15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ có đáp án

Câu 1:

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. (E) có các tiêu điểm F₁(–4; 0) và F₂(4; 0);

B. (E) có tỉ số $\frac{c}{a} = \frac{4}{5}$ ;

C. (E) có đỉnh A₁(–5; 0);

D. (E) có độ dài trục nhỏ bằng 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

• Phương trình elip (E) có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , với a² = 25, b² = 9.

Ta suy ra a = 5, b = 3 (vì a, b > 0).

Ta có b = $\sqrt{a^{2} - c^{2}}$

⇔ b² = a² – c²

⇔ c² = a² – b² = 25 – 9 = 16.

⇔ c = 4.

Vậy các tiêu điểm của elip (E) là: F₁(–4; 0), F₂(4; 0).

Do đó phương án A đúng.

• Ta có tỉ số $\frac{c}{a} = \frac{4}{5}$

Do đó phương án B đúng.

• Đỉnh A₁(–a; 0).

Suy ra A₁(–5; 0).

Do đó phương án C đúng.

• Độ dài trục nhỏ là 2b = 2.3 = 6 ≠ 3.

Do đó phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 2:

Cho hypebol (H): 4x² – y² = 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hypebol có tiêu cự bằng $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ;

B. Hypebol có một tiêu điểm là $F (\sqrt{5}; 0)$ ;

C. Hypebol có trục thực bằng 1;

D. Hypebol có trục ảo bằng 1/2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có 4x² – y² = 1.

Suy ra $\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} - \frac{y^{2}}{1} = 1$

Hay $\frac{x^{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2}} - \frac{y^{2}}{1^{2}} = 1$

Khi đó ta có a = 1/2, b = 1.

• Ta có $b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$

Suy ra $c = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Vậy hypebol (H) có tiêu cự là 2c = $\sqrt{5} \neq \frac{\sqrt{5}}{2}$

Do đó phương án A sai.

• Ta có $c = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Suy ra hai tiêu điểm của (H) là $F_{1} (- \frac{\sqrt{5}}{2}; 0), F_{2} (\frac{\sqrt{5}}{2}; 0)$

Do đó phương án B sai.

• Ta có trục thực là: A₁A₂ = 2a = 2.1/2 = 1.

Do đó phương án C đúng.

• Ta có trục ảo là: 2b = 2.1 = 2 ≠ 1/2.

Do đó phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 3:

Cho parabol (P): y² = 16x. Khẳng định nào sau đây sai?

A. (P) có tiêu điểm F(4; 0);

B. (P) có tọa độ đỉnh O(0; 0);

C. Phương trình đường chuẩn ∆: x = 4;

D. (P) nhận Ox làm trục đối xứng.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

• Ta có (P): y² = 16x nên 2p = 16.

Suy ra p = 8.

Do đó $\frac{p}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Vì vậy (P) có tiêu điểm F(4; 0).

Do đó phương án A đúng.

• Ta có O(0; 0) là đỉnh của parabol (P) và Ox là trục đối xứng của parabol (P).

Do đó phương án B, D đúng.

Đến đây ta có thể chọn đáp án C.

• Phương trình đường chuẩn ∆ có dạng: $x = - \frac{p}{2} = - 4$ .

Do đó phương án C sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 4:

Elip có tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng $\sqrt{2}$ , tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64. Phương trình chính tắc của elip là:

A. $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng $\sqrt{2}$ .

Suy ra $\frac{2 b}{2 c} = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow b = c \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{a^{2} - c^{2}} = c \sqrt{2}$

⇔ a² – c² = 2c²

⇔ a² = 3c².

Lại có tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64.

Ta suy ra (2a)² + (2c)² = 64.

⇔ 4a² + 4c² = 64.

⇔ a² + c² = 16.

⇔ 3c² + c² = 16.

⇔ 4c² = 16.

⇔ c² = 4.

⇔ c = 2 (vì c > 0).

Với c = 2, ta có:

• a² = 3c² = 3.2² = 12.

• b = $c \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$

Suy ra b² = 8.

Vậy phương trình elip cần tìm là: $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1$

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 5:

Hypebol có độ dài trục thực gấp đôi độ dài trục ảo và có tiêu cự bằng . Phương trình chính tắc của hypebol là:

A. $\frac{x^{2}}{48} - \frac{y^{2}}{12} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{48} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có độ dài trục thực gấp đôi độ dài trục ảo

Ta suy ra 2a = 2.2b.

Do đó a = 2b.

Hypebol có tiêu cự bằng $4 \sqrt{15}$ .

Ta suy ra 2c = $4 \sqrt{15}$ .

Do đó $c = 2 \sqrt{15}$ .

$\Leftrightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 2 \sqrt{15}$

⇔ 4b² + b² = 60.

⇔ 5b² = 60.

⇔ b² = 12.

$\Leftrightarrow b = 2 \sqrt{3}$

Suy ra $a^{2} = 48$

Vậy ta có phương trình chính tắc của hypebol là:

$\frac{x^{2}}{48} - \frac{y^{2}}{12} = 1$

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 6:

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường parabol?

A. $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{24} = 1$

B. y² = 2x;

C. $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{49} = 1$

D. x² = 21y.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình parabol có dạng: y² = 2px.

Ta thấy chỉ có phương trình của đáp án B có dạng phương trình parabol trên.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 7:

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{144} = 1$ . Nếu điểm M nằm trên (E) có hoành độ bằng –13 thì độ dài MF₁ và MF₂ lần lượt là:

A. 10 và 6;

B. 8 và 18;

C. $13 \pm \sqrt{5}$

D. $13 \pm \sqrt{10}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình elip (E) có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , với a = 13, b = 12.

Ta có $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{169 - 144} = 5$

Khi đó F₁(–5; 0) và F₂(5; 0).

Với M(x_M; y_M) ta có: $\vec{F_{1} M} = (x_{M} + 5; y_{M}) n ê n F_{1} M = \sqrt{{(x_{M} + 5)}^{2} + y_{M}^{2}} F_{1} M = \sqrt{{(x_{M} + 5)}^{2} + 144. (1 - \frac{x_{M}^{2}}{169})} F_{1} M = \sqrt{169 + 10 x_{M} + \frac{25}{169} x_{M}^{2}} F_{1} M = \sqrt{{(13 + \frac{5}{13} x_{M})}^{2}} F_{1} M = 13 + \frac{5}{13} x_{M}$

(do F₁M > 0).

Tương tự ta có $F_{2} M = 13 - \frac{5}{13} x_{M}$

Mà theo bài x_M = –13 nên ta có:

• MF₁ = $13 + \frac{5}{13} . (- 13) = 8$

• MF₂ = $13 - \frac{5}{13} . (- 13) = 18$

Do đó ta chọn phương án B.

Câu 8:

Cho hypebol (H): $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Tỉ số giữa độ dài trục ảo và độ dài trục thực bằng:

A. 2;

B. 1/2

C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

D. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

(H): $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Ta có a = 6, b = 3.

Suy ra:

⦁ Độ dài trục ảo là: 2.3 = 6;

⦁ Độ dài trục thực là: 2.6 = 12.

Khi đó tỉ số giữa độ dài trục ảo và độ dài trục thực $\frac{2 b}{2 a} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 9:

Cho điểm A(3; 4) thuộc parabol (P). Phương trình chính tắc của parabol (P) là:

A. $y^{2} = \frac{3}{16} x$

B. $y^{2} = \frac{16}{3} x$

C. $y^{2} = \frac{8}{3} x$

D. $y^{2} = \frac{2}{3} x$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của parabol (P) có dạng: y² = 2px.

Ta có A(3; 4) ∈ (P).

Suy ra 4² = 2.p.3

Do đó 16 = 6p

Khi đó ta có p = 8/3 suy ra 2p = 16/3

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P): $y^{2} = \frac{16}{3} x$

Do đó ta chọn phương án B.

Câu 10:

Cho hypebol (H): $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ . Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực bằng:

A. 1;

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{4}$

D. $\sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

(H): $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ nên ta có a = b = 2.

Suy ra $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{4 + 4} = 2 \sqrt{2}$

Khi đó ta có:

⦁ Tiêu cự là: 2c = $2.2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$ ;

⦁ Độ dài trục thực là: 2a = 2.2 = 4.

Khi đó $\frac{2 c}{2 a} = \frac{4 \sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 11:

Cho điểm M(5; 8) nằm trên parabol (P): $y^{2} = \frac{64}{5} x$ . Độ dài FM bằng:

A. 41/10

B. 41/5

C. 51/5

D. 57/5

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $2 p = \frac{64}{5}$

Suy ra $p = \frac{32}{5}$

Do đó $\frac{p}{2} = \frac{16}{5}$

Khi đó ta có tiêu điểm $F (\frac{16}{5}; 0)$

Với $F (\frac{16}{5}; 0)$ và M(5; 8) ta có $\vec{F M} = (\frac{9}{5}; 8)$

Suy ra $F M = \sqrt{{(\frac{9}{5})}^{2} + 8^{2}} = \frac{41}{5}$

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 12:

Cho parabol (P) có đường chuẩn là đường thẳng ∆: x + 5 = 0. Điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm của parabol (P) bằng 6. Tọa độ điểm M là:

A. $M (1; 2 \sqrt{5}), M (1; - 2 \sqrt{5})$

B. $M (1; 2 \sqrt{5})$

C. $M (- 1; - 2 \sqrt{5})$

D. $M (- 1; 2 \sqrt{5}), M (- 1; - 2 \sqrt{5})$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình đường chuẩn ∆: x + 5 = 0

Do đó ta có p/2 = 5

Suy ra p = 10.

Từ đó ta thu được phương trình parabol (P): y² = 20x.

Tiêu điểm F của (P) là F(5; 0).

Giả sử điểm M(x_M; y_M) là điểm thuộc (P).

Khi đó $y_{M}^{2} = 20 x_{M}$

Với F(5; 0) và M(x_M; y_M) ta có $\vec{F M} = (x_{M} - 5; y_{M})$

Þ $F M = \sqrt{{(x_{M} - 5)}^{2} + y_{M}^{2}}$

$F M = \sqrt{x_{M}^{2} - 10 x_{M} + 25 + 20 x_{M}} F M = \sqrt{x_{M}^{2} + 10 x_{M} + 25} F M = \sqrt{{(x_{M} + 5)}^{2}} = x_{M} + 5$

Theo đề, ta có FM = 6.

Û x_M + 5 = 6

Û x_M = 1.

Với x_M = 1, ta có $y_{M}^{2} = 20.1 = 20$

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 13:

Bác An dự định xây một cái ao hình elip ở giữa khu vườn. Biết trục lớn có độ dài bằng 4 m, độ dài trục nhỏ bằng 2 m. Gọi F₁, F₂ là các tiêu điểm của elip. Khi đó độ dài F₁F₂ bằng:

A. $2 \sqrt{3}$

B. $\sqrt{3}$

C. $\sqrt{5}$

D. $2 \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có độ dài trục lớn bằng 4 m. Suy ra 2a = 4.

Khi đó a = 2.

Lại có độ dài trục nhỏ bằng 2m. Suy ra 2b = 2.

Khi đó b = 1.

Ta có c² = a² – b² = 2² – 1² = 3.

Suy ra $c = \sqrt{3}$

Vì vậy F₁F₂ = 2c = $2 \sqrt{3}$

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 14:

Một tòa tháp có mặt cắt hình hypebol có phương trình $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{49} = 1$ . Biết khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp. Tòa tháp có chiều cao 50 m. Bán kính đáy của tháp bằng:

A. 43,28 m;

B. 22,25 m;

C. 28,31 m;

D. 57,91 m.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Một tòa tháp có mặt cắt hình hypebol có phương trình x^2/36 - y^2/49 =1 . Biết khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp. Tòa tháp có chiều cao 50 m. Bán kính đáy của tháp bằng: (ảnh 1)

Gọi r là bán kính đáy của tháp (r > 0).

Do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng nhau.

Chọn điểm M(r; –25) nằm trên hypebol.

Ta suy ra $\frac{r^{2}}{36} - \frac{{(- 25)}^{2}}{49} = 1 \Leftrightarrow \frac{r^{2}}{36} = 1 + \frac{{(- 25)}^{2}}{49} = \frac{674}{49} \Leftrightarrow r^{2} = \frac{674}{49} .36 = \frac{24264}{49} S u y r a r = \frac{6 \sqrt{674}}{7} \approx 22, 25$

Vậy bán kính đáy của tháp bằng khoảng 22,25 m.

Do đó ta chọn phương án B.

Câu 15:

Một anten gương đơn hình parabol có phương trình y² = 20x. Ống thu của anten được đặt tại tiêu điểm của nó. Ta sẽ đặt ống thu tại điểm có tọa độ là:

A. (0; 10);

B. (0 ; 5);

C. (10; 0);

D. (5; 0).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Phương trình parabol có dạng y² = 2px, với p = 10.

Suy ra $\frac{p}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Khi đó tọa độ tiêu điểm F(5; 0).

Vậy ta sẽ đặt ống thu tại điểm có tọa độ (5; 0).

Do đó ta chọn phương án D.