Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí côsin cho DABC, ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA

= 32² + 45² – 2.32.45.cos87°

≈ 2898,3

Suy ra a ≈ \(\sqrt {2898,3} \) ≈ 53,8.

Theo định lí sin, ta có \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\)

Suy ra \(\sin B = \frac{{b.\sin A}}{a} \approx \frac{{32.\sin 87^\circ }}{{53,8}} \approx 0,6\).

Do đó \(\widehat B \approx 37^\circ \)

(\(\widehat B \approx 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ \) không thỏa mãn do \(\widehat A + \widehat B \approx 87^\circ + 143^\circ = 230^\circ > 180^\circ )\)

∆ABC có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) \approx 180^\circ - \left( {87^\circ + 37^\circ } \right) = 56^\circ \).

Vậy a ≈ 53,8, \(\widehat B \approx 37^\circ ,\,\,\widehat C \approx 56^\circ \).

Do đó ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

⦁ ∆ABC có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 40^\circ } \right) = 80^\circ \).

Do đó phương án A đúng.

⦁ Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\).

Suy ra \(a = \frac{{c.\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{14.\sin 60^\circ }}{{\sin 80^\circ }} \approx 12,3\).

Do đó phương án B đúng.

Ta có \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

Suy ra \(b = \frac{{c.\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{14.\sin 40^\circ }}{{\sin 80^\circ }} \approx 9,1\).

Do đó phương án C đúng, phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

⦁ \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{2^2} + {{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}}}{{2.2.\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{1}{2}\).

Suy ra \(\widehat A = 60^\circ \).

⦁ \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} + {{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2} - {2^2}}}{{2.\sqrt 6 .\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Suy ra \(\widehat B = 45^\circ \).

⦁ \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} + {2^2} - {{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2.\sqrt 6 .2}} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\).

Suy ra \(\widehat C = 75^\circ \).

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo hệ quả định lí sin, ta có:

⦁ BC = 2R.sinA = 2.2.sin120° = \(2\sqrt 3 \).

⦁ AC = 2R.sinB = 2.2.sin45° = \(2\sqrt 2 \).

Theo định lí côsin, ta có BC² = AC² + AB² – 2.AC.AB.cosA

Suy ra \({\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + A{B^2} - 2.2\sqrt 2 .AB.\cos 120^\circ \)

Khi đó \(A{B^2} + 2\sqrt 2 .AB - 4 = 0\)

Vì vậy \(AB = \sqrt 6 - \sqrt 2 \) hoặc \(AB = - \sqrt 6 - \sqrt 2 \)

Vì AB là độ dài một cạnh của ∆ABC nên ta có AB > 0.

Do đó ta nhận \(AB = \sqrt 6 - \sqrt 2 \).

∆ABC có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {120^\circ + 45^\circ } \right) = 15^\circ \).

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

⦁ Theo hệ quả định lí sin, ta có:

a = 2R.sinA = 2.6.sin60° = \(6\sqrt 3 \).

⦁ Ta có S = \(\frac{1}{2}c{h_c} = \frac{1}{2}bc\sin A\,\).

Suy ra h_c = b.sinA

Do đó \(b = \frac{{{h_c}}}{{\sin A}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sin 60^\circ }} = 4\).

⦁ Theo định lí côsin, ta có a² = b² + c² – 2bc.cosA

Suy ra \({\left( {6\sqrt 3 } \right)^2} = {4^2} + {c^2} - 2.4.c.\cos 60^\circ \)

Khi đó c² – 4c – 92 = 0

Vì vậy \(c = 2 + 4\sqrt 6 \) hoặc \(c = 2 - 4\sqrt 6 \).

Vì c là độ dài một cạnh của ∆ABC nên c > 0.

Do đó ta nhận \(c = 2 + 4\sqrt 6 \).

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo định lí côsin, ta có

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

\( = {4^2} + {5^2} - 2.4.5.\frac{3}{5} = 17\).

Suy ra \(BC = \sqrt {17} \).

Nửa chu vi ∆ABC là:

\(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{4 + 5 + \sqrt {17} }}{2} = \frac{{9 + \sqrt {17} }}{2}\).

Diện tích ∆ABC là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} \)

\( = \sqrt {\frac{{9 + \sqrt {17} }}{2}\left( {\frac{{9 + \sqrt {17} }}{2} - 4} \right)\left( {\frac{{9 + \sqrt {17} }}{2} - 5} \right)\left( {\frac{{9 + \sqrt {17} }}{2} - \sqrt {17} } \right)} \)

= 8     (đơn vị diện tích).

Ta có \(S = \frac{1}{2}.BC.{h_a}\)

\( \Leftrightarrow 8 = \frac{1}{2}.\sqrt {17} .{h_a}\)

\( \Leftrightarrow {h_a} = \frac{{16\sqrt {17} }}{{17}}\)

Vậy ta chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là R = 3.

∆ABC có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {30^\circ + 45^\circ } \right) = 105^\circ \).

Theo hệ quả định lí sin, ta có:

⦁ a = 2R.sinA = 2.3.sin30° = 3.

⦁ b = 2R.sinB = 2.3.sin45° = \(3\sqrt 2 \).

⦁ c = 2R.sinC = 2.3.sin105° = \(\frac{{3\sqrt 6 + 3\sqrt 2 }}{2}\).

Nửa chu vi của ∆ABC là:

\(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{3 + 3\sqrt 2 + \frac{{3\sqrt 6 + 3\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{6 + 9\sqrt 2 + 3\sqrt 6 }}{4}\).

Ta có S = pr = \(\frac{1}{2}\)ab.sinC

\( \Leftrightarrow \frac{{6 + 9\sqrt 2 + 3\sqrt 6 }}{4}.r = \frac{1}{2}.3.3\sqrt 2 .\sin 105^\circ \)

\( \Leftrightarrow \frac{{6 + 9\sqrt 2 + 3\sqrt 6 }}{4}.r = \frac{{9 + 9\sqrt 3 }}{4}\)

⇔ r ≈ 0,94.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì \(\sqrt 6 - \sqrt 2 < 2\sqrt 2 < 2\sqrt 3 \) nên c < b < a.

Do đó \(\widehat C < \widehat B < \widehat A\).

Tức là, \(\widehat A\) lớn nhất.

Theo hệ quả định lí côsin, ta có:

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2.2\sqrt 2 .\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}} = - \frac{1}{2}\).

Suy ra \(\widehat A = 120^\circ \).

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo hệ quả định lí côsin, ta có \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Diện tích ∆ABC là: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A\).

Ta có \(\cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc.\sin A}}\)

\( = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4.\frac{1}{2}bc.\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}\)

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

• Theo hệ quả định lí sin, ta có:

\(\sin C = \frac{c}{{2R}}\) và \(\sin B = \frac{b}{{2R}}\).

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

• Ta có sinC = 2sinB.cosA

\( \Leftrightarrow \frac{c}{{2R}} = 2.\frac{b}{{2R}}.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

\[ \Leftrightarrow c = 2b.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\]

\[ \Leftrightarrow c = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{c}\]

⇔ c² = b² + c² – a²

⇔ b² = a²

⇔ b = a (vì a, b > 0)

Hay AC = BC.

Suy ra ∆ABC cân tại C.

Vậy ta chọn phương án D.