10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1: Tính độ dài vectơ khi biết tích vectơ với một số có đáp án

Câu 1:

Cho tam giác đều ABC cạnh 4. Vectơ $- \frac{1}{2} \vec{B C}$ có độ dài là.

A. 2

B. 4

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do tam giác ABC đều cạnh 4 nên: AB = AC = BC = 4

⇒ $|\vec{B C}| = B C$ = 4

Ta có: $|- \frac{1}{2} \vec{B C}| = |- \frac{1}{2}| . |\vec{B C}| = \frac{1}{2} .4 = 2$ .

Câu 2:

Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh 3. Ta có $|\frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{D B}|$ = ?

A. 2

B. 4

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Do O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC và BD nên ta có:

$\frac{1}{2} \vec{A C} = \vec{A O}$ ; $\frac{1}{2} \vec{D B} = \vec{O B}$ .

$\Rightarrow \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{D B} = \vec{A O} + \vec{O B} = \vec{A B}$

$\Rightarrow |\frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{D B}| = |\vec{A B}| = A B = 3$ .

Câu 3:

Cho hình thoi ABCD cạnh 5 và $\hat{A B C} = 60^{o}$ . Tính: $|2 \vec{A B} + 2 \vec{A D}|$ .

A. 10;

B.

\frac{5 \sqrt{3}}{2}

;

C. 5;

D.

5 \sqrt{3}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Cho hình thoi ABCD cạnh 5 và góc ABC=60 độ. Tính: | 2vecto AB+ 2 vecto AD|. (ảnh 1)

Ta có: $2 \vec{A B} + 2 \vec{A D} = 2 (\vec{A B} + \vec{A D}) = 2 \vec{A C}$ (áp dụng quy tắc hình bình hành)

Xét tam giác ABC có:

$\hat{A B C} = 60^{o}$

AB = BC (do ABCD là hình thoi)

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều

⇒ AC = AB = BC = 5

Vậy $|2 \vec{A B} + 2 \vec{A D}| = |2 \vec{A C}| = |2| |\vec{A C}| = 2. A C = 2.5 = 10$ .

Câu 4:

Cho hình thoi ABCD cạnh 5 và $\hat{A B C} = 60^{o}$ . Tính: $|2 \vec{A B} - 2 \vec{A D}|$ .

A. 10;

B.

\frac{5 \sqrt{3}}{2}

;

C. 5;

D.

10 \sqrt{3}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có: $2 \vec{A B} - 2 \vec{A D} = 2 (\vec{A B} - \vec{A D}) = 2 \vec{D B}$ (hiệu hai vectơ).

Gọi O là giao hai đường chéo của hình thoi, khi đó O là trung điểm của AC và BD. Hơn nữa hai đường chéo này vuông góc với nhau tại O.

Xét tam giác ABC có:

$\hat{A B C} = 60^{o}$

AB = BC (do ABCD là hình thoi)

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều

⇒ AC = AB = BC = 5

$\Rightarrow A O = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} .5 = 2, 5$

Xét tam giác AOB vuông tại O, theo định lí Pytahgore ta có:

$A B^{2} = A O^{2} + B O^{2} \Rightarrow B O^{2} = A B^{2} - A O^{2} = 5^{2} - 2, 5^{2} = 18, 75$

$\Rightarrow B O = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow B D = 2 B O = 2. \frac{5 \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3}$

Vậy $|2 \vec{A B} - 2 \vec{A D}| = |2 \vec{D B}| = |2| |\vec{D B}| = 2 D B = 2.5 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3}$ .

Câu 5:

Cho hình chữ nhật ABCD tâm O có AB = 4, AD = 3. Tính độ dài vectơ $\frac{1}{2} \vec{D B}$ .

A. 5

B. 2,5

C. 1,5

D. 2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Cho hình chữ nhật ABCD tâm O có AB = 4, AD = 3. Tính độ dài vectơ 1/2 vecto DB (ảnh 1)

Xét tam giác ABD vuông tại A (do ABCD là hình chữ nhật)

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

BD² = AB² + AD² = 4² + 3² = 25 ⇔ BD = 5

Có: $|\frac{1}{2} \vec{D B}| = |\frac{1}{2}| |\vec{D B}| = \frac{1}{2} D B = \frac{1}{2} .5 = 2, 5$ .

Câu 6:

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Điểm M là trung điểm BC. Tính: $|\frac{1}{2} \vec{C B} + \vec{M A}|$ .

A. a;

B. 3a;

C. 2a;

D. 4a.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Điểm M là trung điểm BC. Tính: |1/2 vecto CB+ vecto MA| (ảnh 1)

Do M là trung điểm của BC nên ta có: $\frac{1}{2} \vec{C B} = \vec{C M}$

Do đó, ta có: $\frac{1}{2} \vec{C B} + \vec{M A} = \vec{C M} + \vec{M A} = \vec{C A}$

Vậy $|\frac{1}{2} \vec{C B} + \vec{M A}| = |\vec{C A}| = C A = a$ .

Câu 7:

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính: $|\vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C}|$ .

A. a;

B. 3a;

C.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

;

D.

a \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính: | vecto BA- 1/2 vecto BC | (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của BC.

Do đó ta có: $\frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{B M}$

Khi đó: $\vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{B A} - \vec{B M} = \vec{M A}$ (hiệu hai vectơ)

$\Leftrightarrow |\vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C}| = |\vec{M A}| = M A$ .

Do tam giác ABC đều nên AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên tam giác AMB vuông tại M.

Ta có: BM = $\frac{1}{2} B C = \frac{a}{2}$ .

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

AB² = AM² + BM² ⇔ AM² = AB² – BM² = a² – ${(\frac{a}{2})}^{2}$ = $\frac{3 a^{2}}{4}$ $\Leftrightarrow M A = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Vậy $|\vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C}| = M A = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Câu 8:

Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a. Ta có $|2 \vec{D O} + \vec{B C} + 2 \vec{C O}|$ = ?

A. a;

B. 3a;

C.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

;

D.

a \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a. Ta có |2 vecto DO+ BC+ 2 vecto CO| = ? (ảnh 1)

Vì O là tâm hình thoi ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Do đó ta có:

$2 \vec{D O} = \vec{D B}$ ;

$2 \vec{C O} = \vec{C A}$ .

Khi đó:

$2 \vec{D O} + \vec{B C} + 2 \vec{C O} = \vec{D B} + \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{D C} + \vec{C A} = \vec{D A}$ (áp dụng quy tắc ba điểm)

Suy ra: $|2 \vec{D O} + \vec{B C} + 2 \vec{C O}| = |\vec{D A}|$ = DA = a.

Câu 9:

Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a. Vectơ tổng $2 \vec{A B} + 2 \vec{D C}$ có độ dài là

A. a;

B. 8a;

C. 4a;

D. 2a.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a. Vectơ tổng 2 vecto AB+ vecto 2 DC có độ dài là (ảnh 1)

Xét hình vuông ABCD có: $\vec{A B} = \vec{D C}$

Ta có: $|2 \vec{A B} + 2 \vec{D C}| = |2 \vec{A B} + 2 \vec{A B}| = |4 \vec{A B}| = |4| |\vec{A B}| = 4. A B = 4.2 a = 8 a$ .

Câu 10:

Cho tam giác ABC đều cạnh 4a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Tính: $|\frac{1}{2} \vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C}|$ .

Cho tam giác ABC đều cạnh 4a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC (ảnh 1)

A. a;

B. 8a;

C. 4a;

D. 2a.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

$\frac{1}{2} \vec{B A} = \vec{B M}$ (do M là trung điểm AB)

$\frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{B P}$ (do P là trung điểm BC)

$|\frac{1}{2} \vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C}| = |\vec{B M} - \vec{B P}| = |\vec{P M}| = P M$ (áp dụng quy tắc trừ hai vectơ)

Xét tam giác ABC đều

M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC

Do đó, PM là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow P M = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} .4 a = 2 a$

Vậy $|\frac{1}{2} \vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C}| = 2 a$ .