10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Ôn tập Toán 10 Chương 6 có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho $a = \frac{1}{2}$ và $(a + 1) (b + 1) = 2$ ; đặt tan x = a và tan y = b với $x, y \in (0; \frac{π}{2})$ thế thì x + y bằng:

A. $\frac{π}{3}$

B. $\frac{π}{4}$

C. $\frac{π}{6}$

D. $\frac{π}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

$\{\begin{matrix} (a + 1) (b + 1) = 2 \\ a = \frac{1}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} b = \frac{1}{3} \\ a = \frac{1}{2} \end{matrix} \tan (x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x . \tan y} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} . \frac{1}{3}} = 1 \Rightarrow x + y = \frac{π}{4}$

Câu 2:

Nếu $a = 20^{\circ}$ và $b = 25^{\circ}$ thì giá trị của $(1 + \tan a) (1 + \tan b)$ là:

A. $\sqrt{2}$

B. 2

C. $\sqrt{3}$

D. $1 + \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

$(1 + \tan a) (1 + \tan b) = 1 + \tan a + \tan b + \tan a \tan b = 1 + \tan (a + b) (1 - \tan a \tan b) + \tan a \tan b = 1 + \tan (20^{0} + 25^{0}) (1 - \tan 20^{0} . \tan 25^{0}) + \tan 20^{0} . \tan 25^{0} = 1 + \tan 45^{0} (1 - \tan 20^{0} . \tan 45^{0}) + \tan 20^{0} . \tan 25^{0} = 1 + 1 - \tan 20^{0} . \tan 25^{0} + \tan 20^{0} . \tan 25^{0} = 2$

Câu 3:

Nếu $α$ là góc nhọn và $\sin \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{x - 1}{2 x}}$ thì $\tan α$ bằng:

A. $\frac{\sqrt{x - 1}}{x + 1}$

B. $\sqrt{x^{2} - 1}$

C. $\frac{1}{x}$

D. $\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$0 < α < 90^{0} \Leftrightarrow 0 < \frac{α}{2} < 45^{0} \Rightarrow 0 < \sin \frac{α}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow 0 < \sqrt{\frac{x - 1}{2 x}} < \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow x > 0 \sin^{2} \frac{α}{2} + \cos^{2} \frac{α}{2} = 1 \Rightarrow \cos \frac{α}{2} = \sqrt{1 - \sin^{2} \frac{α}{2}}$

vì $0 < \frac{α}{2} < 45^{0}$

$\Leftrightarrow \cos \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{x + 1}{2 x}} \Rightarrow \tan \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \tan α = \frac{2 \tan \frac{α}{2}}{1 - \tan^{2} \frac{α}{2}} = \frac{2 \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}}{1 - \frac{x - 1}{x + 1}} = \sqrt{x^{2} - 1}$

Câu 4:

Với giá trị nào của n thì đẳng thức sau luôn đúng?

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos x}}} = \cos \frac{x}{n}, 0 < x < \frac{π}{2}$

A. 4

B. 2

C. 8

D. 6

Xem đáp án

Đáp án C

Vì $0 < x < \frac{π}{2}$ nên $\cos \frac{x}{n} > 0, \forall n \in N *$

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos x}}} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}}} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \frac{x}{4}} = \cos \frac{x}{8}$

Vậy n = 8

Câu 5:

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c thỏa mãn hệ thức $\frac{1 + \cos B}{1 - \cos B} = \frac{2 a + c}{2 a - c}$ là tam giác

A. Cân tại C

B. Vuông tại B

C. Cân tại A

D. Đều

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp . Ta có:

$\frac{1 + \cos B}{1 - \cos B} = \frac{2 a + c}{2 a - c} \Leftrightarrow \frac{1 + \cos B}{1 - \cos B} = \frac{2.2 R \sin A + 2 R \sin C}{2.2 R \sin A - 2 R \sin C} \Leftrightarrow \frac{1 + \cos B}{1 - \cos B} = \frac{2 \sin A + \sin C}{2 \sin A - \sin C} \Leftrightarrow 2 \sin A + 2 \sin A \cos B - \sin C - \sin C \cos B = 2 \sin A - 2 \sin A \cos B + \sin C - \sin C \cos B \Leftrightarrow 4 \sin A \cos B = 2 \sin C \Leftrightarrow 4. \frac{a}{2 R} . \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = 2. \frac{c}{2 R} \Leftrightarrow a^{2} + c^{2} - b^{2} = c^{2} \Leftrightarrow a = b$

Vậy $Δ A B C$ cân tại C

Câu 6:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $\sin^{4} x + \cos^{7} x$ là:

A. 2

B. $\sqrt{2}$

C. $\frac{1}{2}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Vì $- 1 \leq \cos x \leq 1$ , ta có:

$\sin^{4} x + \cos^{7} x \leq \sin^{4} x + \cos^{4} x = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 x \leq 1$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $\sin^{4} x + \cos^{7} x$ là 1

Câu 7:

Cho biểu thức $A = 2 \sin^{6} x + 2 \cos^{6} x - \sin^{4} x - \cos^{4} x + \cos 2 x$ có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt là: M, m. Khi đó, M + m = ?

A. $\frac{3}{4}$

B. 2

C. $\frac{7}{4}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

$\begin{array}{l} A = 2 \sin^{6} x + 2 \cos^{6} x - \sin^{4} x - \cos^{4} x + \cos 2 x \\ = 2 (\sin^{6} x + \cos^{6} x) - (\sin^{4} x + \cos^{4} x) + \cos 2 x \end{array} = 2 . (\frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cos^{2} 2 x) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos^{2} 2 x) + \cos 2 x = \cos^{2} 2 x + \cos 2 x$

Đặt $\cos 2 x = t, t \in [- 1; 1]$

Khi đó, $A = t^{2} + t, t \in [- 1; 1]$ . Ta có:

$A = t^{2} + t = {(t + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \geq - \frac{1}{4} \Rightarrow \min_{t \in [- 1; 1]} A = - \frac{1}{4}$

Khi và chỉ khi $t = - \frac{1}{2} \Rightarrow m = - \frac{1}{4}$

$A = t^{2} + t = t^{2} - t + 2 t - 2 + 2 = t (t - 1) + 2 (t - 1) + 2 = (t - 1) (t + 2) + 2 \leq 2 (v ì t \in [- 1; 1] \Rightarrow t - 1 \leq 0, t + 2 > 0)$

$\Rightarrow \max_{t \in [- 1; 1]} A = 2$ khi và chỉ khi $t = 1 \Rightarrow M = 2$

Vậy $M + m = 2 + \frac{- 1}{4} = \frac{7}{4}$

Câu 8:

Ta có $\sin^{4} x = \frac{a}{8} - \frac{1}{2} \cos 2 x + \frac{b}{8} \cos 4 x$ với $a, b \in Q$ . Khi đó tổng a + b bằng:

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án D

$\sin^{4} x = {(\frac{1 - \cos 2 x}{2})}^{2} = \frac{1}{4} (1 - 2 \cos 2 x + \cos^{2} 2 x) = \frac{1}{4} (1 - 2 \cos 2 x + \frac{1 + \cos 4 x}{2}) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cos 2 x + \frac{1}{8} \cos 4 x = \frac{a}{8} - \frac{1}{2} \cos 2 x + \frac{b}{8} \cos 4 x$

Vậy a + b = 3 + 1 = 4

Câu 9:

Biểu thức $A = \cos 20^{0} + \cos 40^{0} + \cos 60^{0} + ... + \cos 160^{0} + \cos 180^{0}$ có giá trị bằng:

A. 1

B. -1

C. 2

D. -2

Xem đáp án

Đáp án B

$A = \cos 20^{0} + \cos 40^{0} + \cos 60^{0} + ... + \cos 160^{0} + \cos 180^{0} = (\cos 20^{0} + \cos 160^{0}) + (\cos 40^{0} + \cos 140^{0}) + ... + (\cos 80^{0} + \cos 100^{0}) + \cos 180^{0} = 0 + 0 + \dots + 0 + (- 1) = - 1$

Câu 10:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\sin a + \sqrt{3} \cos a$

A. 2

B. $- 1 - \sqrt{3}$

C. -2

D. 0

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

$\sin a + \sqrt{3} \cos a = 2 (\frac{1}{2} \sin a + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos a) = 2 (\sin a \sin \frac{π}{6} + \cos a \cos \frac{π}{6}) = 2 \cos (a - \frac{π}{6})$

Lại có: $- 2 \leq 2 \cos (a - \frac{π}{6}) \leq 2$ suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là – 2 khi $\cos (a - \frac{π}{6}) = - 1 \Leftrightarrow a = \frac{7 π}{6} + k 2 π, k \in Z$