Đáp án đúng là: B

Ta có: \(y\left( {10} \right) = 2\sqrt {{{10}^2} - 5.10} = 10\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: A

Cách 1. Thay lần lượt các giá trị ở từng đáp án vào cho đến khi tìm được giá trị thỏa mãn.

Cách 2. Giải phương trình

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 6x + 1} = \sqrt {{x^2} - 3} \) ta được

3x² – 6x + 1 = x² – 3.

Rút gọn ta được x² – 3x + 2 = 0. Từ đó ta tìm được x = 1 hoặc x = 2.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 2.

Đáp án đúng là: D

Bốn phương trình đã cho đều là dạng của phương trình đường thẳng.

Thay lần lượt toa độ của A, B vào từng phương trình ta thấy tọa độ của A và B đều thỏa mãn phương trình ở đáp án D.

Đáp án đúng là: D

Khoảng cách từ điểm A(1; 1) đến d: 5x – 12y – 6 = 0 là

\(d\left( {A,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {5 \cdot 1 - 12 \cdot 1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 1\).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng a có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ;\,\, - 1} \right)\);

Đường thẳng b có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - \sqrt 3 } \right)\).

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:

\(\cos \left( {a,\,\,b} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {\sqrt 3 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - \sqrt 3 } \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng 30°.

Đáp án đúng là: A

Đường tròn có tâm I(3; 4) tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x + 4y – 10 = 0 nên bán kính đường tròn chính là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆.

Ta có: R = d(I, ∆) = \(\frac{{\left| {3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 - 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\).

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: (x – 3)² + (y – 4)² = 9.

Đáp án đúng là: D

Đường tròn (C) có tâm là I(2; – 2). Tiếp tuyến của (C) tại M(1; 0) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MI} = \left( {1;\, - 2} \right)\), nên có phương trình

1(x – 1) – 2(y – 0) = 0 hay x – 2y – 1 = 0.

Đáp án:

a) Xét hàm số bậc hai biểu thị độ cao h phụ thuộc thời gian t có dạng h(t) = at² + bt + c, trong đó a ≠ 0. Theo đề bài:

Với t = 0, h = 0, ta có: c = 0 nên h(t) = at² + bt. Khi đó:

+ Với t = 1, h = 48, ta có: a . 1² + b . 1 = 48 ⇔ a + b = 48.

+ Với t 2, h = 64, ta có: a . 2² + b . 2 = 64 ⇔ 4a + 2b = 64.

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 48\\4a + 2b = 64\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 16\\b = 64\end{array} \right.\). Suy ra h(t) = – 16t² + 64t.

Thay các giá trị tương ứng còn lại của bảng vào công thức trên, ta thấy phù hợp.

Vậy hàm số bậc hai cần tìm là h(t) = – 16t² + 64t.

b) Bóng chạm đất khi h(t) = 0 ⇔ – 16t² + 64t = 0.

Suy ra t = 0 hoặc t = 4.

Vậy sau 4 giây kể từ khi vận động viên đánh bóng thì bóng lại chạm đất.

Đáp án:

Gọi tọa độ các điểm A, B và M là A(x_A; y_A); B(x_B; y_B) và M(x_M; y_M).

Vì A thuộc d₁ nên 2x_A – y_A – 2 = 0. Suy ra y_A = 2x_A – 2.

Vì B thuộc d₂ nên x_B + y_B + 3 = 0. Suy ra y_B = – x_B – 3.

Do M là trung điểm của đoạn AB nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 6\\\left( {2{x_A} - 2} \right) + \left( { - {x_B} - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = \frac{{11}}{3}\\{y_A} = \frac{{16}}{3}\end{array} \right.\).

Suy ra \(A\left( {\frac{{11}}{3};\,\,\frac{{16}}{3}} \right)\).

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A và điểm M.

Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{2}{3};\,\, - \frac{{16}}{3}} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AM}}} = \left( {1;\,\,8} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AM}}} = \left( {8;\,\, - 1} \right)\).

Đường thẳng ∆ đi qua M(3; 0) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AM}}} \) nên có phương trình là

8(x – 3) – (y – 0) = 0 hay 8x – y – 24 = 0.

Đáp án:

(C) có tâm I(1; 2), bán kính R = 2.

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua I, vuông góc với d có dạng x + y + m = 0.

I (1; 2) ∈ ∆, suy ra 1 + 2 + m = 0 ⇒ m = – 3.

Do đó, phương trình đường thẳng ∆: x + y – 3 = 0.

Gọi H là giao điểm của ∆ và d. Tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} + {\rm{y}} - 3 = 0\\{\rm{x}} - {\rm{y}} - 1 = 0\end{array} \right.\]

Từ đó tìm được H(2; 1).

Chứng minh được H là trung điểm của II' với I' là tâm của (C'). Suy ra I'(3; 0)

Vì (C), (C') đối xứng nhau qua d nên R = R'.

Vậy phương trình (C'): (x – 3)² + y² = 4.

Tọa độ giao điểm của (C), (C') là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)^2} + {\left( {{\rm{y}} - 2} \right)^2} = 4\\{\left( {{\rm{x}} - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)^2} + {\left( {{\rm{y}} - 2} \right)^2} = 4\\{\rm{x}} - {\rm{y}} - 1 = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{\rm{x}}_{\rm{1}}} = 1 \Rightarrow {{\rm{y}}_{\rm{1}}} = 0\\{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = 3 \Rightarrow {{\rm{y}}_2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{A}}\left( {1;0} \right),\,\,{\rm{B}}\left( {3;2} \right)\] là giao điểm của (C), (C').