10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: x + y – 3 = 0 và d₂: 2x + y – 3 = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. d₁ // d₂;

B. d₁ trùng d₂;

C. d₁, d₂ cắt nhau và không vuông góc;

D. d₁ ⊥ d₂.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{1} (1; 1)$ .

Đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{2} (2; 1)$ .

Ta có 1.1 – 1.2 = –1 nên ${\vec{n}}_{1}$ và ${\vec{n}}_{2}$ không cùng phương và ${\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 3 \neq 0$ nên d₁, d₂ cắt nhau và không vuông góc.

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = - 3 + 4 t \\ y = 2 - 6 t \end{cases}$ và $d_{2} : \{\begin{cases} x = 2 - 2 t^{'} \\ y = - 8 + 4 t^{'} \end{cases} .$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. d₁ // d₂;

B. d₁ trùng d₂;

C. d₁, d₂ cắt nhau và không vuông góc;

D. d₁ ⊥ d₂.

Xem đáp án

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x= -3 + 4t và y= 2 - 6t và d2: x= 2-2t' và y= -8 + 4t' (ảnh 1)

Câu 3:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d: x – 2y – 1 = 0 song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. x + 2y + 1 = 0;

B. 2x – y = 0;

C. – x + 2y + 1 = 0;

D. – 2x + 4y – 1 = 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta kiểm tra lần lượt các đường thẳng:

+ Với d₁: x + 2y + 1 = 0, ta xét tỉ số $\frac{1}{1} \neq \frac{- 2}{2}$ nên d cắt d₁.

+ Với d₂: 2x – y = 0, ta xét tỉ số $\frac{1}{2} \neq \frac{- 2}{- 1}$ nên d cắt d₂.

+ Với d₃: – x + 2y + 1 = 0, ta xét tỉ số $\frac{1}{- 1} = \frac{- 2}{2} = \frac{- 1}{2}$ nên d trùng d₃.

+ Với d₄:– 2x + 4y – 1 = 0, ta xét tỉ số $\frac{1}{- 2} = \frac{- 2}{4} \neq \frac{- 1}{- 1}$ nên d song song d₄.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d₁: 7x – 3y + 16 = 0 và d₂: x + 10 = 0 là

A. A(–10; –18);

B. B(10; 18);

C. C(–10; 18);

D. D(10; –18).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Để tìm giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂ ta giải hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 7 x - 3 y + 16 = 0 \\ x + 10 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 10 \\ y = - 18 \end{cases}$

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là A(–10; –18).

Câu 5:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d₁: $\{\begin{cases} x = - 3 + 4 t \\ y = 2 + 5 t \end{cases}$ và d₂: $\{\begin{cases} x = 1 + 4 t^{'} \\ y = 7 - 5 t^{'} \end{cases}$ là

A. (1; 7);

B. (–3; 2);

C. (2; –3);

D. (5; 1);

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{cases} - 3 + 4 t = 1 + 4 t^{'} \\ 2 + 5 t = 7 - 5 t^{'} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t - t^{'} = 1 \\ t + t^{'} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = 1 \\ t^{'} = 0 \end{cases}$ .

Thay giá trị t = 1 vào phương trình đường thẳng d₁ ta tìm được $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 7 \end{cases}$ .

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂ là: (1; 7).

Câu 6:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d₁: (m – 3)x + 2y + m² – 1 = 0 và d₂: –x + my + m² – 2m + 1 = 0 cắt nhau?

A. m ≠ 1;

B. m ≠ 1 và m ≠ 2;

C. m ≠ 2;

D. m ≠ 1 hoặc m ≠ 2.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Để d₁ và d₂ cắt nhau ta tìm nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{cases} (m - 3) x + 2 y + m^{2} - 1 = 0 \\ - x + m y + m^{2} - 2 m + 1 = 0 \end{cases}$ .

Trường hợp 1. Với m = 0 thì ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} - 3 x + 2 y - 1 = 0 \\ - x + 1 = 0 \end{cases}$ có nghiệm duy nhất, thỏa mãn d₁ và d₂ cắt nhau.

Trường hợp 2. Với m ≠ 0, để d₁ và d₂ cắt nhau thì $\frac{m - 3}{- 1} \neq \frac{2}{m} \Leftrightarrow m^{2} - 3 m \neq - 2$

$\Leftrightarrow m^{2} - 3 m + 2 \neq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 1 \\ m \neq 2 \end{cases}$

Vậy m ≠ 1, m ≠ 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d₁: $\{\begin{cases} x = 8 - (m + 1) t \\ y = 10 + t \end{cases}$ và d₂: mx + 2y – 14 = 0 song song?

A. m = 1 hoặc m = –2;

B. m = 1;

C. m = – 2;

D. Không có giá trị nào của m

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d₁ đi qua điểm A(8; 10) và có một vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{1} = (- (m + 1); 1)$ nên có một vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{1} (1; m + 1)$ .

Khi đó d₁ có phương trình tổng quát là 1(x – 8) + (m + 1)(y – 10) = 0, tức là x + (m + 1)y – 10m – 18 = 0.

Đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{2} (m; 2)$ .

Trường hợp 1. m = 0 khi đó ${\vec{n}}_{1} (1; 1); {\vec{n}}_{2} (0; 2)$ không cùng phương nên hai đường thẳng không song song.

Trường hợp 2. m ≠ 0, để đường thẳng d₁ song song với đường thẳng d₂ thì:

$\frac{1}{m} = \frac{m + 1}{2} \neq \frac{- 10 m - 18}{- 14} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} + m - 2 = 0 \\ - 10 m^{2} - 18 m + 14 \neq 0 (1) \\ - 20 m - 36 \neq - 14 m - 14 (2) \end{cases}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 2 \end{array}$ (thỏa mãn điều kiện (1) và (2))

Vậy m = 1 hoặc m = –2.

Câu 8:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với giá trị nào của m thì hai đường thẳng $Δ_{1} : \{\begin{cases} x = m + 2 t \\ y = 1 + (m^{2} + 1) t \end{cases}$ và $Δ_{2} : \{\begin{cases} x = 1 + m t \\ y = m + t \end{cases}$ trùng nhau?

A. Không có giá trị nào của m;

B. $m = \frac{4}{3}$ ;

C. m = 1;

D. m = – 3.

Xem đáp án

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với giá trị nào của m thì hai đường thẳng (ảnh 1)

Câu 9:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình d₁: 3x – 4y + 15 = 0, d₂: 5x + 2y – 1 = 0 và d₃: mx – (2m – 1)y + 9m – 13 = 0. Tất cả các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm là

A. $m = \frac{1}{5};$

B. $m = - 5;$

C. $m = - \frac{1}{5};$

D. m = 5.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tọa độ giao điểm của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 3 x - 4 y + 15 = 0 \\ 5 x + 2 y - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 3 \end{cases} \Rightarrow d_{1} \cap d_{2} = A (- 1; 3) .$

Để ba đường thẳng d₁, d₂ và d₃ đồng quy thì A(–1; 3) ∈ d₃

⇔ m.(–1) – (2m – 1).3 + 9m – 13 = 0

⇔ –m – 6m + 3 + 9m – 13 = 0

⇔ 2m = 10

⇔ m = 5.

Câu 10:

Giá trị a để hai đường thẳng d₁: ax + 3y – 4 = 0 và $d_{2} : \{\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = 3 + 3 t \end{cases}$ cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành là

A. a = 1;

B. a = –1;

C. a = 2;

D. a = –2.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi A(x_A; 0) là giao điểm của đường thẳng d₂và trục Ox.

Khi đó ta có $\{\begin{cases} x_{A} = - 1 + t \\ 0 = 3 + 3 t \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{A} = - 1 + (- 1) \\ t = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{A} = - 2 \\ t = - 1 \end{cases}$ . Do đó A(–2; 0).

Để d₁ cắt d₂ tại một điểm nằm trên trục hoành thì điểm A(–2; 0) thuộc d₁

⇔ a.(–2) + 3.0 – 4 = 0

⇔ –2a = 4

⇔ a = –2.