30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Bài tập cuối chương 5 có đáp án

Câu 1:

\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R N} + \vec{N P} + \vec{Q R}

.

A. $\vec{M R}$

B. $\vec{M N}$

C. $\vec{P R}$

D. $\vec{M P}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R N} + \vec{N P} + \vec{Q R} = (\vec{M N} + \vec{N P}) + (\vec{P Q} + \vec{Q R}) + \vec{R N}$ .

$= \vec{M P} + \vec{P R} + \vec{R N} = \vec{M R} + \vec{R N} = \vec{M N}$ .

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 2:

Cho M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Hỏi vectơ $\vec{M P} + \vec{N P}$ bằng vectơ nào?

A. $\vec{A P}$

B. $\vec{B P}$

C. $\vec{M N}$

D. $\vec{M B} + \vec{N B}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cho M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. (ảnh 1)

Tam giác ABC có N, P lần lượt là trung điểm BC và AC.

Do đó NP là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra NP = BM (M là trung điểm AB).

Mà $\vec{N P}, \vec{B M}$ cùng hướng.

Do đó $\vec{N P} = \vec{B M}$ .

Ta có $\vec{M P} + \vec{N P} = \vec{M P} + \vec{B M} = \vec{B P}$ .

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 3:

Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

A. $\vec{M N} (\vec{N P} + \vec{P Q}) = \vec{M N} . \vec{N P} + \vec{M N} . \vec{P Q}$

B. $\vec{M P} . \vec{M N} = - \vec{M N} . \vec{M P}$

C. $\vec{M N} . \vec{P Q} = \vec{P Q} . \vec{M N}$

D. $(\vec{M N} - \vec{P Q}) (\vec{M N} + \vec{P Q}) = M N^{2} - P Q^{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đáp án A đúng theo tính chất phân phối của tích vô hướng.

Đáp án B sai. Sửa lại: $\vec{M P} . \vec{M N} = \vec{M N} . \vec{M P}$ .

Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán của tích vô hướng.

Đáp án D đúng theo bình phương vô hướng và hằng đẳng thức.

Câu 4:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm BC. Tính $\vec{A M} . \vec{B C}$ .

A. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{b^{2} - c^{2}}{2}$

B. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2}}{2}$

C. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2} + a^{2}}{2}$

D. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2} - a^{2}}{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì M là trung điểm BC nên ta có $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$ .

Khi đó $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{A B}) (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= \frac{1}{2} ({\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2}) = \frac{1}{2} (A C^{2} - A B^{2}) = \frac{b^{2} - c^{2}}{2}$ .

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 5:

Nếu $\vec{A B} = \vec{A C}$ thì

A. Tam giác ABC là tam giác cân;

B. Tam giác ABC là tam giác đều;

C. A là trung điểm của đoạn thẳng BC;

D. Điểm B trùng với điểm C.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\vec{A B} = \vec{A C} \Rightarrow$ A, B, C là ba điểm thẳng hàng và B, C nằm cùng phía so với A.

Mà AB = AC nên B ≡ C.

Câu 6:

Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng $(\vec{A B}, \vec{D C}) + (\vec{A D}, \vec{C B}) + (\vec{C O}, \vec{D C})$ .

A. 45°;

B. 405°;

C. 315°;

D. 225°.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng (vecto AB,DC)+ (vecto AD,CB)+( vecto CO,DC). (ảnh 1)

Ta có $\vec{A B}, \vec{D C}$ cùng hướng nên $(\vec{A B}, \vec{D C}) = 0 °$ .

Ta có $\vec{A D}, \vec{C B}$ ngược hướng nên $(\vec{A D}, \vec{C B}) = 180 °$ .

Vẽ $\vec{C E} = \vec{D C}$ . Khi đó ta có $(\vec{C O}, \vec{D C}) = (\vec{C O}, \vec{C E}) = \hat{O C E}$ .

Vì ABCD là hình vuông có OC là đường chéo nên $\hat{O C B} = 45 °$ .

Ta có BC ⊥ CD (ABCD là hình vuông)

Suy ra BC ⊥ CE, do đó $\hat{B C E} = 90 °$ .

Ta có $\hat{O C E} = \hat{O C B} + \hat{B C E} = 45 ° + 90 ° = 135 °$ .

Vậy $(\vec{A B}, \vec{D C}) + (\vec{A D}, \vec{C B}) + (\vec{C O}, \vec{D C}) = 0 ° + 180 ° + 135 ° = 315 °$ .

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 7:

Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{B C}$

B. $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{A F} + \vec{C E} + \vec{B D}$

C. $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{A E} + \vec{B F} + \vec{C D}$

D. $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{B A} + \vec{B C} + \vec{A C}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{A E} + \vec{E D} + \vec{B F} + \vec{F E} + \vec{C D} + \vec{D F}$

$= \vec{A E} + \vec{B F} + \vec{C D} + (\vec{E D} + \vec{D F} + \vec{F E})$

$= \vec{A E} + \vec{B F} + \vec{C D} + (\vec{E F} + \vec{F E})$

$= \vec{A E} + \vec{B F} + \vec{C D} + \vec{E E}$

$= \vec{A E} + \vec{B F} + \vec{C D} + \vec{0}$

$= \vec{A E} + \vec{B F} + \vec{C D}$

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 8:

Cho hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ

\vec{a}

và

\vec{b}

;

B. Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ

\vec{a}

và

\vec{b}

;

C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ

\vec{a}

và

\vec{b}

, đó là

\vec{0}

;

D. Cả A, B, C đều sai.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì $\vec{0}$ cùng phương với mọi vectơ nên có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , đó là $\vec{0}$ .

Câu 9:

Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Cho $\vec{v} = \vec{M A} + \vec{M B} - 2 \vec{M C}$ . Hãy xác định vị trí của điểm D sao cho $\vec{C D} = \vec{v}$ .

A. D là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD;

B. D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD;

C. D là trọng tâm của tam giác ABC;

D. D là trực tâm của tam giác ABC.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\vec{v} = \vec{M A} + \vec{M B} - 2 \vec{M C} = \vec{M A} - \vec{M C} + \vec{M B} - \vec{M C} = \vec{C A} + \vec{C B} = 2 \vec{C I}$ (với I là trung điểm AB).

Do đó $\vec{v}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Khi đó $\vec{C D} = \vec{v} = 2 \vec{C I}$ .

Suy ra I là trung điểm CD.

Vậy D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 10:

Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{C A} - \vec{B A} = \vec{B C}$

B. $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{B C}$

C. $\vec{A B} + \vec{C A} = \vec{C B}$

D. $\vec{A B} - \vec{B C} = \vec{C A}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A: $\vec{C A} - \vec{B A} = \vec{C A} + \vec{A B} = \vec{C B} = - \vec{B C}$ ⇒ loại A.

Đáp án B: $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$ (với D là điểm thỏa mãn tứ giác ABDC là hình bình hành).

Mà AD và BC là 2 đường chéo của hình bình hành ABDC.

Do đó $\vec{A D} \neq \vec{B C}$ ⇒ loại B.

Đáp án C: $\vec{A B} + \vec{C A} = \vec{C A} + \vec{A B} = \vec{C B}$ (đúng) ⇒ chọn C.

Đáp án D: $\vec{A B} - \vec{B C} = \vec{A B} + \vec{C B} \neq \vec{C A}$ (khi cộng hai vectơ theo quy tắc 3 điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai) ⇒ loại D.

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 11:

Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $\vec{M A} . \vec{B C} = 0$ là:

A. một điểm;

B. đường thẳng;

C. đoạn thẳng;

D. đường tròn.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\vec{M A} . \vec{B C} = 0 \Leftrightarrow \vec{M A} ⊥ \vec{B C} \Leftrightarrow M A ⊥ B C$ .

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 12:

Cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. $\vec{A B} = \vec{A C}$

B. $\vec{A B} = 2 a$

C. $|\vec{A B}| = 2 a$

D. $\vec{A B} = A B$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì tam giác ABC đều cạnh 2a nên $|\vec{A B}| = A B = 2 a$ .

Câu 13:

Cho hình thoi ABCD tâm O và

\hat{B A D} = 60 °

. Tính độ dài

\vec{A B} + \vec{A D}

.

A. $|\vec{A B} + \vec{A D}| = 2 a \sqrt{3}$

B. $|\vec{A B} + \vec{A D}| = a \sqrt{3}$

C. $|\vec{A B} + \vec{A D}| = 3 a$

D. $|\vec{A B} + \vec{A D}| = 3 a \sqrt{3}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tứ giác ABCD là hình thoi ⇒ AB = AD.

Do đó tam giác ABD cân tại A.

Mà $\hat{B A D} = 60 °$ .

Suy ra tam giác ABD là tam giác đều.

⇒ BD = AB = AD = 2a.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Suy ra $|\vec{A B} + \vec{A D}| = |\vec{A C}| = A C$ .

Vì O là tâm hình thoi ABCD nên O là trung điểm AC và BD.

Do đó AC = 2AO và BO = $\frac{1}{2} B D$ = a.

Tam giác ABO vuông tại O: $A O^{2} = A B^{2} - B O {}^{2}$ (Định lý Pytago)

$\Leftrightarrow A O^{2} = 4 a^{2} - a^{2} = 3 a^{2}$ .

$\Rightarrow A O = a \sqrt{3}$ .

Do đó $|\vec{A B} + \vec{A D}| = A C = 2 A O = 2 a \sqrt{3}$ .

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 14:

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Xác định góc α giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khi $\vec{a} . \vec{b} = - |\vec{a}| . |\vec{b}|$ .

A. α = 180°;

B. α = 0°;

C. α = 90°;

D. α = 45°.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

Mà theo giả thiết, ta có $\vec{a} . \vec{b} = - |\vec{a}| . |\vec{b}|$

Suy ra $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = - 1$ .

Do đó $(\vec{a}, \vec{b}) = 180 °$ .

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 15:

Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm đối xứng của C qua D. Hãy tính độ dài

\vec{M N}

.

A. $|\vec{M N}| = \frac{a \sqrt{15}}{2}$

B. $|\vec{M N}| = \frac{a \sqrt{5}}{3}$

C. $|\vec{M N}| = \frac{a \sqrt{13}}{2}$

D. $|\vec{M N}| = \frac{a \sqrt{5}}{4}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì M là trung điểm AB nên ta có AM = $\frac{A B}{2} = \frac{a}{2}$ .

Tam giác MAD vuông tại A: $D M^{2} = A M^{2} + A D^{2}$ (Định lý Pytago)

$\Leftrightarrow D M^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + a^{2} = \frac{5 a^{2}}{4}$

$\Rightarrow D M = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P.

Ta có NP // AD, mà AD ⊥ CN (vì ABCD là hình vuông)

Do đó NP ⊥ CN hay NP ⊥ ND.

Suy ra $\hat{P N D} = 90 °$ (1).

Vì AD ⊥ ND nên $\hat{A D N} = 90 °$ (2).

Tương tự, AD ⊥ AP nên $\hat{P A D} = 90 °$ (3).

Từ (1) (2) (3), ta suy ra tứ giác ADNP là hình chữ nhật (4).

Vì N là điểm đối xứng của C qua D nên ND = CD = a.

Mà AD = a (do ABCD là hình vuông cạnh a).

Nên ND = AD = a (5).

Từ (4) (5), ta suy ra ADNP là hình vuông.

Do đó AP = AD = a.

Ta có PM = PA + AM = a + $\frac{a}{2} = \frac{3 a}{2}$ .

Tam giác NPM vuông tại P: : $M N^{2} = N P^{2} + P M^{2}$ (Định lý Pytago)

\Leftrightarrow M N^{2} = a^{2} + {(\frac{3 a}{2})}^{2} = \frac{13 a^{2}}{4}

$\Rightarrow M N = \frac{a \sqrt{13}}{2}$ .

Suy ra $|\vec{M N}| = M N = \frac{a \sqrt{13}}{2}$ .

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 16:

Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Nếu $\vec{A B} = - 3 \vec{A C}$ thì đẳng thức nào dưới đây đúng?

A. $\vec{B C} = - 4 \vec{A C}$

B. $\vec{B C} = - 2 \vec{A C}$

C. $\vec{B C} = 2 \vec{A C}$

D. $\vec{B C} = 4 \vec{A C}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Từ đẳng thức $\vec{A B} = - 3 \vec{A C}$ , ta suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Vì k = – 3 < 0 nên $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ ngược hướng. Do đó điểm A nằm giữa hai điểm B và C.

Ta có $\vec{A B} = - 3 \vec{A C}$ , suy ra $|\vec{A B}| = |- 3 \vec{A C}|$ , do đó AB = 3AC.

Suy ra BC = AB + AC = 3AC + AC = 4AC.

Mà $\vec{B C}, \vec{A C}$ cùng hướng.

Do đó ta suy ra $\vec{B C} = 4 \vec{A C}$ .

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 17:

Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính $\vec{A B} . \vec{A C}$ .

A. $\vec{A B} . \vec{A C} = 24$

B. $\vec{A B} . \vec{A C} = 26$

C. $\vec{A B} . \vec{A C} = 28$

D. $\vec{A B} . \vec{A C} = 32$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì giả thiết không cho góc nên ta sẽ phân tích các vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ theo các vectơ vuông góc với nhau.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD hay AC ⊥ OB.

Suy ra $\vec{A C} ⊥ \vec{O B}$ .

Do đó $\vec{A C} . \vec{O B} = 0$ .

Ta có $\vec{A B} . \vec{A C} = (\vec{A O} + \vec{O B}) . \vec{A C} = \vec{A O} . \vec{A C} + \vec{O B} . \vec{A C}$

$= \frac{1}{2} \vec{A C} . \vec{A C} + 0 = \frac{1}{2} {\vec{A C}}^{2} = \frac{1}{2} A C^{2} = 32$ .

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 18:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì

\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}

;

B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì

\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}

;

C. Nếu ABCD là hình bình hành thì

\vec{C B} + \vec{C D} = \vec{C A}

;

D. Nếu ba điểm A, B, C phân biệt nằm tùy ý trên một đường thẳng thì

|\vec{A B}| + |\vec{B C}| = |\vec{A C}|

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đáp án A, B, C đúng.

Đáp án D chỉ đúng khi B nằm giữa hai điểm A và C.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 19:

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $\vec{O A} + \vec{O C} + \vec{O E} = \vec{0}$

B. $\vec{B C} + \vec{F E} = \vec{A D}$

C. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{E B}$

D. $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{0}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A: Tứ giác ABCO là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành, ta có $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B}$ .

Vì O là trung điểm BE nên $\vec{O E} + \vec{O B} = \vec{0}$ .

Do đó ta có .

Vậy A đúng.

Đáp án B: Ta có $\vec{B C} = \vec{A O}$ và $\vec{F E} = \vec{O D}$ .

Do đó $\vec{B C} + \vec{F E} = \vec{A O} + \vec{O D} = \vec{A D}$ .

Vậy B đúng.

Đáp án C: Ta có $\vec{O B} = \vec{E O}$ (2 vectơ này cùng hướng và có độ dài bằng nhau).

Ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O B} + (\vec{O A} + \vec{O C}) = \vec{E O} + \vec{O B} = \vec{E B}$

Vậy C đúng.

Đáp án D: Vì tứ giác ABOF là hình bình hành nên $\vec{A B} = \vec{F O}$ .

Vì tứ giác CDEO là hình bình hành nên $\vec{C D} = \vec{O E}$ .

Do đó ta có $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{F O} + \vec{O E} = \vec{F E} \neq \vec{0}$

Vậy D sai.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 20:

Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = AC = a. Tính

\vec{A B} . \vec{B C}

.

A. $\vec{A B} . \vec{B C} = - a^{2}$

B. $\vec{A B} . \vec{B C} = a^{2}$

C. $\vec{A B} . \vec{B C} = - \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$

D. $\vec{A B} . \vec{B C} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vẽ $\vec{B D} = \vec{A B}$ .

Ta có $(\vec{A B}, \vec{B C}) = (\vec{B D}, \vec{B C}) = \hat{C B D}$ .

Tam giác ABC vuông cân tại A. Ta suy ra $\hat{A B C} = 45 °$ .

Ta có $\hat{A B C} + \hat{C B D} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Khi đó ta được $\hat{C B D} = 180 ° - 45 ° = 135 °$ .

Tam giác ABC vuông cân tại A: BC² = AB² + AC² (Định lý Pytago)

⇔ BC² = 2a²

$\Rightarrow B C = a \sqrt{2}$ .

Do đó $\vec{A B} . \vec{B C} = A B . B C . \cos (\vec{A B}, \vec{B C}) = a . a \sqrt{2} . \cos 135 ° = - a^{2}$

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 21:

Cho $\vec{a} \neq \vec{0}$ và điểm O. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thỏa mãn $\vec{O M} = 3 \vec{a}$ và $\vec{O N} = - 4 \vec{a}$ . Tìm .

A. $\vec{M N} = 7 \vec{a}$

B. $\vec{M N} = - 5 \vec{a}$

C. $\vec{M N} = - 7 \vec{a}$

D. $\vec{M N} = 5 \vec{a}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\vec{M N} = \vec{O N} - \vec{O M} = - 4 \vec{a} - 3 \vec{a} = - 7 \vec{a}$ .

Câu 22:

Cho $\vec{M N} \neq \vec{0}$ thì số vectơ cùng phương với vectơ đã cho là

A. 1

B. 2

C. 3

D. Vô số.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Giá của vectơ $\vec{M N} \neq 0$ là đường thẳng MN, mà có vô số đường thẳng song song và trùng với đường thẳng MN.

Do đó có vô số vectơ cùng phương với $\vec{M N} \neq 0$ .

Câu 23:

Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA = OB = a. Độ dài của $\vec{u} = \frac{21}{4} \vec{O A} - \frac{5}{2} \vec{O B}$ là:

A. $\frac{a \sqrt{140}}{4}$

B. $\frac{a \sqrt{321}}{4}$

C. $\frac{a \sqrt{520}}{4}$

D. $\frac{a \sqrt{541}}{4}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA = OB = a. Độ dài của là: (ảnh 1)

Dựng điểm M, N sao cho $\vec{O M} = \frac{21}{4} \vec{O A}$ và $\vec{O N} = \frac{5}{2} \vec{O B}$ . Khi đó ta có:

$|\vec{u}| = |\frac{21}{4} \vec{O A} - \frac{5}{2} \vec{O B}| = |\vec{O M} - \vec{O N}| = |\vec{N M}| = M N$ .

Từ dữ kiện $\vec{O M} = \frac{21}{4} \vec{O A}$ .

Ta suy ra $\vec{O M}$ cùng phương với $\vec{O A}$ .

Vì $\vec{O M}, \vec{O A}$ có cùng điểm đầu là O.

Nên giá của $\vec{O M}, \vec{O A}$ trùng nhau.

Do đó ta có OM ≡ OA.

Tương tự ta có ON ≡ OB.

Mà OA ⊥ OB (tam giác OAB vuông cân tại O).

Do đó OM ⊥ ON.

Ta có $\vec{O M} = \frac{21}{4} \vec{O A} \Leftrightarrow |\vec{O M}| = |\frac{21}{4} \vec{O A}| \Leftrightarrow O M = \frac{21}{4} O A = \frac{21 a}{4}$ .

Tương tự, ta có $\vec{O N} = \frac{5}{2} \vec{O B} \Leftrightarrow |\vec{O N}| = |\frac{5}{2} \vec{O B}| \Leftrightarrow O N = \frac{5}{2} O B = \frac{5 a}{2}$ .

Tam giác OMN vuông tại O: $M N^{2} = O M^{2} + O N^{2}$ (Định lý Pytago)

\Leftrightarrow M N^{2} = \frac{441 a^{2}}{16} + \frac{25 a^{2}}{4} = \frac{541 a^{2}}{16}

$\Rightarrow M N = \frac{a \sqrt{541}}{4}$ .

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 24:

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Hỏi $\vec{M P} + \vec{N P}$ bằng vectơ nào trong các vectơ sau đây?

A. $\vec{A M}$

B. $\vec{P B}$

C. $\vec{A P}$

D. $\vec{M N}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB (ảnh 1)

Tam giác ABC có M, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.

Do đó MP là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra MP //AC và MP = $\frac{1}{2} A C$ = AN (N là trung điểm AC).

Do đó $\vec{M P} = \vec{A N}$ .

Ta có $\vec{M P} + \vec{N P} = \vec{A N} + \vec{N P} = \vec{A P}$ .

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 25:

Cho đường tròn (O). Từ điểm A nằm ngoài (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới (O). Xét các mệnh đề sau:

(I) $\vec{A B} = \vec{A C}$ (II) $\vec{O B} = - \vec{O C}$ (III) $|\vec{B O}| = |\vec{C O}|$

Mệnh đề đúng là:

A. Chỉ (I);

B. (I) và (III);

C. (I), (II), (III);

D. Chỉ (III).

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mệnh đề (I) sai vì $\vec{A B}, \vec{A C}$ không cùng phương.

Mệnh đề (II) sai vì $\vec{O B}, \vec{O C}$ không cùng phương.

Mệnh đề (III) đúng vì:

Ta có OB, OC là bán kính đường tròn (O) nên OB = OC = R.

Mà $|\vec{O B}| = O B$ và $|\vec{O C}| = O C$ nên ta có $|\vec{O B}| = |\vec{O C}| = R$ .

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 26:

Tập hợp các điểm M thỏa mãn $\vec{M B} (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}) = 0$ với A, B, C là ba đỉnh của tam giác là

A. một điểm;

B. đường thẳng;

C. đoạn thẳng;

D. đường tròn.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta suy ra $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Ta có $\vec{M B} (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}) = 0 \Leftrightarrow \vec{M B} .3 \vec{M G} = 0 \Leftrightarrow \vec{M B} . \vec{M G} = 0 \Leftrightarrow \vec{M B} ⊥ \vec{M G}$ (*)

Biểu thức (*) chứng tỏ MB ⊥ MG hay M nhìn đoạn BG dưới một góc vuông.

Do đó tập hợp các điểm M là một đường tròn đường kính BG.

Vậy ta chọn đáp án D

Câu 27:

Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 4a, AD = 3a. Tính độ dài $\vec{A B} + \vec{A D}$ .

A. 7a

B. 6a

C. $2 a \sqrt{3}$

D. 5a

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì ABCD là hình vuông nên BC = AD = 3a.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Tam giác ABC vuông tại B: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ (Định lý Pytago)

$\Leftrightarrow A C^{2} = 16 a^{2} + 9 a^{2} = 25 a^{2}$

⇒ AC = 5a.

Do đó $|\vec{A B} + \vec{A D}| = |\vec{A C}| = A C = 5 a$ .

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 28:

Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tứ giác?

A. 4

B. 8

C. 10

D. 12

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

Vectơ khác vectơ-không là vectơ có điểm đầu khác điểm cuối.

Các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C, D là: $\vec{A B}, \vec{B A}, \vec{B C}, \vec{C B}, \vec{C D}, \vec{D C}, \vec{A D}, \vec{D A}, \vec{A C}, \vec{C A}, \vec{B D}, \vec{D B}$ .

Do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 29:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Khi đó $\vec{A C} + \vec{B D}$ bằng

A. $\vec{M N}$

B. $2 \vec{M N}$

C. $3 \vec{M N}$

D. $- 2 \vec{M N}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì M là trung điểm AB nên $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0} \Leftrightarrow - (\vec{A M} + \vec{B M}) = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{A M} + \vec{B M} = \vec{0}$ .

Vì N là trung điểm CD nên $\vec{N C} + \vec{N D} = \vec{0}$ .

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A M} + \vec{M N} + \vec{N C} + \vec{B M} + \vec{M N} + \vec{N D}$

Suy ra $\vec{A C} + \vec{B D} = (\vec{A M} + \vec{B M}) + (\vec{N C} + \vec{N D}) + 2 \vec{M N} = \vec{0} + \vec{0} + 2 \vec{M N} = 2 \vec{M N}$

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 30:

Cho hai lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ cùng tác động vào một vật đứng tại điểm O, biết hai lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ đều có cường độ là 50 (N) và chúng hợp với nhau một góc 60°. Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu?

A. 100 (N);

B.

100 \sqrt{3}

(N);

C.

50 \sqrt{3}

(N);

D. Đáp án khác.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đặt $\vec{F_{1}} = \vec{O A}$ và $\vec{F_{2}} = \vec{O B}$ . Khi đó ta có $|\vec{O A}| = |\vec{O B}|$ = 50 (N) và $\hat{A O B} = 60 °$ .

Dựng điểm C sao cho tứ giác OACB là hình bình hành.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ hay $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} = \vec{O C}$ .

Suy ra lực tổng hợp của hai lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ là $\vec{O C}$ .

Do đó cường độ tổng hợp lực của hai lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ là $|\vec{O C}|$ .

Vì OA = OB nên tam giác OAB cân tại O.

Mà $\hat{A O B} = 60 °$ nên tam giác OAB đều.

Gọi I là giao điểm của OC và AB

⇒ I là trung điểm OC và AB ⇒ BI = $\frac{A B}{2} = \frac{|\vec{A B}|}{2} = \frac{50}{2}$ = 25 (N).

Tam giác OAB đều có OI là đường trung tuyến.

Suy ra OI cũng là đường cao của tam giác OAB.

Tam giác OBI vuông tại I: $O I^{2} = O B^{2} - B I^{2}$ (Định lý Pytago)

$\Leftrightarrow O I^{2} = 50^{2} - 25^{2} = 1875$

⇒ OI = $25 \sqrt{3}$ (N).

Do đó OC = 2OI = $50 \sqrt{3}$ (N).

Vậy ta chọn đáp án B.