Điều kiện: x > -2

$2x+\frac{2}{\sqrt{x+2}}=-x^2+\frac{2}{\sqrt{x+2}}$

$\iff 2x=-x^2\iff x\left(x+2\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=-2\left(loai\right)\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện ta được x = 0 là nghiệm duy nhất

Đáp án cần chọn là: B

Điều kiện: $x\ge \frac{7}{2}$

$\sqrt{2x-7}=1\Rightarrow 2x-7=1\iff x=4$

Kết hợp với điều kiện ta được x = 4 là nghiệm duy nhất

Đáp án cần chọn là: C

Điều kiện: $x\ne \pm 1$

$\frac{3x+3}{x^2-1}+\frac{4}{x-1}=3$$\Rightarrow 3x+3+4\left(x+1\right)=3\left(x^2-1\right)\iff 3x^2-7x-10=0$$\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\left(ktm\right)\\ x=\frac{10}{3}\left(tm\right)\end{array}\right.$

Nên $x=\frac{10}{3}$ là nghiệm duy nhất

Đáp án cần chọn là: C

Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{c}3x+5\ge 0\\ 2-x>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -\frac{5}{3}\\ x<2\end{array}\right.\iff -\frac{5}{3}\le x<2$

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{c}x+2\ge 0\\ x\ne 0\\ x^2+3x-4\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -2\\ x\ne 1\\ x\ne 0\\ x\ne -4\end{array}\right.$$\iff x\in [-2;+\infty )\backslash \left\{0;1\right\}$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $\sqrt{x^2+2x+4}=2$$\iff x^2+2x+4=4\iff x\left(x+2\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=-2\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $mx+2=2m^{2}x+4m\iff m\left(2m-1\right)x=-2\left(2m-1\right)\left(*\right)$

Phương trình (∗) vô số nghiệm $\iff \left\{\begin{array}{c}m\left(2m-1\right)=0\\ 2-4m=0\end{array}\right.\iff m=\frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình $m{x}^2-\left(2m+1\right)x+m=0$ có hai nghiệm khi

$\left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ \Delta \ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ {\left(2m+1\right)}^2-4m^2\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ m\ge -\frac{1}{4}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: D

Đặt $t=x^2,\left(t\ge 0\right)$, phương trình trở thành:

$\left(1-\sqrt{5}\right)t^2+5t+10\left(1+\sqrt{5}\right)=0\left(*\right)$

Phương trình (*) có hệ số $a.c=\left(1-\sqrt{5}\right)10\left(1+\sqrt{5}\right)=-40<0\Rightarrow$phương trình có hai nghiệm trái dấu

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Đáp án cần chọn là: D

Ta gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là $x_1,x_2$. Theo hệ thức Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1{x}_2=-\frac{2}{5}\\ x_1+x_2=\frac{9}{5}\end{array}\right.$

$\iff M=x_1^2+x_2^2={(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2=\frac{81}{25}-2\left(-\frac{2}{5}\right)=\frac{101}{25}$

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình cho$\left|2x-5\right|-2x+5=0$

$\iff \left|2x-5\right|=2x+5\iff 2x-5\ge 0\iff x\ge \frac{5}{2}$

Nên phương trình có vô số nghiệm

Đáp án cần chọn là: D

$\sqrt{x-1}=x-3$$\iff \left\{\begin{array}{c}x-3\ge 0\\ x-1={\left(x-3\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge 3\\ x^2-7x+10=0\end{array}\right.\iff x=5$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $\left|x^2-4\left|x\right|-5\right|-\frac{117}{3}=0$$\iff \left|x^2-4\left|x\right|-5\right|=\frac{117}{3}$

Số nghiệm của phương trình $\left|x^2-4\left|x\right|-5\right|-\frac{117}{3}=0$ là số giao điểm của hàm số $y=\left|x^2-4\left|x\right|-5\right|$ và đường thẳng $y=\frac{117}{3}$

Để vẽ đồ thị hàm số $y=\left|x^2-4\left|x\right|-5\right|$ ta vẽ đồ thị hàm số $y=x^2-4x-5$, sau đó suy ra đồ thị hàm số $y=x^2-4\left|x\right|-5$ bằng cách: bỏ đi phần đồ thị bên trái trục Oy, lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải trục Oy qua Oy.

Từ đồ thị hàm số $y=x^2-4\left|x\right|-5$ ta suy ra đồ thị hàm số $y=\left|x^2-4\left|x\right|-5\right|$ bằng cách lấy đối xứng toàn bộ phần đồ thị phía dưới trục Ox qua Ox sau đó bỏ đi phần đồ thị phía dưới trục Ox.

Dựa vào đồ thị thì đường thẳng $y=\frac{117}{3}$ cắt đồ thị hàm số $y=\left|x^2-4\left|x\right|-5\right|$ tại hai điểm phân  biệt nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: A

Đặt $t=x^2,\left(t\ge 0\right)$

Ta có phương trình  $\left(\sqrt{7}-2\right)t^2-6t+15\left(2+\sqrt{7}\right)=0\left(2\right)$

Ta thấy phương trình (2) có $\Delta \text{'}=9-15\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}+2\right)=-36<0$

Suy ra phương trình vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}x+y=2\\ x^2+y^2=10\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x+y=2\\ x^2+{\left(2-x\right)}^2=10\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{c}y=2-x\\ 2x^2-4x-6=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}y=2-x\\ \left[\begin{array}{c}x=-1\\ x=3\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=-1;y=3\\ x=3;y=-1\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: B

Điều kiện: $x,y\ne 0$

Đặt $u=\frac{1}{x},v=\frac{1}{y}$ thì:

$hpt\iff \left\{\begin{array}{c}u-2v=1\\ u+2v=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}u=\frac{3}{2}\\ v=\frac{1}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\frac{1}{x}=\frac{3}{2}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{2}{3}\\ y=4\end{array}\right.\left(TMĐK\right)$

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện: $x\ne \pm 2$. Ta có phương trình

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình $x^2-2x-8=0$$\iff \left(x-4\right)\left(x+2\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=4\\ x=-2\end{array}\right.$có tổng lập phương các nghiệm là $4^3+{\left(-2\right)}^3=56$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $\left(x^2+1\right)\left(10x^2-31x+24\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}{x}^2+1=0\\ 10x^2-31x+24=0\end{array}\right.$

Phương trình $x^2+1=0$ vô nghiệm

Phương trình $10x^2-31x+24=0\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{3}{2}\\ x=\frac{8}{5}\end{array}\right.$. Do đó phương trình cho có 2 nghiệm

Đáp án cần chọn là: B

Điều kiện: x < 2

PT $\iff 4-\left(2-x\right)=2\sqrt{2-x}\iff 2\sqrt{2-x}=2+x$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x+2\ge 0\\ {\left(x+2\right)}^2=4\left(2-x\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -2\\ x^2+8x-4=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -2\\ \left[\begin{array}{c}x=-4-2\sqrt{5}\\ x=-4+2\sqrt{5}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff x=-4+2\sqrt{5}\Rightarrow S=\left\{-4+2\sqrt{5}\right\}$

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện: $x\ge \frac{5}{3}$

$\left(*\right)(\sqrt{10x+1}-\sqrt{9x+4})+(\sqrt{3x-5}-\sqrt{2x-2})=0$

$\iff \frac{10x+1-(9x+4)}{\sqrt{10x+1}+\sqrt{9x+4}}+\frac{3x-5-(2x-2)}{\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-2}}=0$

$\iff (x-3)\left(\frac{1}{\sqrt{10x+1}+\sqrt{9x+4}}+\frac{1}{\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-2}}\right)=0$

Vì $\forall x\ge \frac{5}{3}\Rightarrow \iff \frac{1}{\sqrt{10x+1}+\sqrt{9x+4}}+\frac{1}{\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-2}}>0$ nên $\left(1\right)\iff x=3$

Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Đáp án cần chọn là: C

Nhận thấy x = y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho nên ta có:

$\left\{\begin{array}{c}xy=96\\ x^2+y^2=208\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{96}{y}\\ \frac{9216}{y^2}+y^2=208\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{96}{y}\\ y^4-208y^2+9216=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{96}{y}\\ \left(y^2-144\right)\left(y^2-144\right)=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{96}{y}\\ \left[\begin{array}{c}y=\pm 8\\ y=\pm 12\end{array}\right.\end{array}\iff \left[\begin{array}{c}y=-12;x=-8\\ y=12;x=8\\ y=8;x=12\\ y=-8;x=-12\end{array}\right.\right.$

Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm

Đáp án cần chọn là: A

PT $x^2-\left(2m+1\right)x+m^2-1=0\left(1\right)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Theo Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m+1\\ x_1{x}_2=m^2-1\end{array}\right.$

Ta có: $\left(x_1^2+x_2^2\right)+8x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2+6x_1{x}_2={\left(2m+1\right)}^2+6\left(m^2-1\right)$

$=10\left(m^2+\frac{2}{5}m+\frac{1}{25}\right)-\frac{27}{5}=10{\left(m+\frac{1}{5}\right)}^2-\frac{27}{5}$

$\Rightarrow \left(x_1^2+x_2^2\right)+8x_1{x}_2\ge -\frac{27}{5}$

Dấu ‘=’ xảy ra khi $m=-\frac{1}{5}$(thỏa mãn (*))

Vậy $\left(x_1^2+x_2^2\right)+8x_1{x}_2$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $m=-\frac{1}{5}$

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình $\left(m+1\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m-2=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$

$\iff \left\{\begin{array}{c}m+1\ne 0\\ \Delta \text{'}\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne -1\\ {\left(m-1\right)}^2-\left(m+1\right)\left(m-2\right)\ge 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne -1\\ m^2-2m+1-m^2+m+2\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne -1\\ m\le 3\end{array}\right.\left(*\right)$

Theo Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{2\left(m-1\right)}{m+1}\left(1\right)\\ x_1{x}_2=\frac{m-2}{m+1}\left(2\right)\end{array}\right.$

Ta có: $\left|x_1+x_2\right|=2\iff \left[\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2\\ x_1+x_2=-2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\frac{2\left(m-1\right)}{m+1}=2\\ \frac{2\left(m-1\right)}{m+1}=-2\end{array}\right.\iff m=0$ (thỏa mãn (*))

Đáp án cần chọn là: B

Điều kiện: $x-2\ge 0\iff x\ge 2$

$\left|3+4x\right|=x-2\iff \left[\begin{array}{c}3+4x=x-2\\ 3+4x=2-x\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}3x=-5\\ 5x=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=-\frac{5}{3}\left(L\right)\\ x=-\frac{1}{5}\left(L\right)\end{array}\right.$

Vậy phương trình vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: B