec{C B} = 0 \Leftrightarrow \vec{A M} . \vec{C B} = 0$

Tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC

Câu 4:

Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn $\vec{M B} (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}) = 0$ với A, B, C là ba đỉnh của tam giác

A. Một điểm

B. Đường thẳng

C. Đoạn thẳng

D. Đường tròn

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

Ta có: $\vec{M B} (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}) = 0$

$\Leftrightarrow \vec{M B} .3 \vec{M G} = 0 \Leftrightarrow \vec{M B} . \vec{M G} = 0 \Leftrightarrow M B ⊥ M G (*)$

Biểu thức (*) chứng tỏ $M B ⊥ M G$ hay M nhìn đoạn BG dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính BG

Câu 5:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (2; 2), B (5; −2). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho $\hat{A M B} = 90^{0}$ ?

A. M (0; 1)

B. M (6; 0); M (1; 0)

C. M (1; 6)

D. M (0; 6)

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $M \in O x$ nên M (m; 0) và $\{\begin{matrix} \vec{A M} = (m - 2; - 2) \\ \vec{B M} = (m - 5; 2) \end{matrix}$

Vì $\hat{A M B} = 90^{0}$ nên suy ra $\vec{A M} . \vec{B M} = 0$ nên $(m - 2) (m - 5) + (- 2) .2 = 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 7 m + 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 1 \\ m = 6 \end{matrix} \Rightarrow [\begin{matrix} M (1; 0) \\ M (6; 0) \end{matrix}$

Câu 6:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (−2; 4) và B (8; 4). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C

A. C (6; 0)

B. C (0; 0), C (6; 0)

C. C (0; 0)

D. C (−1; 0)

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $C \in O x$ nên C (c; 0) và $\{\begin{matrix} \vec{C A} = (- 2 - c; 4) \\ \vec{C B} = (8 - c; 4) \end{matrix}$

Vì tam giác ABC vuông tại C nên suy ra $\vec{C A} . \vec{C B} = 0$ nên $(- 2 - c) (8 - c) + 4.4 = 0$

$\Leftrightarrow c^{2} - 6 c = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} c = 0 \\ c = 6 \end{matrix} \Rightarrow [\begin{matrix} C (0; 0) \\ C (6; 0) \end{matrix}$

Câu 7:

Cho A (2; 5), B (1; 3), C (5; −1). Tìm tọa độ điểm K sao cho $\vec{A K} = 3 \vec{B C} + 2 \vec{C K}$

A. K (4; 5)

B. K (−4; 5)

C. K (4; −5)

D. K (−4; −5)

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi K (x; y) với x, y $\in$ R

Khi đó

$\vec{A K} = (x - 2; y - 5), 3 \vec{B C} = (12; - 12), 2 \vec{C K} = (2 x - 10; 2 y + 2)$

Theo YCBT $\vec{A K} = 3 \vec{B C} + 2 \vec{C K}$ nên $\{\begin{matrix} x - 2 = 12 + 2 x - 10 \\ y - 5 = - 12 + 2 y + 2 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = - 4 \\ y = 5 \end{matrix} \Rightarrow K (- 4; 5)$

Câu 8:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (−3; 0), B (3; 0) và C (2; 6). Gọi H (a; b) là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a + 6b

A. a + 6b = 5

B. a + 6b = 6

C. a + 6b = 7

D. a + 6b = 8

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\{\begin{matrix} \vec{A H} = (a + 3; b), \vec{B C} = (- 1; 6) \\ \vec{B H} = (a - 3; b), \vec{A C} = (5; 6) \end{matrix}$

Từ giả thiết, ta có:

$\{\begin{matrix} \vec{A H} . \vec{B C} = 0 \\ \vec{B H} . \vec{A C} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} (a + 3) . (- 1) + b .6 = 0 \\ (a - 3) .5 + b .6 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = 2 \\ b = \frac{5}{6} \end{matrix} \Rightarrow a + 6 b = 7$

Câu 9:

Cho hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Biết $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = \sqrt{3}$ và $(\vec{a}, \vec{b}) = 120^{0}$ . Tính $|\vec{a} + \vec{b}|$

A. $\sqrt{7 + \sqrt{3}}$

B. $\sqrt{7 - \sqrt{3}}$

C. $\sqrt{7 - 2 \sqrt{3}}$

D. $\sqrt{7 + 2 \sqrt{3}}$

Xem đáp án

Đáp án C

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{{(\vec{a} + \vec{b})}^{2}} = \sqrt{{\vec{a}}^{2} + {\vec{b}}^{2} + 2. \vec{a} . \vec{b}} = \sqrt{{|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} + 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos (\vec{a}; \vec{b})} = \sqrt{7 - 2 \sqrt{3}}$

Câu 10:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vec tơ $\vec{a} = (- 2; 3), \vec{b} = (4; 1)$ và $\vec{c} = k \vec{a} + m \vec{b}$ với $k, m \in R$ . Biết rằng vec tơ $\vec{c}$ vuông góc với vec tơ $(\vec{a} + \vec{b})$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 2k = 2m

B. 3k = 2m

C. 2k + 3m = 0

D. 3k + 2m = 0

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\{\begin{matrix} \vec{c} = k \vec{a} + m \vec{b} = (- 2 k + 4 m; 3 k + m) \\ \vec{a} + \vec{b} = (2; 4) \end{matrix}$

Để $\vec{c} ⊥ (\vec{a} + \vec{b}) \Leftrightarrow \vec{c} (\vec{a} + \vec{b}) = 0$

$\Leftrightarrow 2 (- 2 k + 4 m) + 4 (3 k + m) = 0 \Leftrightarrow 2 k + 3 m = 0$

Câu 11:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vec tơ $\vec{u} = (4; 1), \vec{v} = (1; 4)$ và $\vec{a} = \vec{u} + m . \vec{v}$ với $m \in R$ . Tìm m để $\vec{a}$ vuông góc với trục hoành

A. m = 4

B. m = -4

C. m = -2

D. m = 2

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\vec{a} = \vec{u} + m . \vec{v} = (4 + m; 1 + 4 m)$

Trục hoành có vectơ đơn vị là: $\vec{i} = (1; 0)$

Vec tơ $\vec{a}$ vuông góc với trục hoành $\Leftrightarrow \vec{a} . \vec{i} = 0 \Leftrightarrow 4 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 4$

Câu 12:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vec tơ $\vec{u} = (4; 1), \vec{v} = (1; 4)$ . Tìm m để $\vec{a} = m . \vec{u} + \vec{v}$ tạo với vec tơ $\vec{b} = \vec{i} + \vec{j}$ một góc $45^{\circ}$

A. m = 4

B. $m = - \frac{1}{2}$

C. $m = - \frac{1}{4}$

D. $m = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\{\begin{matrix} \vec{a} = m . \vec{u} + \vec{v} = (4 m + 1; m + 4) \\ \vec{b} = \vec{i} + \vec{j} = (1; 1) \end{matrix}$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \cos 45^{0} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(4 m + 1) + (m + 4)}{\sqrt{2} \sqrt{{(4 m + 1)}^{2} + {(m + 4)}^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{5 (m + 1)}{\sqrt{2} \sqrt{17 m^{2} + 16 m + 17}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow 5 (m + 1) = \sqrt{17 m^{2} + 16 m + 17} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m + 1 \geq 0 \\ 25 m^{2} + 50 m + 25 = 17 m^{2} + 16 m + 17 \end{matrix} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}$

Câu 13:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A (7; −3), B (8; 4), C(1;5) và D (0; −2). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{A C} ⊥ \vec{C B}$

B. Tam giác ABC đều

C. Tứ giác ABCD là hình vuông

D. Tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

$\{\begin{matrix} \vec{A B} = (1; 7) \Rightarrow A B = \sqrt{1^{2} + 7^{2}} = 5 \sqrt{2} \\ \vec{B C} = (- 7; 1) \Rightarrow B C = 5 \sqrt{2} \\ \vec{C D} = (- 1; - 7) \Rightarrow C D = 5 \sqrt{2} \\ \vec{D A} = (7; - 1) \Rightarrow D A = 5 \sqrt{2} \end{matrix} \Rightarrow A B = B C = C D = D A = 5 \sqrt{2}$

Lại có $\vec{A B} . \vec{B C} = 1 (- 7) + 7.1 = 0$ nên $A B ⊥ B C$

Từ đó suy ra ABCD là hình vuông

Câu 14:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm $A (- 1; 1), B (0; 2), C (3; 1), D (0; - 2)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tứ giác ABCD là hình bình hành

B. Tứ giác ABCD là hình thoi

C. Tứ giác ABCD là hình thang cân

D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\{\begin{matrix} \vec{A B} = (1; 1) \\ \vec{D C} = (3; 3) \end{matrix} \Rightarrow \vec{D C} = 3 \vec{A B}$

Suy ra DC//AB và DC = 3AB (1)

Mặt khác $\{\begin{matrix} A C = \sqrt{4^{2} + 0^{2}} = 4 \\ B D = \sqrt{0^{2} + 4^{2}} = 4 \end{matrix} \Rightarrow A C = B D$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân

Câu 15:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có $A (2; 4), B (- 3; 1), C (3; - 1)$ . Tìm tọa độ chân đường cao A’ vẽ từ đỉnh A của tam giác đã cho

A. $A' (\frac{3}{5}; \frac{1}{5})$

B. $A' (- \frac{3}{5}; - \frac{1}{5})$

C. $A' (- \frac{3}{5}; \frac{1}{5})$

D. $A' (\frac{3}{5}; - \frac{1}{5})$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi A’ (x, y). Ta có: $\{\begin{matrix} \vec{A A'} = (x - 2; y - 4) \\ \vec{B C} = (6; - 2) \\ \vec{B A'} = (x + 3; y - 1) \end{matrix}$

Từ giả thiết, ta có A’ là chân đường cao vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC nên $A A' ⊥ B C$ và B, A’, C thẳng hàng

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} \vec{A A'} . \vec{B C} = 0 (1) \\ \vec{B A'} = k \vec{B C} (2) \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} (x - 2) .6 + (y - 4) . (- 2) = 0 \\ \frac{x + 3}{6} = \frac{y - 1}{- 2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 6 x - 2 y = 4 \\ - 2 x - 6 y = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = \frac{3}{5} \\ y = - \frac{1}{5} \end{matrix}$