13 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Câu 1:

Cho phương trình $2 x - y = 4$ . Tập nghiệm của phương trình là:

A. $\{(2; 0)\}$

B. $\{(x; 2 x - 4) | x \in R\}$

C. $\{2 x - 4; x \ x \in ℝ\}$

D. $\emptyset$

Xem đáp án

Ta có: 2x – y = 4 nên y = 2x – 4.

Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là S= { ( x; 2x – 4)|x $\in$ R}.

Chọn B.

Câu 2:

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} 4 x - 6 y = 8 \\ 3 x - 6 y = \frac{23}{3} \end{cases}$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $(\frac{1}{3}; - \frac{10}{9})$ là một nghiệm của hệ phương trình

B. Biểu diễn tập nghiệm của hệ phương trình là một điểm

C. Biểu diễn tập nghiệm của hệ phương trình là một đường thẳng

D. Tập nghiệm của hệ phương trình là $\{(\frac{1}{3}; - \frac{10}{9})\}$

Xem đáp án

+) Gọi đường thẳng d1 biểu diễn tập nghiệm phương trình: 4x – 6y = 8 và đường thẳng d2 biểu diễn tập nghiệm của phương trình $3 x - 6 y = \frac{23}{3}$ .

Ta có: $\frac{4}{3} \neq \frac{- 6}{- 6}$ nên 2 đường thẳng d1 và d2 cắt nhau, suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

+) Ta có: $\{\begin{cases} 4 x - 6 y = 8 \\ 3 x - 6 y = \frac{23}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{1}{3} \\ 3 x - 6 y = \frac{23}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{1}{3} \\ 3 . \frac{1}{3} - 6 y = \frac{23}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{1}{3} \\ y = - \frac{10}{9} \end{cases}$

Suy ra tập nghiệm của hệ phương trình là: $S = \{(\frac{1}{3}; - \frac{10}{9})\}$

Vậy các phương án A, B, D đúng và phương án C sai. Đáp án là C.

Câu 3:

Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình 3x- 2y = 1 là:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Thay x = 0 vào phương trình tính được $y = - \frac{1}{2}$ , thay y = 0 vào phương trình tính được $x = \frac{1}{3}$ nên $(0; - \frac{1}{2})$ và $(\frac{1}{3}; 0)$ là hai nghiệm của phương trình và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình đi qua hai điểm có tọa độ là $(0; - \frac{1}{2})$ và $(\frac{1}{3}; 0)$ .

Đáp án B

Câu 4:

Hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 4 \\ - x + y = 2 \end{cases}$

A. có nghiệm duy nhất là $(\frac{8}{5}; \frac{2}{5})$

B. có vô số nghiệm

C. vô nghiệm

D. có nghiệm duy nhất là $(\frac{- 2}{5}; \frac{8}{5})$

Xem đáp án

Cách 1. Ta có:

$\{\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 4 \\ - x + y = 2 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 3 y = 4 \\ - 2 x + 2 y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 3 y = 4 \\ 5 y = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{- 2}{5} \\ y = \frac{8}{5} \end{cases}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(\frac{- 2}{5}; \frac{8}{5})$

Cách 2. Ta có:

$D = |\begin{matrix} 2 & 3 \\ - 1 & 1 \end{matrix}| = 2.1 - (- 1) . 3 = 5 D_{x} = |\begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}| = 4.1 - 2.3 = - 2; D_{y} = |\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 1 & 2 \end{matrix}| = 2.2 - (- 1) . 4 = 8 \Rightarrow x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{- 2}{5}; y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{8}{5}$

Chọn D

Câu 5:

Hệ phương trình $\{\begin{matrix} 2 x - 5 y + z = 10 \\ x + 2 y - 3 z = 10 \\ - x + 3 y + 2 z = - 16 \end{matrix}$ có nghiệm là:

A. $(2; - 2)$

B. $(- 2; 2; 4)$

C. $(2; - 2; - 4)$

D. $(2; - 1; 1)$

Xem đáp án

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 x - 5 y + z = 10 \\ x + 2 y - 3 z = 10 \\ 5 y - z = - 6 \end{matrix} \overset{(1) + (3)}{\to} \{\begin{matrix} 2 x - 5 y + z = 10 \\ x + 2 y - 3 z = 10 \\ 2 x = 4 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 4 - 5 y + z = 10 \\ \begin{array}{l} 2 + 2 y - 3 z = 10 \\ x = 2 \end{array} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \begin{matrix} - 5 y + z = 6 \\ \begin{array}{l} 2 y - 3 z = 8 \\ x = 2 \end{array} \end{matrix} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} \begin{matrix} - 15 y + 3 z = 18 \\ 2 y - 3 z = 8 \\ x = 2 \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \begin{matrix} - 13 y = 26 \\ 2 y - 3 z = 8 \\ x = 2 \end{matrix} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = - 2 \\ z = - 4 \\ x = 2 \end{matrix}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( 2; -2; -4).

Chọn C,

Câu 6:

Cho ba đường thẳng

$(d_{1}) : 2 x + 3 y = 1; (d_{2}) : x - y = 2; (d_{3}) : m x + (2 m + 1) y = 2$ .

Ba đường thẳng này đồng quy khi:

A. m = 12

B. m = 13

C. m = 14

D. m = 15

Xem đáp án

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi hệ $\{\begin{matrix} 2 x + 3 y = 1 (1) \\ x - y = 2 (2) \\ m x + (2 m + 1) y = 2 (3) \end{matrix}$ có nghiệm duy nhất.

Xét hệ gồm hai phương trình (1) và (2) :

$\{\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 1 (1) \\ x - y = 2 (2) \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 1 \\ 2 x - 2 y = 4 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 1 \\ 5 y = - 3 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{7}{5} \\ y = \frac{- 3}{5} \end{cases}$

Hệ này có nghiệm duy nhất là $(\frac{7}{5}; - \frac{3}{5})$ .

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy thì $(\frac{7}{5}; - \frac{3}{5})$ cũng là nghiệm của phương trình (3), tức là

$m . \frac{7}{5} + (2 m + 1) . \frac{- 3}{5} = 2 \Leftrightarrow 7 m - 3 (2 m + 1) = 10 \Leftrightarrow 7 m - 6 m - 3 = 10 \Leftrightarrow m = 13$ .

Câu 7:

Cho hệ phương trình có tham số m: $\{\begin{cases} m x + y = m \\ x + m y = m \end{cases}$ . Hệ có nghiệm duy nhất khi:

A. $m \neq 1$

B. $m \neq - 1$

C. $m \neq \pm 1$

D. $m \neq 0$

Xem đáp án

Ta có: $D = |\begin{matrix} m & 1 \\ 1 & m \end{matrix}| = m^{2} - 1$

Hệ có nghiệm duy nhất khi $D \neq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 1$

Chọn C.

Câu 8:

Cho hệ phương trình có tham số m: $\{\begin{cases} m x + y = m \\ x + m y = m \end{cases}$ .

Hệ vô nghiệm khi:

A. m = 0

B. m = 1

C. m = -1

D. với mọi $m \in ℝ$ .

Xem đáp án

* Ta có: $D = |\begin{matrix} m & 1 \\ 1 & m \end{matrix}| = m^{2} - 1; D_{x} = D y = |\begin{matrix} m & 1 \\ m & m \end{matrix}| = m^{2} - m$

Để hệ phương trình đã cho vô nghiệm thì:

$\{\begin{cases} D = m^{2} - 1 = 0 \\ D_{x} = m^{2} - m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = \pm 1 \\ \{\begin{cases} m \neq 0 \Leftrightarrow m = - 1 \\ m \neq 1 \end{cases} \end{cases}$

Vậy hệ vô nghiệm khi m = -1,

Chọn đáp án là C.

Câu 9:

Cho hệ phương trình có tham số m: $\{\begin{cases} m x + y = m \\ x + m y = m \end{cases}$ .

Hệ có nghiệm khi:

A. $m \neq 1$

B. $m \neq - 1$

C. $m \neq \pm 1$

D. $m = \pm 1$

Xem đáp án

Hệ có nghiệm thì có nghiệm duy nhất, hoặc có vô số nghiệm.

* Ta có: $D = |\begin{matrix} m & 1 \\ 1 & m \end{matrix}| = m^{2} - 1; D_{x} = |\begin{matrix} m & 1 \\ m & m \end{matrix}| = m^{2} - m; D_{y} = |\begin{matrix} m & m \\ 1 & m \end{matrix}| = m^{2} - m$

Hệ có nghiệm duy nhất khi $D \neq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 1$

* Nếu m = 1 thì D = Dx = Dy = 0 nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

* N ếu m = -1 thì D = 0; Dx = Dy = 2 nên hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi $m \neq - 1$ chọn đáp án là B.

Câu 10:

Cho hệ phương trình có tham số m: $\{\begin{cases} m x + y = m + 1 \\ x + m y = 2 \end{cases}$ . Khi m =a thì hệ có vô số nghiệm và khi m = b thì hệ vô nghiệm. Tính a+ b?

A. 0

B.1

C. -1

D. 2

Xem đáp án

Ta tính các định thức:

$D = |\begin{matrix} m & 1 \\ 1 & m \end{matrix}| = m^{2} - 1 = (m + 1) . (m - 1); D_{x} = |\begin{matrix} m + 1 & 1 \\ 2 & m \end{matrix}| = m^{2} + m - 2 = (m - 1) . (m + 2); D_{y} = |\begin{matrix} m & m + 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}| = m - 1$

Xét D = 0 tức là m = 1 hoặc m = -1.

* Nếu m = 1 thì D = Dx = Dy = 0 nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Do đó, a= 1.

* Nếu m = -1 thì D = 0 nhưng $D_{x} \neq 0$ nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Do đó, b = -1

Tổng a+ b = 0.

Chọn A.

Câu 11:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{matrix} ax + y = 2 \\ 6 x + b y = 4 \end{matrix}$ . Có bao nhiêu cặp số nguyên $(a, b)$ để hệ phương trình vô nghiệm?

A. 7

B. 5

C. 6

D. 8

Xem đáp án

Ta có: $D = |\begin{matrix} a & 1 \\ 6 & b \end{matrix}| = a b - 6; $ $D_{x} = |\begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & b \end{matrix}| = 2 b - 4;$ $D_{y} = |\begin{matrix} a & 2 \\ 6 & 4 \end{matrix}| = 4 a - 12$

Hệ phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} D = 0 \\ [\begin{matrix} D_{x} \neq 0 \\ D_{y} \neq 0 \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a b = 6 \\ [\begin{matrix} b \neq 2 \\ a \neq 3 \end{matrix} \end{matrix}$

Vì 6 = 1 . 6 = 6 .1 = (−1). (−6) = (−6). (−1) = 2.3 = 3.2 = (−2). (−3) = (−3). (−2)

Vậy có 7 cặp (a,b) thoả mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 12:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{matrix} m x + (3 m - 2) y + m - 3 = 0 \\ 2 x + (m + 1) y - 4 = 0 \end{matrix}$ . Hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập đối với tham số m khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

A. $x = - 1 + \frac{5}{2} y$

B. $y = 1 - \frac{5}{2} x$

C. $x = - 1 - \frac{5}{2} y$

D. $y = - 1 + \frac{5}{2} x$

Xem đáp án

Hệ: $\{\begin{matrix} m x + (3 m - 2) y + m - 3 = 0 \\ 2 x + (m + 1) y - 4 = 0 \end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} m x + (3 m - 2) y = 3 - m \\ 2 x + (m + 1) y = 4 \end{matrix}$

Ta có:

$D = |\begin{matrix} m & 3 m - 2 \\ 2 & m + 1 \end{matrix}| = m^{2} - 5 m + 4 = (m - 1) (m - 4)$

$D_{x} = |\begin{matrix} 3 - m & 3 m - 2 \\ 4 & m + 1 \end{matrix}|$

$= (3 - m) (m + 1) - 4 (3 m - 2) = - m^{2} - 10 m + 11 = (1 - m) (m + 11)$

$D_{y} = |\begin{matrix} m & 3 - m \\ 2 & 4 \end{matrix}| = 4 m - 6 + 2 m = 6 m - 6 = 6 (m - 1)$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow D \neq 0 \Leftrightarrow (m - 1) (m - 4) \neq 0 \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \neq 1 \\ m \neq 4 \end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{(1 - m) (m + 11)}{(m - 1) (m - 4)} = \frac{m + 11}{4 - m} (1) \\ y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{6 (m - 1)}{(m - 1) (m - 4)} = \frac{6}{m - 4} (2) \end{matrix}$

Từ $(2) \Rightarrow (m - 4) y = 6 \Leftrightarrow m y = 6 + 4 y \Leftrightarrow m = \frac{6 + 4 y}{y} = \frac{6}{y} + 4$

Thay vào (1) ta được:

$x = (\frac{6}{y} + 4 + 11) : (4 - \frac{6}{y} - 4) = - \frac{6 + 15 y}{6} = - 1 - \frac{15}{6} y = - 1 - \frac{5}{2} y$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 13:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{matrix} \frac{3 (x + y)}{x - y} = a \\ \frac{2 x - y - a x}{y - x} = - 1 \end{matrix}$ . Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi:

A. $a \neq - 1$

B. $a \neq 3$

C. $a \neq - 3$

D. $a \neq 0$

Xem đáp án

Hệ:

$\{\begin{matrix} \frac{3 (x + y)}{x - y} = a \\ \frac{2 x - y - a x}{y - x} = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{3 x}{x - y} + \frac{3 y}{x - y} = a \\ \frac{2 x}{y - x} - \frac{y}{y - x} - \frac{a x}{y - x} = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{3 x}{x - y} + \frac{3 y}{x - y} = a \\ \frac{- 2 x}{y - x} + \frac{y}{y - x} + \frac{a x}{y - x} = - 1 \end{matrix}$

Điều kiện: $x \neq y$

Đặt $u = \frac{x}{x - y}; v = \frac{y}{x - y}$ , hệ phương trình trở thành:

$\{\begin{matrix} 3 u + 3 v = a \\ - 2 u + v + a u = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 3 u + 3 v = a \\ (a - 2) u + v = - 1 \end{matrix}$

Ta có: $D = |\begin{matrix} 3 & 3 \\ a - 2 & 1 \end{matrix}| = 3 - 3 a + 6 = 9 - 3 a$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow D \neq 0 \Leftrightarrow 9 - 3 a \neq 0 \Leftrightarrow a \neq 3$

Đáp án cần chọn là: B