PT: $\left|x^2-4\left|x\right|-5\right|-m=0\iff \left|x^2-4\left|x\right|-5\right|=m\left(1\right)$

Số nghiệm phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 

$y=\left|x^2-4\left|x\right|-5\right|\left(P\right)$ và đường thẳng $y=m$ (cùng phương Ox)

Xét hàm số $y=x^2-4x-5\left(P_1\right)$ có đồ thị như hình 1.

Xét hàm số $y=x^2-4\left|x\right|-5\left(P_2\right)$ là hàm số chẵn nên có đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

Mà $y=x^2-4\left|x\right|-5=x^2-4x-5$ nếu $x\ge 0$

Suy ra đồ thị hàm số $\left(P_2\right)$ gồm hai phần:

Phần 1: Giữ nguyên đồ thị hàm số $\left(P_1\right)$ phần bên phải Oy.

Phần 2: Lấy đối xứng phần 1 qua trục Oy.

Ta được đồ thị $\left(P_2\right)$ như hình 2.

Xét hàm số $y=\left|x^2-4\left|x\right|-5\right|\left(P\right)$, ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}^2-4\left|x\right|-5(y\ge 0)\\ -\left(x^2-4\left|x\right|-5\right)(y<0)\end{array}\right.$

Suy ra đồ thị hàm số (P) gồm hai phần:

Phần 1: Giữ nguyên đồ thị hàm số $\left(P_2\right)$ phần trên Ox.

Phần 2: Lấy đối xứng đồ thị hàm số $\left(P_2\right)$ phần dưới Ox qua trục Ox.

Ta được đồ thị (P) như hình 3.

Quan sát đồ thị hàm số (P) ta có:

Phương trình |x² – 4 |x| − 5| − m = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt $\iff \left\{\begin{array}{c}m>9\\ m=0\end{array}\right.$

Mà $\left\{\begin{array}{c}m\in Z\\ m\in \left[0;2017\right]\end{array}\right.\Rightarrow m\in \left\{0;10;11;12;...;2017\right\}$

Vậy có 2009 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình $x^2-mx+m^2-3=0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng 2 khi và chỉ khi:

$\left\{\begin{array}{c}\Delta =m^2-4m^2+12\ge 0\\ S=x_1+x_2=m>0\\ P=x_1.x_2>0\\ x_1^2+x_2^2=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}3<m\le 4\\ m>0\\ {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\sqrt{3}<m\le 2\\ m^2-2\left(m^2-3\right)=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\sqrt{3}<m\le 2\\ m^2=2\end{array}\right.\iff m\in \varnothing$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-2m\left(x+\frac{1}{x}\right)+1=0$

${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2m\left(x+\frac{1}{x}\right)-1=0\left(1\right)$

Đặt $x+\frac{1}{x}=t,\left|t\right|\ge 2$ ta được $t^2-2mt-1=0\left(2\right)$

Phương trình (2) luôn có hai nghiệm $t_1<0<t_2$ $\left(do a,c=-1<0a\right)$ ⇒ phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có ít nhất một nghiệm t sao cho $\left|t\right|\ge 2$, hay ít nhất một trong hai số 2; −2 phải nằm giữa hai nghiệm $t_1,t_2$ hay $\left[\begin{array}{c}f\left(2\right)\le 0\\ f(-2)\le 0\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{c}3-4m\le 0\\ 3+4m\le 0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m\ge \frac{3}{4}\\ m\le -\frac{3}{4}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $x^2-4x+6+3m=0\iff 3m=-x^2+4x-6$

Số nghiệm của phương trình $x^2-4x+6+3m=0$ là số giao điểm của đường thẳng $y=3m$ và parabol $y=-x^2+4x-6$

Parabol $y=-x^2+4x-6$ có hoành độ đỉnh $x=2\in \left[-1;3\right]$, hệ số $a=-1<0$ nên đồng biến khi $x<2$ và nghịch biến khi $x>2$.

Bảng biến thiên của hàm số $y=-x^2+4x-6$ trên đoạn $\left[-1;3\right]$:

Từ bảng biến thiên ta thấy, nếu phương trình có nghiệm trên đoạn $\left[-1;3\right]$ thì đường thẳng $y=3m$ phải cắt parabol tại ít nhất 1 điểm có hoành độ thuộc đoạn $\left[-1;3\right]$.

Phương trình có nghiệm thuộc đoạn $\left[-1;3\right]$$\iff -11\le 3m\le -2$$\iff -\frac{11}{3}\le m\le -\frac{2}{3}$

Đáp án cần chọn là: B

$m=\left|x^2-6x-7\right|$ là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị (C): $y=\left|x^2-6x-7\right|$

Vẽ (P): $y=x^2-6x-7$, lấy đối xứng phần phía dưới Ox của (P) lên trên Ox và xóa đi phần phía dưới Ox (vì $y=\left|x^2-6x-7\right|$,$\forall x\in R$), ta được đồ thị (C).

Dựa vào đồ thị: phương trình $m=\left|x^2-6x-7\right|$ có 4 nghiệm phân biệt khi $m\in \left(0;16\right)$.

Đáp án cần chọn là: B

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2=3x-y\left(1\right)\\ y^2=3y-x\left(2\right)\end{array}\right.$

Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được:

$x^2-y^2=4x-4y\iff \left(x-y\right)\left(x+y-4\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}y=x\\ y=4-x\end{array}\right.$

TH1: $\left\{\begin{array}{c}{x}^2=3x-y\\ y=x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{x}^2-2x=0\\ y=x\end{array}\iff \left[\begin{array}{c}x=y=0\\ x=y=2\end{array}\right.\right.$

TH2: $\left\{\begin{array}{c}{x}^2=3x-y\\ y=4-x\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{x}^2-4x+4=0\\ y=4-x\end{array}\right.\right.\iff x=y=2$

Vậy hệ có hai nghiệm

Đáp án cần chọn là: B

Đặt $t=\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}$

Điều kiện $t=\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}\ge \sqrt{x+2+2-x}=2\Rightarrow t\ge 2$

Lại có $\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}\le \sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{x+2+2-x}=2\sqrt{2}\Rightarrow t\le 2\sqrt{2}$

Suy ra $2\le t\le 2\sqrt{2}$

Ta có: $t^2=4+2\sqrt{4-x^2}\Rightarrow 2\sqrt{4-x^2}=t^2-4$

Phương trình trở thành: $t+t^2-4-2m+3=0\iff t^2+t-2m-1=0$

$\iff t^2+t-1=2m\left(*\right)$

Xét hàm số $f\left(x\right)=t^2+t-1$ (parabol có hoành độ đỉnh $x=-\frac{1}{2}\notin \left[2;2\sqrt{2}\right]$) trên $\left[2;2\sqrt{2}\right]$ , có bảng biến thiên

Phương trình (∗) có nghiệm thỏa $2\le t\le 2\sqrt{2}$  khi $5\le 2m\le 7+2\sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{5}{2}\le m\le \frac{7+2\sqrt{2}}{2}$

$\frac{5}{2}\le m\le \frac{7+2\sqrt{2}}{2}\to \left(2,5\le m\le 4,91\right)$

Vậy có 2 giá trị m nguyên dương là $m=3,m=4$

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1+x_2=\frac{13}{4}$

$\iff \left\{\begin{array}{c}a\ne 0\\ \Delta \ge 0\\ -\frac{b}{a}=\frac{13}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ {\left(m^2-3\right)}^3-4m^2\ge 0\\ -\frac{m^2-3}{m}=\frac{13}{4}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ \left(m^2-3-2m\right)\left(m^2-3+2m\right)\ge 0\\ 4m^2+13m-12=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ \left(m+1\right)\left(m-3\right)\left(m-1\right)\left(m+3\right)\ge 0\\ m=\frac{3}{4};m=-4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ m\in \left(-\infty ;-3\right]\cup \left[-1;1\right]\cup \left[3;+\infty \right)\\ m=\frac{3}{4};m=-4\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m=\frac{3}{4}\\ m=-4\end{array}\right.$

Vậy tổng bình phương các giá trị của m là: $\frac{265}{16}$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: $a-b=3\left(a,b\in N; a>b\right)$

Khi viết ngược lại ta có: $10b+a=\frac{4}{5}\left(10a+b\right)-10\iff 35a-46b=50$

Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}a-b=3\\ 35a-46b=50\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=8\\ b=5\end{array}\right.$

Hoặc $\left\{\begin{array}{c}-a+b=3\\ 35a-46b=50\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=-\frac{188}{11}\\ b=-\frac{155}{11}\end{array}\right.\left(loại\right)$

Với $a=8, b=5, a^2+b^2=89$

Đáp án cần chọn là: B

Điều kiện xác định $x\in R$

Đặt $t=\sqrt{x^2+1},t\ge 1$

Phương trình trở thành $t^2-1-4t-m+1=0\iff t^2-4t=m\left(2\right)$

Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^2-4t$ có đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh $x=2\in \left(1;+\infty \right)$ nên ta có bảng biến thiên:

Dựa BBT ta thấy để (2) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 thì $-4<m<-3$

Vậy không có giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Để phương trình $x^2-2mx+m+2=0$ có hai nghiệm dương phân biệt

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ S>0\\ P>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{\left(-m\right)}^2-1.\left(m+2\right)>0\\ 2m>0\\ m+2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{m}^2-m-2>0\\ m>0\\ m>-2\end{array}\iff \right.\left\{\begin{array}{c}m<-1,m>2\\ m>0\\ m>-2\end{array}\right.$

Vậy: m > 2

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}3x^2+7x\ge 0\\ 3x-1\ge 0\end{array}\right.\iff x\ge \frac{1}{3}\left(*\right)$

Với điều kiện trên, phương trình tương đương

Theo yêu cầu đề bài ta chọn nghiệm $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

Vậy $a=3,b=5,c=2\Rightarrow S=a+b+c=10$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}{\left(2x+y\right)}^2-5\left(4x^2-y^2\right)+6\left(4x^2-4xy+y^2\right)=0\left(1\right)\\ 2x+y+\frac{1}{2x-y}=3\end{array}\right.$

Với $x=y$ ta có $\left(2\right)\Rightarrow 3x+\frac{1}{x}=3\iff 3x^2-3x+1=0$: phương trình vô nghiệm.

Với $2x=3y$ ta có $\left(2\right)\Rightarrow 4y+\frac{1}{2y}=3\iff 8y^2-6y+1=0\iff \left[\begin{array}{c}y=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{4}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình đường thẳng d: y = kx − 3

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và $d:-x^2+4x-3=kx-3$

$\iff -x^2+\left(4-k\right)x=0\iff x\left(-x+4-k\right)=0\left(1\right)$

d cắt đồ thị (P) tại 2 điểm phân biệt khi (1) có 2 nghiệm phân biệt $\iff 4-k\ne 0\iff k\ne 4$

Ta có $E\left(x_1;k{x}_1-3\right),F\left(x_2;k{x}_2-3\right)$ với $x_1, x_2$ là nghiệm phương trình (1)

$\Delta OEF$ vuông tại O$\Rightarrow \overrightarrow{OE}.\overrightarrow{OF}=0\iff x_1.x_2+\left(k{x}_1-3\right)\left(k{x}_2-3\right)=0$

$\iff x_1.x_2\left(1+k^2\right)-3k\left(x_1+x_2\right)+9=0\iff 0.\left(1+k^2\right)-3k(4-k)+9=0$

$\iff k^2-4k+3=0\iff \left[\begin{array}{c}k=1\\ k=3\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình đã cho tương đương:

Phương trình (1) trở thành: $2\left|t+4-a\right|=t\left(2\right)$

Phương trình (2) $\iff \left\{\begin{array}{c}t\ge 0\\ \left[\begin{array}{c}t=2a-8\\ t=\frac{2a-8}{3}\end{array}\right.\end{array}\right.$ để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là (2) phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là $2a-8>0\iff a>4\left(*\right)$

Khi đó, thay lại ta có: $\left[\begin{array}{c}{x}^2-5x+a=2a-8\\ 3x^2-15x+3a=2a-8\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}{x}^2-5x+8-a=0\left(3\right)\\ 3x^2-15x+a+8=0\left(4\right)\end{array}\right.$

Điều kiện để (1) có 4 nghiệm phân biệt là mỗi phương trình bậc 2 ở trên có 2 phân biệt và 2 nghiệm của (3) không thỏa mãn (4)

Mỗi phương trình (3), (4) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{c}{\Delta }_1=25-4\left(8-a\right)>0\\ {\Delta }_2={15}^2-4.3\left(a+8\right)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a>\frac{7}{4}\\ a<\frac{43}{4}\end{array}\iff \frac{7}{4}<a<\frac{43}{4}\right.$

Nếu x là nghiệm của (3) thì không thỏa mãn (4)

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}^2-5x+8-a=0\\ 3x^2-15x+a+8\ne 0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}^2-5x+8-a=0\\ 3\left(x^2-5x+8-a\right)-16+4a\ne 0\end{array}\right.$

$\Rightarrow 4a-16\ne 0\iff a\ne 4$

So với điều kiện (*), suy ra $4<a<\frac{43}{4}$

Đáp án cần chọn là: C