15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án (Nhận biết)

Câu 1:

Cho $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\vec{0}$ . Trong các kết quả sau đây, chọn kết quả đúng:

A. $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}|$

B. $\vec{a} . \vec{b} = 0$

C. $\vec{a} . \vec{b} = - 1$

D. $\vec{a} . \vec{b} = - |\vec{a}| . |\vec{b}|$

Xem đáp án

Đáp án A

Vì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vec tơ cùng hướng và đều khác vec tơ $\vec{0}$ suy ra $(\vec{a}, \vec{b}) = 0^{0}$

Do đó, $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos 0^{0} = |\vec{a}| . |\vec{b}|$ nên chọn A

Câu 2:

Biết $\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}$ và $\vec{a} . \vec{b} = - |\vec{a}| . |\vec{b}|$ . Câu nào sau đây đúng?

A. $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng

B. $\vec{a}$ và $\vec{b}$ nằm trên hai đường thẳng hợp với nhau một góc $120^{\circ}$

C. $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng

D. A, B, C đều sai

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\Leftrightarrow |\vec{a}| . |\vec{b}| \cos (\vec{a}, \vec{b}) = - |\vec{a}| . |\vec{b}|$

$\Leftrightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = - 1$ nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng

Câu 3:

Cho hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Xác định góc $α$ giữa hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khi $\vec{a} . \vec{b} = - |\vec{a}| . |\vec{b}|$

A. $α = 180^{0}$

B. $α = 0^{0}$

C. $α = 90^{0}$

D. $α = 45^{0}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$

Mà theo giả thiết $\vec{a} . \vec{b} = - |\vec{a}| . |\vec{b}|$

Suy ra $\cos (\vec{a} . \vec{b}) = - 1$

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 180^{0}$

Câu 4:

Trong mặt phẳng Oxy cho $\vec{a} = (1; 3), \vec{b} = (- 2; 1)$ . Tích vô hướng của 2 vec tơ $\vec{a .} \vec{b}$ là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\vec{a} = (1; 3), \vec{b} = (- 2; 1)$ suy ra $\vec{a .} \vec{b} = 1. (- 2) + 3.1 = 1$

Câu 5:

Cho các vec tơ $\vec{a} = (1; - 3), \vec{b} = (2; 5)$ . Tính tích vô hướng của $\vec{a} (\vec{a} + 2 \vec{b})$

A. 16

B. 26

C. 36

D. -16

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\vec{a} . \vec{a} = 10, \vec{a} . \vec{b} = - 13,$ suy ra $\vec{a} (\vec{a} + 2 \vec{b}) = \vec{a} . \vec{a} + 2 \vec{a} . \vec{b} = - 16$

Câu 6:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vec tơ $\vec{a} = (1; 2), \vec{b} = (4; 3)$ và $\vec{c} = (2; 3)$ . Tính $p = \vec{a} . (\vec{b} + \vec{c})$

A. P = 0

B. P = 18

C. P = 20

D. P = 28

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\vec{b} + \vec{c} = (6; 6)$ . Suy ra $p = \vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = 1.6 + 2.6 = 18$

Câu 7:

Cho các vectơ $\vec{a} = (1; - 2), \vec{b} = (- 2; - 6)$ . Khi đó góc giữa chúng là:

A. $45^{\circ}$

B. $60^{\circ}$

C. $30^{\circ}$

D. $135^{\circ}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\vec{a} = (1; - 2), \vec{b} = (- 2; - 6)$

Suy ra

$\cos (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{10}{\sqrt{5} . \sqrt{40}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow (\vec{a}; \vec{b}) = 45^{0}$

Câu 8:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vec tơ $\vec{a} = (- 2; - 1), \vec{b} = (4; - 3)$ . Tính cosin của góc giữa hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$

A. $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

B. $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

C. $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$\cos (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{- 2.4 + (- 1) . (- 3)}{\sqrt{4 + 1} . \sqrt{16 + 9}} = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Câu 9:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vec tơ $\vec{a} = (4; 3), \vec{b} = (1; 7)$ . Tính góc $α$ giữa hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$

A. $α = 90^{0}$

B. $α = 60^{0}$

C. $α = 45^{0}$

D. $α = 30^{0}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

$\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{4.1 + 3.7}{\sqrt{16 + 9} \sqrt{1 + 49}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 45^{0}$

Câu 10:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm $A (3; - 1), B (2; 10), C (- 4; 2)$ . Tính tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A C}$

A. $\vec{A B} . \vec{A C} = 40$

B. $\vec{A B} . \vec{A C} = - 40$

C. $\vec{A B} . \vec{A C} = 26$

D. $\vec{A B} . \vec{A C} = - 26$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\vec{A B} = (- 1; 11), \vec{A C} = (- 7; 3)$

Suy ra $\vec{A B} . \vec{A C} = (- 1) . (- 7) + 11.3 = 40$

Câu 11:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm $A (3; - 1)$ và $B (2; 10)$ . Tính tích vô hướng $\vec{A O} . \vec{O B}$

A. $\vec{A O} . \vec{O B} = - 4$

B. $\vec{A O} . \vec{O B} = 0$

C. $\vec{A O} . \vec{O B} = 4$

D. $\vec{A O} . \vec{O B} = 16$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\vec{A O} = (- 3; 1), \vec{O B} = (2; 10)$

Suy ra $\vec{A O} . \vec{O B} = - 3.2 + 1.10 = 4$

Câu 12:

Cặp vec tơ nào sau đây vuông góc?

A. $\vec{a} = (2; - 1) v à \vec{b} = (- 3; 4)$

B. $\vec{a} = (3; - 4) v à \vec{b} = (- 3; 4)$

C. $\vec{a} = (- 2; - 3) v à \vec{b} = (- 6; 4)$

D. $\vec{a} = (7; - 3) v à \vec{b} = (3; - 7)$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương án A: $\vec{a} . \vec{b} = 2. (- 3) + (- 1) .4 = - 10 \neq 0$ suy ra A sai

Phương án B: $\vec{a} . \vec{b} = 3. (- 3) + (- 4) .4 \neq 0$ suy ra B sai

Phương án C: $\vec{a} . \vec{b} = - 2. (- 6) - 3.4 = 0 \Rightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$ suy ra C đúng

Phương án D: $\vec{a} . \vec{b} = 7.3 + (- 3) . (- 7) = 42 \neq 0$ suy ra D sai

Câu 13:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vec tơ $\vec{a} = (9; 3)$ . Vec tơ nào sau đây không vuông góc với vec tơ $\vec{a}$

A. $\vec{v_{1}} = (1; - 3)$

B. $\vec{v_{2}} = (2; - 6)$

C. $\vec{v_{3}} = (1; 3)$

D. $\vec{v_{4}} = (- 1; 3)$

Xem đáp án

Đáp án C

Đáp án A: Ta có: $\vec{a} . \vec{v_{1}} = 9.1 + 3. (- 3) = 0$ nên $\vec{a} ⊥ \vec{v_{1}}$

Đáp án B: Ta có: $\vec{a} . \vec{v_{2}} = 9.2 + 3. (- 6) = 0$ nên $\vec{a} ⊥ \vec{v_{2}}$

Đáp án C: Ta có: $\vec{a} . \vec{v_{3}} = 9.1 + 3.3 = 18 \neq 0$ nên $\vec{a}$ không vuông góc với $\vec{v_{3}}$

Câu 14:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách giữa hai điểm $M (1; - 2)$ và $N (- 3; 4)$

A. MN = 4

B. MN = 6

C. $M N = 3 \sqrt{6}$

D. $M N = 2 \sqrt{13}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\vec{M N} = (- 4; 6)$ suy ra $M N = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 6^{2}} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$

Câu 15:

Cho tam giác ABC cân tại A, $\hat{A} = 120^{0}$ và AB = a. Tính $\vec{B A} . \vec{C A}$

A. $\frac{a^{2}}{2}$

B. $- \frac{a^{2}}{2}$

C. $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\vec{B A} . \vec{C A} = B A . C A . \cos 120^{0} = - \frac{a^{2}}{2}$