15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế có đáp án

Câu 1:

Cho tam giác ABC, biết BC = 24, AC = 13, AB = 15. Số đo góc A là:

A. 28°37';

B. 33°34';

C. 58°24';

D. 117°49'.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng hệ quả định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

$\cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{15^{2} + 13^{2} - 24^{2}}{2.15.13} = - \frac{7}{15}$

Do đó $\hat{A} \approx 117 ° 49' .$

Vậy $\hat{A} \approx 117 ° 49' .$

Câu 2:

Tam giác ABC có $\hat{A} = 68 ° 12', \hat{B} = 34 ° 44',$ AB = 117. Độ dài cạnh AC là khoảng:

A. 68;

B. 118

C. 168

D. 200

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC có $\hat{A} = 68 ° 12', \hat{B} = 34 ° 44',$ ta có:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{C} = 180 ° - \hat{A} - \hat{B}$

$\Rightarrow \hat{C} = 180 ° - 68 ° 12' - 34 ° 44' = 77 ° 4' .$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C}$

$\Rightarrow A C = \frac{A B . \sin B}{\sin C} = \frac{117. \sin 34 ° 44'}{\sin 77 ° 4'} \approx 68.$

Vậy AC ≈ 68.

Câu 3:

Tam giác ABC có $A B = \sqrt{2}; A C = \sqrt{3}$ và $\hat{C} = 45 °$ . Độ dài cạnh BC là:

A. $B C = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2};$

B. $B C = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2};$

C. $\sqrt{5}$

D. $\sqrt{6}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

AB² = AC² + BC² – 2.AC.BC.cosC

$\Rightarrow {(\sqrt{2})}^{2} = {(\sqrt{3})}^{2} + B C^{2} - 2. \sqrt{3} . B C . c o s 45 °$

$\Rightarrow B C^{2} - \sqrt{6} . B C + 1 = 0$

$\Rightarrow B C = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ (vì BC > 0)

Vậy $B C = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

Câu 4:

Cho tam giác ABC có $A B = \sqrt{3} + 1, A C = \sqrt{6},$ BC = 2. Số đo của $\hat{B} - \hat{A}$ là:

A. 20°;

B. 25°;

C. 30°;

D. 35°;

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng hệ quả định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

+) $\cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{2} + {(\sqrt{6})}^{2} - 2^{2}}{2. (\sqrt{3} + 1) \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow \hat{A} = 45 °$

+) $\cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C} = \frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{2} + 2^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}{2. (\sqrt{3} + 1) .2} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \hat{B} = 60 °$

Do đó $\hat{B} - \hat{A} = 60 ° - 45 ° = 25 ° . \Rightarrow \hat{B} = 60 °$

Vậy $\hat{B} - \hat{A} = 25 ° .$

Câu 5:

Tam giác ABC có góc A nhọn, AB = 5, AC = 8, diện tích bằng 12. Độ dài cạnh BC là khoảng:

A. $2 \sqrt{3}$

B. $3 \sqrt{2}$

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin A \Rightarrow \sin A = \frac{2 S}{A B . A C}$

$\Rightarrow \sin A = \frac{2.12}{5.8} = \frac{3}{5} \Rightarrow \hat{A} \approx 36 ° 52'$ (vì góc A là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và $\hat{A} \approx 36 ° 52'$ , áp dụng định lí côsin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

BC² ≈ 5² + 8² – 2.5.8.cos36°52' ≈ 25

Þ BC ≈ 5.

Vậy BC ≈ 5.

Câu 6:

Cho tam giác ABC có AB = 5, $\hat{A} = 40 °, \hat{B} = 60 ° .$ Độ dài BC gần nhất với kết quả nào?

A. 3,1;

B. 3,3

C. 3,5

D. 3,7

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có $\hat{A} = 40 °, \hat{B} = 60 °,$ ta có:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{C} = 180 ° - \hat{A} - \hat{B}$

$\Rightarrow \hat{C} = 180 ° - 40 ° - 60 ° = 80 ° .$

Theo định lí sin ta có: $\frac{B C}{\sin A} = \frac{A B}{\sin C}$

$\Rightarrow B C = \frac{A B . \sin A}{\sin C} = \frac{5. \sin 40 °}{\sin 80 °} \approx 3, 3$

Vậy BC ≈ 3,3.

Câu 7:

Cho tam giác ABC. Biết AB = 2, BC = 3 và $\hat{A B C} = 60 °$ . Chu vi và diện tích tam giác ABC lần lượt là:

A. $5 + \sqrt{7}$ và $\frac{3}{2};$

B. $5 + \sqrt{7}$ và $\frac{3 \sqrt{3}}{2};$

C. $5 + \sqrt{19}$ và $\frac{3}{2};$

D. $5 + \sqrt{19}$ và $\frac{3 \sqrt{3}}{2};$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có AB = 2, BC = 3 và $\hat{A B C} = 60 °,$ áp dụng định lí côsin ta có:

AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC. $c o s \hat{A B C}$

Þ AC² = 2² + 3² – 2.2.3.cos60° = 7 $\Rightarrow A C = \sqrt{7}$

Do đó chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC $= 2 + 3 + \sqrt{7} = 5 + \sqrt{7} .$

Diện tích tam giác ABC là:

$S = \frac{1}{2} . B A . B C . \sin \hat{A B C} = \frac{1}{2} .2.3. \sin 60 ° = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ (đơn vị diện tích).

Vậy chu vi và diện tích tam giác ABC lần lượt là: $5 + \sqrt{7}$ và $\frac{3 \sqrt{3}}{2} .$

Câu 8:

Tam giác ABC vuông tại B. Trên cạnh AC lấy hai điểm M, N sao cho các góc $\hat{A B M},$ $\hat{M B N},$ $\hat{N B C}$ bằng nhau. Đặt AB = q, BC = m, BM = x, BN = y. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?

A. AM = MN = NC;

B. AM² = q² + x² – xq;

C. AN² = q² + y² – yq;

D. AC² = q² + m² – 2qm.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\hat{A B M} = \hat{M B N} = \hat{N B C} = \frac{\hat{A B C}}{3} = \frac{90 °}{3} = 30 °$

$\Rightarrow \hat{A B N} = \hat{M B C} = 60 °$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABM ta có:

AM² = AB² + BM² – 2.AB.BM. $c o s \hat{A B M}$

Þ AM² = q² + x² – 2.q.x.cos30°

$\Rightarrow A M^{2} = q^{2} + x^{2} - 2. q . x . \frac{\sqrt{3}}{2} = q^{2} + x^{2} - q x \sqrt{3} .$ (1)

Do đó phương án B là mệnh đề sai.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABN ta có:

AN² = AB² + BN² – 2.AB.BN. $c o s \hat{A B N}$

Þ AN² = q² + y² – 2.q.y.cos60°

$\Rightarrow A N^{2} = q^{2} + y^{2} - 2. q . y . \frac{1}{2} = q^{2} + y^{2} - q y .$ (2)

Do đó phương án C là mệnh đề đúng.

Từ (1) và (2) suy ra AM² ≠ AN² nên phương án A là mệnh đề sai.

Tam giác ABC vuông tại B nên AC² = AB² + BC² = q² + m².

Do đó phương án D là mệnh đề sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 9:

Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ của một kỳ đài trước Ngọ Môn (Đại Nội – Huế), người ta cắm hai cọc AM và BN cao 1,5 mét so với mặt đất. Hai cọc này song song và cách nhau 10 mét và thẳng hàng so với tim cột cờ (Hình vẽ minh họa). Đặt giác kế tại đỉnh A và B để nhắm đến đỉnh cột cờ, người ta được các góc lần lượt là 51°40' và 45°39' so với đường song song mặt đất.

Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ của một kỳ đài trước Ngọ Môn (ảnh 1)

Chiều cao của cột cờ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) là:

A. 54,33 m;

B. 54,63 m;

C. 55,01 m;

D. 56,88 m.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\hat{C A B} = 180 ° - 51 ° 40' = 128 ° 20'$

Xét tam giác ABC ta có: $\hat{C A B} + \hat{A B C} + \hat{A C B} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{A C B} = 180 ° - \hat{C A B} - \hat{A B C}$

$\Rightarrow \hat{A C B} = 180 ° - 128 ° 20' - 45 ° 39' = 6 ° 1' .$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{A C}{\sin \hat{A B C}} = \frac{A B}{\sin \hat{A C B}}$

$\Rightarrow \frac{A C}{\sin 45 ° 39'} = \frac{10}{\sin 6 ° 1'}$ $\Rightarrow A C = \frac{10. \sin 45 ° 39'}{\sin 6 ° 1'}$

Xét tam giác ACH vuông tại H có: $C H = A C . \sin \hat{C A H}$

$\Rightarrow C H = \frac{10. \sin 45 ° 39'}{\sin 6 ° 1'} . \sin 51 ° 40'$ ≈ 53,51 (m)

Chiều cao của cột cờ là khoảng: 1,5 + 53,51 = 55,01 (m)

Vậy cột cờ cao khoảng 55,01 m.

Câu 10:

Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ (AB = 4,3 cm; BC = 3,7 cm; CA = 7,5 cm).

Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

A. 5,73 cm;

B. 6,01 cm;

C. 5,85 cm;

D. 4,57 cm.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính R của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Nửa chu vi của tam giác ABC là: $p = \frac{A B + A C + B C}{2} = \frac{4, 3 + 7, 5 + 3, 7}{2} = \frac{31}{4} (c m)$

Diện tích tam giác ABC theo công thức Heron là:

$S = \sqrt{p (p - A B) (p - A C) (p - B C)} \approx 5, 2 (c m^{2})$

Mặt khác: $S = \frac{A B . A C . B C}{4 R} \Rightarrow R = \frac{A B . A C . B C}{4 S} \approx \frac{4, 3.7, 5.3, 7}{4.5, 2} \approx 5, 73 (c m)$

Vậy bán kính của chiếc đĩa là khoảng 5,73 cm.

Câu 11:

Vào lúc 9 giờ sáng, hai vận động viên A và B xuất phát từ cùng một vị trí O. Vận động viên A chạy với vận tốc 13 km/h theo một góc so với hướng Bắc là 15°, vận động viên B chạy với vận tốc 12 km/h theo một góc so với hướng Bắc là 135° (hình vẽ).

Tại thời điểm nào thì vận động viên A cách vận động viên B một khoảng 10 km (làm tròn kết quả đến phút)?

A. 29 phút;

B. 9 giờ 29 phút;

C. 30 phút;

D. 9 giờ 30 phút.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi x giờ (x > 0) là khoảng thời gian kể từ khi bắt đầu chạy từ điểm O đến khi hai vận động viên cách nhau 10 km.

Khi đó đoạn đường mà vận động viên A chạy được là 13x (km);

Đoạn đường mà vận động viên B chạy được là 12x (km).

Theo hình vẽ trên ta có: AB = 10, OA = 13x, OB = 12x và $\hat{A O B} = 135 ° - 15 ° = 120 °$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OAB ta có:

AB² = OA² + OB² – 2.OA.OB. $\sin \hat{A O B}$

Þ 10² = (13x)² + (12x)² – 2.13x.12x.sin120°

$\Rightarrow 10^{2} = 169 x^{2} + 144 x^{2} - 312 x^{2} . \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow 10^{2} = (313 - 156 \sqrt{3}) x^{2}$

$\Rightarrow x^{2} = \frac{10}{313 - 156 \sqrt{3}}$ Þ x ≈ 0,483 (giờ) (vì x > 0) ≈ 29 phút.

Do đó thời điểm mà hai vận động viên cách nhau 10 km là khoảng: 9 giờ 29 phút.

Vậy vào khoảng 9 giờ 29 phút thì hai vận động viên sẽ cách nhau 10 km.

Câu 12:

Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Cho hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B và C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24 m, $\hat{C A D} = 63 °,$ $\hat{C B D} = 48 ° .$

Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Cho hai điểm A, B (ảnh 1)

Chiều cao h của tháp gần với giá trị nào sau đây?

A. 18 m;

B. 19,5 m;

C. 60 m;

D. 61,5 m.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABD ta có: $α = \hat{A D B} + β$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

$\Rightarrow \hat{A D B} = α - β = 63 ° - 48 ° = 15 ° .$

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta có: $\frac{A D}{\sin B} = \frac{A B}{\sin \hat{A D B}}$

$\Rightarrow A D = \frac{A B}{\sin \hat{A D B}} . \sin B = \frac{24}{\sin 15 °} . \sin 48 ° \approx 68, 91 (m)$

Trong tam giác vuông ACD, có h = CD = AD.sinα

Þ h ≈ 68,91.sin63° ≈ 61,4 (m)

Câu 13:

Cho tam giác ABC thỏa mãn: $\cos A . \sin \frac{B - C}{2} = 0$ . Khi đó ABC là một tam giác:

A. Tam giác vuông;

B. Tam giác cân;

C. Tam giác vuông hoặc cân;

D. Tam giác đều.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\cos A . \sin \frac{B - C}{2} = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} \cos A = 0 \\ s i n \frac{B - C}{2} = 0 \end{array}$

$\Rightarrow [\begin{array}{l} A = 90 ° \\ \frac{B - C}{2} = 0 ° (v ì \frac{B - C}{2} = 180 ° l à v ô l í) \end{array}$

$\Rightarrow [\begin{array}{l} \hat{A} = 90 ° \\ \hat{B} = \hat{C} \end{array}$

Þ DABC vuông tại A hoặc DABC cân tại A.

Vậy DABC vuông tại A hoặc DABC cân tại A.

Câu 14:

Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30°, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15°30' (hình vẽ).

Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. (ảnh 1)

Ngọn núi đó có độ cao CH so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 135 m;

B. 234 m;

C. 165 m;

D. 195 m.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Từ hình vẽ ta có $\hat{A B C} = 90 ° + 15 ° 30' = 105 ° 30'$

Xét tam giác ABC có $\hat{C A B} = 60 °, \hat{A B C} = 105 ° 30'$ ta có:

$\hat{C A B} + \hat{A B C} + \hat{A C B} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{A C B} = 180 ° - \hat{C A B} - \hat{A B C}$

$\Rightarrow \hat{A C B} = 180 ° - 60 ° - 105 ° 30' = 14 ° 30' .$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: $\frac{A C}{\sin \hat{A B C}} = \frac{A B}{\sin \hat{A C B}}$

$\Rightarrow A C = \frac{A B . \sin \hat{A B C}}{\sin \hat{A C B}} = \frac{70. \sin 105 ° 30'}{\sin 14 ° 30'} \approx 269, 4 (m)$

Tam giác ACH vuông tại H nên ta có: $C H = A C . \sin \hat{C A H} \approx 269, 4. \sin 30 ° \approx 134, 7 (m)$

Vậy ngọn núi cao khoảng 135 m.

Câu 15:

Trong sơ đồ, chùm sáng S hướng vào gương màu xanh, phản xạ vào gương màu đỏ và sau đó phản xạ vào gương màu xanh như hình vẽ. Biết OP = 2 m, $O Q = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ m.

Khi đó đoạn PT bằng:

A. $\frac{2 \sqrt{6}}{3} m;$

B.

\frac{2 \sqrt{3}}{3} m;

C.

\frac{2 \sqrt{2}}{3} m;

D.

\frac{\sqrt{6}}{3} m;

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\hat{S Q B} = \hat{P Q T} = α, \hat{T P O} = β$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

PQ² = OP² + OQ² – 2.OP.OQ.cos $\hat{P O Q}$

$\Rightarrow P Q^{2} = 2^{2} + {(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2} - 2.2. (\sqrt{2} + \sqrt{6}) . c o s 45 °$ Þ PQ² = 8 $\Rightarrow P Q = 2 \sqrt{2} (m)$

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

$c o s α = c o s \hat{O Q P} = \frac{O Q^{2} + P Q^{2} - O P^{2}}{2. O Q . P Q} = \frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2} + 8 - 2^{2}}{2. (\sqrt{2} + \sqrt{+ 6}) .2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Þ α = 30°

Xét tam giác POQ có: β = 45° + α (tính chất góc ngoài của tam giác)

Þ β = 45° + 30° = 75° $\Rightarrow \hat{T P O} = 75 °$

Xét tam giác OTP ta có: $\hat{O T P} + \hat{T O P} + \hat{T P O} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Hay $\hat{O T P} + 45 ° + 75 ° = 180 °$

$\Rightarrow \hat{O T P} = 180 ° - 45 ° - 75 ° = 60 °$

Áp dụng định lí sin cho tam giác OTP ta có: $\frac{O P}{\sin \hat{O T P}} = \frac{P T}{\sin \hat{T O P}}$

$\Rightarrow \frac{2}{\sin 60 °} = \frac{P T}{\sin 45 °}$ $\Rightarrow P T = \frac{2. \sin 45 °}{\sin 60 °} = \frac{2. \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} .$

Vậy $P T = \frac{2 \sqrt{6}}{3} .$