10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1: Sử dụng phương pháp tổ hợp có đáp án

Câu 1:

Một lớp có 40 học sinh, trong đó có 4 học sinh tên Anh. Trong một lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên hai học sinh trong lớp lên bảng. Xác suất để hai học sinh tên Anh lên bảng bằng

A. $\frac{1}{10}$

B. $\frac{1}{20}$

C. $\frac{1}{130}$

D. $\frac{1}{75}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ 40 học sinh. Số phần tử của không gian mẫu $n (Ω) {= C}_{40}^{2} = 780$ .

Gọi A là biến cố: “Gọi hai học sinh tên Anh lên bảng”

Ta có $n (A) {= C}_{4}^{2} = 6$ .

Vậy xác suất cần tìm là $P (A) = \frac{6}{780} = \frac{1}{130}$ .

Câu 2:

Hộp A có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Hộp B có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi, xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu là

A. $\frac{91}{135}$

B. $\frac{44}{135}$

C. $\frac{88}{135}$

D. $\frac{45}{88}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Chọn mỗi hộp 1 viên bi. Số phần tử của không gian mẫu: $n (Ω) = C_{15}^{1} \cdot C_{18}^{1} = 270.$

Biến cố A: “Hai viên bi được lấy ra có cùng màu”

Trường hợp 1: 2 viên màu trắng, có $C_{4}^{1} \cdot C_{7}^{1} = 28$ cách chọn.

Trường hợp 2: 2 viên màu đỏ, có $C_{5}^{1} \cdot C_{6}^{1} = 30$ cách chọn.

Trường hợp 3: 2 viên màu xanh, có $C_{6}^{1} \cdot C_{5}^{1} = 30$ cách chọn.

Số cách chọn từ mỗi hộp 1 viên bi sau cho 2 viên bi cùng màu là: 28 + 30 + 30 = 88.

Suy ra n(A) = 88.

Vậy xác suất cần tìm là $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{88}{270} = \frac{44}{135}$ .

Câu 3:

Trong một đợt kiểm tra định kỳ, giáo viên chuẩn bị một hộp đựng 15 câu hỏi gồm 5 câu hỏi Hình học và 10 câu hỏi Đại số khác nhau. Mỗi học sinh bốc ngẫu nhiên từ hộp đó 3 câu hỏi để làm đề thi cho mình. Xác suất để một học sinh bốc được đúng một câu hình học là

A. $\frac{45}{91}$

B. $\frac{3}{4}$

C. $\frac{200}{273}$

D. $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Xét phép thử: “ Chọn 3 câu hỏi từ 15 câu hỏi”. Suy ra, $n (Ω) {= C}_{15}^{3} = 455.$

Gọi A là biến cố: “ Chọn được đúng 1 câu hình”

– Có $C_{5}^{1}$ cách chọn 1 câu từ 5 câu Hình học.

– Có $C_{10}^{2}$ cách chọn 2 câu trong 10 câu Đại số.

Suy ra $n (A) {= C}_{5}^{1} \cdot C_{10}^{2} = 225.$

Xác suất biến cố A là: $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{225}{455} = \frac{45}{91} .$

Câu 4:

Có 5 học sinh không quen biết nhau cùng đến một cửa hàng kem có 6 quầy phục vụ. Xác suất để có 3 học sinh cùng vào một quầy và 2 học sinh còn lại vào một quầy khác là

A. $\frac{C_{5}^{3} \cdot C_{6}^{1} \cdot 5!}{6^{5}}$

B. $\frac{C_{5}^{3} \cdot C_{6}^{1} \cdot C_{5}^{1}}{6^{5}}$

C. $\frac{C_{5}^{3} {.C}_{6}^{1} .5!}{5^{6}}$

D. $\frac{C_{5}^{3} {.C}_{6}^{1} {.C}_{5}^{1}}{5^{6}}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có mỗi học sinh có 6 cách chọn quầy phục vụ nên $n (Ω) {= 6}^{5}$ .

Gọi A là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn 3 học sinh trong 5 học sinh để vào cùng một quầy $C_{5}^{3}$ .

Sau đó chọn 1 quầy trong 6 quầy để các em vào là $C_{6}^{1}$ .

Còn 2 học sinh còn lại có $C_{5}^{1}$ cách chọn quầy để vào cùng.

Nên $n (A) {= C}_{5}^{3} \cdot C_{6}^{1} \cdot C_{5}^{1}$ .

Vậy $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{C_{5}^{3} \cdot C_{6}^{1} \cdot C_{5}^{1}}{6^{5}} .$

Câu 5:

Một hộp đựng 9 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3 viên bi. Xác suất để 3 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu xanh là

A. $\frac{10}{21}$

B. $\frac{5}{14}$

C. $\frac{25}{42}$

D. $\frac{5}{42}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ 9 viên trong hộp. Số phần tử không gian mẫu: $n (Ω) {= C}_{9}^{3} .$

Gọi biến cố A: “Lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh”.

Trường hợp 1: 2 viên màu xanh, 1 viên khác màu xanh. Có $C_{5}^{2} \cdot C_{4}^{1}$ cách chọn

Trường hợp 2: 3 viên màu xanh có $C_{5}^{3}$ cách chọn

Suy ra . $n (A) {= C}_{5}^{2} \cdot C_{4}^{1} {+ C}_{5}^{3}$

Vậy $P (A) = \frac{C_{5}^{2} \cdot C_{4}^{1} {+C}_{5}^{3}}{C_{9}^{3}} = \frac{25}{42}$ .

Câu 6:

Đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Yên Dũng số 3 gồm 8 học sinh, trong đó có 5 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh đi thi học sinh giỏi cấp Huyện. Xác suất để 5 học sinh được chọn đi thi có cả nam và nữ và học sinh nam nhiều hơn học sinh nữ là

A. $\frac{11}{56}$

B. $\frac{45}{56}$

C. $\frac{46}{56}$

D. $\frac{55}{56}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Chọn ngẫu nhiên 5 em từ 8 học sinh. Số phần tử của không gian mẫu là: $n (Ω) {= C}_{8}^{5} = 56$ .

Gọi A là biến cố: “5 học sinh được chọn đi thi có cả nam và nữ và học sinh nam nhiều hơn học sinh nữ”.

Xét các khả năng xảy ra của A

Trường hợp 1: 5 học sinh được chọn gồm 4 nam và 1 nữ. Số cách chọn là $C_{5}^{4} \cdot C_{3}^{1} = 15.$

Trường hợp 2: 5 học sinh được chọn gồm 3 nam và 2 nữ. Số cách chọn là $C_{5}^{3} \cdot C_{3}^{2} = 30.$

Số phần tử của biến cố A là n(A) = 15 + 30 = 45.

Xác suất của biến cố A là $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{45}{56} .$

Câu 7:

Đội thanh niên xung kích của trường THPT Chuyên Biên Hòa có 12 học sinh gồm 5 học sinh khối 12; 4 học sinh khối 11 và 3 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để làm nhiệm vụ mỗi buổi sáng. Xác suất sao cho 4 học sinh được chọn thuộc không quá hai khối là

A. $\frac{5}{11}$

B. $\frac{6}{11}$

C. $\frac{21}{22}$

D. $\frac{15}{22}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Chọn 5 học sinh từ 12 học sinh. Số phần tử không gian mẫu là $n (Ω) {= C}_{12}^{4} = 495$ .

Gọi A là biến cố: “4 học sinh được chọn thuộc không quá hai khối”

– Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc cả ba khối là:

C_{5}^{2} \cdot C_{4}^{1} \cdot C_{3}^{1} {+ C}_{5}^{1} \cdot C_{4}^{2} \cdot C_{3}^{1} {+ C}_{5}^{1} \cdot C_{4}^{1} \cdot C_{3}^{2} = 270

– Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc không quá hai khối là 495 – 270 = 225.

Xác suất để chọn ra 4 học sinh thuộc không quá hai khối là $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{225}{495} = \frac{5}{11} .$

Câu 8:

Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10 là

A. $\frac{99}{667}$

B. $\frac{8}{11}$

C. $\frac{3}{11}$

D. $\frac{99}{167}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ từ 30 tấm. Số phần tử của không gian mẫu $n (Ω) {= C}_{30}^{10}$ .

Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán.

– Lấy 5 tấm thẻ mang số lẻ: có $C_{15}^{5}$ cách.

– Trong 15 tấm thẻ chẵn có 3 tấm thẻ chia hết cho 10. Lấy 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10: có $C_{3}^{1}$ cách.

– Lấy 4 tấm thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10: có $C_{12}^{4}$ cách.

Vậy $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{C_{15}^{5} \cdot C_{3}^{1} \cdot C_{12}^{4}}{C_{30}^{10}} = \frac{99}{667}$ .

Câu 9:

Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17]. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng

A. $\frac{1 637}{4 913}$

B. $\frac{1 079}{4 913}$

C. $\frac{23}{68}$

D. $\frac{1 728}{4 913}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mỗi bạn viết 1 số từ 17 số. Số phần tử của không gian mẫu là: $n (Ω) {= 17}^{3}$ .

Trong các số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17] có 5 số chia hết cho 3 là {3; 6; 9 12; 15}, có 6 số chia cho 3 dư 1 là {1; 4; 7; 10; 13; 16}, có 6 số chia cho 3 dư 2 là {2; 5; 8; 11; 14; 17}.

Để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 cần phải xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Cả ba số viết ra đều chia hết cho .

Trong trường hợp này có: 5³ cách viết.

Trường hợp 2: Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 1.

Trong trường hợp này có: 6³ cách viết.

Trường hợp 3: Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 2.

Trong trường hợp này có: 6³ cách viết.

Trường hợp 4: Trong ba số được viết ra có 1 số chia hết cho 3, có 1 số chia cho 3 dư 1, có 1 số chia cho 3 dư 2.

Trong trường hợp này có: $5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 3!$ cách viết.

Vậy xác suất cần tìm là: $P (A) = \frac{5^{3} {+ 6}^{3} {+ 6}^{3} + 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 3!}{17^{3}} = \frac{1 637}{4 913}$ .

Câu 10:

Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng

A. $\frac{1}{10}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{1}{20}$

D. $\frac{3}{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B