23 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 (có đáp án): Phương trình chứa căn

Câu 1:

Phương trình: $\sqrt{x - 1} = x - 3$ có tập nghiệm là:

A. {5}

B. {2}

C. {2; 5}

D. ∅

Xem đáp án

Điều kiện: $x - 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3$

Khi đó:

$\sqrt{x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow x - 1 = {(x - 3)}^{2} \Leftrightarrow x^{2} - 7 x + 10 = 0$

$[\begin{matrix} x = 2 (k t m) \\ x = 5 (k t m) \end{matrix}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 5$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

Tập nghiệm S của phương trình $\sqrt{2 x - 3} = x - 3$ là:

A. S = {6; 2}.

B. S = {2}.

C. S = {6}.

D. S = ∅.

Xem đáp án

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq 3 \\ 2 x - 3 = x^{2} - 6 x + 9 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq 3 \\ [\begin{matrix} x = 2 \\ x = 6 \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow x = 6$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3:

Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} = \sqrt{2 - x}$ là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Điều kiện: $2 - x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 2$

Khi đó: $\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} = \sqrt{2 - x} \Leftrightarrow x^{2} + 2 x + 4 = 2 - x$

$\Leftrightarrow x^{2} + 3 x = 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 2 (t m) \\ x = - 1 (t m) \end{matrix}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x = - 1$ và $x = - 2$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 4:

Tìm số nghiệm của phương trình sau $\sqrt{2 x - 3} = \sqrt{4 x^{2} - 15}$

A. 1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm

Xem đáp án

ĐKXĐ: $\{\begin{matrix} 2 x - 3 \geq 0 \\ 4 x^{2} - 15 \geq 0 \end{matrix} (*)$

Với điều kiện (*) phương trình tương đương với

${(\sqrt{2 x - 3})}^{2} = {(\sqrt{4 x^{2} - 15})}^{2} \Leftrightarrow 2 x - 3 = 4 x^{2} - 15$

$\Leftrightarrow 4 x^{2} - 2 x - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 2 \\ x = - \frac{3}{2} \end{matrix}$

Thay vào điều kiện (*) ta thấy chỉ có $x = 2$ thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 5:

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $\sqrt{4 x^{2} + x + 6} = 4 x - 2 + 7 \sqrt{x + 1}$ là:

A. 2

B. $- \frac{11}{2}$

C. $\frac{11}{2}$

D. $\frac{5}{2}$

Xem đáp án

Điều kiện: $x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$

Ta có:

$\sqrt{4 x^{2} + x + 6} = 4 x - 2 + 7 \sqrt{x + 1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{4 x^{2} - 4 x + 1 + 5 x + 5} = 2 (2 x - 1) + 7 \sqrt{x + 1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(2 x - 1)}^{2} + 5 (x + 1)} = 2 (2 x - 1) + 7 \sqrt{x + 1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{x + 1} + 5} = 2. \frac{2 x - 1}{\sqrt{x + 1}} + 7$

Đặt $t = \frac{2 x - 1}{\sqrt{x + 1}}$ , phương trình trở thành: $\sqrt{t^{2} + 5} = 2 t + 7$

Điều kiện $2 t + 7 \geq 0 \Leftrightarrow t \geq - \frac{7}{2}$

Phương trình:

$\Leftrightarrow t^{2} + 5 = {(2 t + 7)}^{2} \Leftrightarrow t^{2} + 5 = 4 t^{2} + 28 t + 49$

$\Leftrightarrow 3 t^{2} + 28 t + 44 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = - 2 (t m) \\ t = - \frac{22}{3} (k t m) \end{matrix}$

Với $t = - 2 \Leftrightarrow - 2 = \frac{2 x - 1}{\sqrt{x + 1}} \Leftrightarrow \sqrt{x + 1} = - x + \frac{1}{2} (*)$

Điều kiện $- x + \frac{1}{2} \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{1}{2}$

Khi đó $(*) \Leftrightarrow x + 1 = x^{2} - x + \frac{1}{4} \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - \frac{3}{4} \Leftrightarrow 4 x^{2} - 8 x - 3 = 0 (1)$

Giả sử $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình (1)

Theo Vi-et, ta có:

$\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 \\ x_{1} . x_{2} = - \frac{3}{4} \end{matrix} \Rightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} . x_{2} = 4 + \frac{3}{2} = \frac{11}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6:

Số nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x + 2} + \sqrt[3]{x + 3} = 0$ là:

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x + 2} + \sqrt[3]{x + 3} = 0 \Leftrightarrow (\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x + 2}) = - \sqrt[3]{x + 3} \\ \Leftrightarrow {(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x + 2})}^{3} = {(- \sqrt[3]{x + 3})}^{3} \\ \Leftrightarrow x + 1 + x + 2 + 3 \sqrt[3]{(x + 1) (x + 2)} [\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x + 2}] = - x - 3 \end{array}$

$\Leftrightarrow 3 \sqrt[3]{(x + 1) (x + 2)} . (- \sqrt[3]{x + 3} - 3 x - 6$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{(x + 1) (x + 2) (x + 3)} = x + 2$

$\Leftrightarrow (x + 1) (x + 2) (x + 3) = {(x + 2)}^{3}$

$\Leftrightarrow (x + 2) (x^{2} + 4 x + 3 - x^{2} - 4 x - 4) = 0$

$\Leftrightarrow x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

Thay $x = - 2$ lại phương trình ta thấy thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = - 2$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7:

Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{x - 2} - \frac{x + 5}{\sqrt{7 - x}} = 0$ là:

A. {2}

B. ∅

C. {7}

D. {2; 7}

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{matrix} x - 2 \geq 0 \\ 7 - x > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq 2 \\ x < 7 \end{matrix} \Leftrightarrow 2 \leq x < 7$

Khi đó $x + 5 > 0$ nên phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{(x - 2) (7 - x)} = x + 5$

$\Leftrightarrow - x^{2} + 9 x - 14 = x^{2} + 10 x + 25$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} + x + 39 = 0$ , có $Δ = - 311 < 0$ nên phương trình vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: B

Câu 8:

Tích các nghiệm của phương trình $\sqrt{x + 2} + \sqrt{5 - 2 x} = \sqrt{2 x} + \sqrt{7 - 3 x}$ bằng:

A. $\frac{13}{4}$

B. $\frac{5}{2}$

C. 1

D. $- \frac{5}{2}$

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{matrix} x + 2 \geq 0 \\ 5 - 2 x \geq 0 \\ 2 x \geq 0 \\ 7 - 3 x \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq - 2 \\ x \leq \frac{5}{2} \\ x \geq 0 \\ x \leq \frac{7}{3} \end{matrix} \Leftrightarrow 0 \leq x \leq \frac{7}{3}$

Phương trình $\Leftrightarrow {(\sqrt{x + 2} + \sqrt{5 - 2 x})}^{2} = {(\sqrt{2 x} + \sqrt{7 - 3 x})}^{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 2 + 5 - 2 x + 2 \sqrt{(x + 2) (5 - 2 x)} = 2 x + 7 - 3 x + 2 \sqrt{2 x (7 - 3 x)} \\ \Leftrightarrow 2 \sqrt{(x + 2) (5 - 2 x)} = 2 \sqrt{2 x (7 - 3 x)} \\ \Leftrightarrow (x + 2) (5 - 2 x) = 2 x (7 - 3 x) \\ \Leftrightarrow - 2 x^{2} + x + 10 = 14 x - 6 x^{2} \\ \Leftrightarrow - 4 x^{2} + 13 x - 10 = 0 \end{array}$

Do đó tích các nghiệm của phương trình là $\frac{- 10}{- 4} = \frac{5}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 9:

Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{x + 5 - 4 \sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 2 - 2 \sqrt{x + 1}} = 1$ là:

A. $\{3\}$

B. $[0; 3]$

C. $(0; 3)$

D. $\{0; 3\}$

Xem đáp án

Điều kiện: $x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 1$

Ta có:

Phương trình:

+ Trường hợp 1: Nếu $\sqrt{x + 1} \geq 2 \Leftrightarrow x + 1 \geq 4 \Leftrightarrow x \geq 3$ thì:

+ Trường hợp 2: Nếu $\sqrt{x + 1} \leq 1 \Leftrightarrow x + 1 \leq 1 \Leftrightarrow x \leq 0$ thì:

+ Trường hợp 3: Nếu $1 < \sqrt{x + 1} < 2 \Leftrightarrow 1 < x + 1 < 4 \Leftrightarrow 0 < x < 3$ thì:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $[0; 3]$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 10:

Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1} = 1 - x$ là:

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Điều kiện: $1 - x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 1$

Ta có:

Vậy phương trình có 3 nghiệm

Đáp án cần chọn là: B

Câu 11:

Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{x + 3} - \sqrt{6 - x} = 3 + \sqrt{(x + 3) (6 - x)}$ là:

A. $\{- 3; 6\}$

B. $\{3\}$

C. $\{6\}$

D. $\emptyset$

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{matrix} x + 3 \geq 0 \\ 6 - x \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq - 3 \\ x \leq 6 \end{matrix} \Leftrightarrow - 3 \leq x \leq 6$

Đặt: $\sqrt{x + 3} - \sqrt{6 - x} = t$

$\Leftrightarrow {(\sqrt{x + 3} - \sqrt{6 - x})}^{2} = t^{2} \Leftrightarrow x + 3 + 6 - x - 2 \sqrt{(x + 3) (6 - x)} = t^{2}$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{(x + 3) (6 - x)} = 9 - t^{2} \Leftrightarrow \sqrt{(x + 3) (6 - x)} = \frac{9 - t^{2}}{2} (- 3 \leq t \leq 3)$

Khi đó, phương trình trở thành:

$t = 3 + \frac{9 - t^{2}}{2} \Leftrightarrow t^{2} + 2 t - 15 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 3 (t m) \\ t = - 5 (k t m \end{matrix}$

Với t=3 $\Rightarrow \sqrt{x + 3} - \sqrt{6 - x} = 3 \Leftrightarrow \sqrt{x + 3} = 3 + \sqrt{6 - x}$

$\Leftrightarrow x + 3 = 9 + 6 \sqrt{6 - x} + 6 - x \Leftrightarrow 2 x - 12 = 6 \sqrt{6 - x}$

$\Leftrightarrow x - 6 = 3 \sqrt{6 - x} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x - 6 \geq 0 \\ x^{2} - 12 x + 36 = 9 (6 - x) \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq 6 \\ x^{2} - 3 x - 18 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq 6 \\ [\begin{matrix} x = - 3 (l) \\ x = 6 (t m) \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow x = 6$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{6\}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 12:

Số nghiệm của phương trình $x^{2} - 6 x + 9 = 4 \sqrt{x^{2} - 6 x + 6}$ là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Điều kiện: $x^{2} - 6 x + 6 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x \leq 3 - \sqrt{3} \\ x \geq 3 + \sqrt{3} \end{matrix}$

Đặt: $\sqrt{x^{2} - 6 x + 6} = t (t \geq 0)$

Khi đó, phương trình trở thành: $\Leftrightarrow t^{2} + 3 = 4 t \Leftrightarrow t^{2} - 4 t + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 1 (t m) \\ t = 3 (t m) \end{matrix}$

Vậy phương trình có 4 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 13:

Số nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{x + 24} + \sqrt{12 - x} = 6$ là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Điều kiện: $12 - x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 12$

Đặt $\sqrt[3]{x + 24} = u; \sqrt{12 - x} = v$

⇒ Hệ phương trình: $\{\begin{matrix} u + v = 6 (1) \\ u^{3} + v^{2} = 36 (2) \end{matrix}$

Từ (1) ⇒ v = 6 – u. Thay vào (2) ta được:

Vậy phương trình có 3 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 14:

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $\frac{2}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{3 - x}} = 1 + \sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$

A. 4

B. 8

C. 10

D. 9

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{matrix} x + 1 \geq 0 \\ 3 - x \geq 0 \\ \sqrt{x + 1} + \sqrt{3 - x} \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq - 1 \\ x < 3 \end{matrix} \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq 3$

Đặt: $\sqrt{x + 1} + \sqrt{3 - x} = t (t > 0)$

Khi đó, phương trình trở thành: $\frac{2}{t} = 1 + \frac{t^{2} - 4}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{t} = \frac{t^{2} - 2}{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow t^{3} - 2 t - 4 = 0 \\ \Leftrightarrow (t - 2) (t^{2} + 2 t + 2) = 0 \Leftrightarrow t = 2 \end{array}$

+ Với t = 2

$\Leftrightarrow \sqrt{(x + 1) (3 - x)} = 0 \Leftrightarrow (x + 1) (3 - x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 (t m) \\ x = 3 (t m) \end{matrix}$

Tổng bình phương các nghiệm là: 10

Đáp án cần chọn là: C

Câu 15:

Tổng hai nghiệm của phương trình $5 \sqrt{x} + \frac{5}{2 \sqrt{x}} = 2 x + \frac{1}{2 x} + 4$ là:

A. 4

B. 3

C. $\frac{1}{4}$

D. -3

Xem đáp án

Điều kiện: x > 0

Ta có: $5 \sqrt{x} + \frac{5}{2 \sqrt{x}} = 2 x + \frac{1}{2 x} + 4$ $5 (\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) = 2 (x + \frac{1}{4 x}) + 4$

Đặt $\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} = t (t > 0) \Leftrightarrow t^{2} = x + \frac{1}{4 x} + 1 \Leftrightarrow x + \frac{1}{4 x} = t^{2} - 1$

Khi đó phương trình trở thành:

$5 t = 2 (t^{2} - 1) + 4 \Leftrightarrow 2 t^{2} - 5 t + 2 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 2 (t m) \\ t = \frac{1}{2} (t m) \end{matrix}$

+ Với $t = \frac{1}{2} \Rightarrow x + \frac{1}{4 x} = - \frac{3}{4} \Leftrightarrow 4 x^{2} + 3 x + 1 = 0$ ( vô nghiệm)

+ Với $t = 2 \Rightarrow x + \frac{1}{4 x} = 3 \Leftrightarrow 4 x^{2} - 12 x + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt

Vậy tổng 2 nghiệm của phương trình là: 3

Đáp án cần chọn là: B

Câu 16:

Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{3 x^{2} + 6 x + 16} + \sqrt{x^{2} + 2 x} = 2 \sqrt{x^{2} + 2 x + 4}$ là:

A. $\{0; - 2\}$

B. $\{0\}$

C. $\{- 2\}$

D. $\emptyset$

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{matrix} 3 x^{2} + 6 x + 16 \geq 0 \\ x^{2} + 2 x \geq 0 \\ x^{2} + 2 x + 4 \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x \leq - 2 \\ x \geq 0 \end{matrix}$

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 2 x} (t \geq 0) \Leftrightarrow t^{2} = x^{2} + 2 x$

Phương trình trở thành: $\sqrt{3 t^{2} + 16} + t = 2 \sqrt{t^{2} + 4}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3 t^{2} + 16 + t^{2} + 2 t \sqrt{3 t^{2} + 16} = 4 t^{2} + 16 \\ \Leftrightarrow 2 t \sqrt{3 t^{2} + 16} = 0 \\ \Leftrightarrow t = 0 \end{array}$

Với $t = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \end{matrix}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \{0; - 2\}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 17:

Tổng các nghiệm của phương trình $4 x^{2} - 12 x - 5 \sqrt{4 x^{2} - 12 x + 11} + 15 = 0$ bằng:

A. $\frac{5}{4}$

B. 3

C. -3

D. $- \frac{5}{4}$

Xem đáp án

Vì: $4 x^{2} - 12 x + 11 = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2} + 2 > 0, \forall x$ nên phương trình xác định với mọi x

Đặt $\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 11} = t (t \geq \sqrt{2)}$

$\Leftrightarrow 4 x^{2} - 12 x + 1 = t^{2} \Leftrightarrow 4 x^{2} - 12 x + 15 = t^{2} + 4$

Khi đó, phương trình trở thành: $t^{2} - 5 t + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 1 (k t m) \\ t = 4 (k t m) \end{matrix}$

Với $t = 4 \Leftrightarrow 4 x^{2} - 12 x + 11 = 16 \Leftrightarrow 4 x^{2} - 12 x - 5 = 0$

Tổng 2 nghiệm của phương trình là: 3

Đáp án cần chọn là: B

Câu 18:

Tập nghiệm của phương trình $x^{2} + 3 x + 1 = (x + 3) \sqrt{x^{2} + 1}$ là:

A. $\{- 2 \sqrt{2}\}$

B. $\emptyset$

C. $\{2 \sqrt{2}\}$

D. $\{\pm 2 \sqrt{2}\}$

Xem đáp án

Ta có: $x^{2} + 3 x + 1 = (x + 3) \sqrt{x^{2} + 1}$

$\Leftrightarrow (x^{2} + 1) + 3 (x + 3) - 9 = (x + 3) \sqrt{x^{2} + 1}$

Đặt $\sqrt{x^{2} + 1} = u (u \geq 0); x + 3 = v$

Phương trình trở thành:

$\begin{array}{l} u^{2} + 3 v - 9 = u v \Leftrightarrow u^{2} + 3 v - 9 - u v = 0 \Leftrightarrow (u^{2} - 9) - v (u - 3) = 0 \\ \Leftrightarrow (u - 3) (u + 3 - v) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} u = 3 \\ u + 3 - v = 0 \end{matrix} \end{array}$

Vạy tập nghiệm của phương trình là: $S = \{\pm 2 \sqrt{2}\}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 19:

Số nghiệm của phương trình $\sqrt{2 x - 1} + x^{2} - 3 x + 1 = 0$ là:

A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Điều kiện: $2 x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{2}$

Đặt $t = \sqrt{2 x - 1} (t \geq 0) \Rightarrow x = \frac{t^{2} + 1}{2} (*) .$ Thay (*) vào phương trình, ta được:

$t + {(\frac{t^{2} + 1}{2})}^{2} - 3 (\frac{t^{2} + 1}{2}) + 1 = 0 \Leftrightarrow t^{4} - 4 t^{2} + 4 t - 1 = 0$

$\Leftrightarrow {(t - 1)}^{2} (t^{2} + 2 t - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 1 (t m) \\ t = \sqrt{2} - 1 (t m) \\ t = - \sqrt{2} - 1 (k t m) \end{matrix}$

+ Với $t = 1 \Rightarrow 1 = \sqrt{2 x - 1} \Leftrightarrow x = 1$

+ Với $t = \sqrt{2} - 1 \Rightarrow \sqrt{2} - 1 = \sqrt{2 x - 1} \Leftrightarrow x = 2 - \sqrt{2}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm

Đáp án cần chọn là: A

Câu 20:

Cho phương trình $2 x^{2} + 3 x - 14 = 2 \sqrt[3]{2 x^{2} + 3 x - 10}$ . Giả sử $x_{1}, x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình. Tính giá trị biểu thức $A = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 4 x_{1} x_{2}}$

A. 2

B. $\frac{225}{4}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{15}{2}$

Xem đáp án

Khi đó phương trình trở thành:

Giả sử $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình (*)

Theo Vi – et, ta có $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{3}{2} \\ x_{1} . x_{2} = - 9 \end{matrix}$

$\Rightarrow A = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 4 x_{1} x_{2}} = \sqrt{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 6 x_{1} . x_{2}}$ $= \sqrt{\frac{9}{4} + 54} = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 21:

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $\sqrt{4 x^{2} + x + 6} = 4 x - 2 + 7 \sqrt{x + 1}$ là:

A. 2

B. $- \frac{11}{2}$

C. $\frac{11}{2}$

D. $\frac{5}{2}$

Xem đáp án

Điều kiện: $x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 1$

Ta có: $\sqrt{4 x^{2} + x + 6} = 4 x - 2 + 7 \sqrt{x + 1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{4 x^{2} - 4 x + 1 + 5 x + 5} = 2 (2 x - 1) + 7 \sqrt{x + 1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(2 x - 1)}^{2} + 5 (x + 1)} = 2 (2 x - 1) + 7 \sqrt{x + 1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{x + 1} + 5} = 2. \frac{2 x - 1}{\sqrt{x + 1}} + 7$

Đặt $t = \frac{2 x - 1}{\sqrt{x + 1}}$ , phương trình trở thành: $\sqrt{t^{2} + 5} = 2 t + 7$

Điều kiện $2 t + 7 \geq 0 \Leftrightarrow t \geq - \frac{7}{2}$

Phương trình:

$\Leftrightarrow t^{2} + 5 = {(2 t + 7)}^{2} \Leftrightarrow t^{2} + 5 = 4 t^{2} + 28 t + 49$

$\Leftrightarrow 3 t^{2} + 28 t + 44 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = - 2 (t m) \\ t = - \frac{22}{3} (k t m) \end{matrix}$

+ Với $t = - 2 \Leftrightarrow - 2 = \frac{2 x - 1}{\sqrt{x + 1}} \Leftrightarrow \sqrt{x + 1} = - x + \frac{1}{2} (*)$

Điều kiện $- x + \frac{1}{2} \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{1}{2}$

Khi đó $(*) \Leftrightarrow x + 1 = x^{2} - x + \frac{1}{4} \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - \frac{3}{4} \Leftrightarrow 4 x^{2} - 8 x - 3 = 0$

Giả sử $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình (1)

Theo Vi-et, ta có: $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 \\ x_{1} . x_{2} = - \frac{3}{4} \end{matrix}$

$\Rightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} . x_{2} = 4 + \frac{3}{2} = \frac{11}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 22:

Số nghiệm của phương trình $3 \sqrt{x + 2} - 6 \sqrt{2 - x} + 4 \sqrt{4 - x^{2}} = 10 - 3 x$

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{matrix} x + 2 \geq 0 \\ 2 - x \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq - 2 \\ x \leq 2 \end{matrix} \Leftrightarrow - 2 \leq x \leq 2$

Đặt: $t = 3 \sqrt{x + 2} - 6 \sqrt{2 - x}$

+ Với $t = 0 \Rightarrow 3 \sqrt{x + 2} - 6 \sqrt{2 - x} = 0$

$\Leftrightarrow 3 \sqrt{x + 2} = 6 \sqrt{2 - x} \Leftrightarrow x + 2 = 8 - 4 x \Leftrightarrow x = \frac{6}{5}$

+ Với $t = 9$

$\Rightarrow 3 \sqrt{x + 2} - 6 \sqrt{2 - x} = 9 \Leftrightarrow \sqrt{x + 2} = 3 + 2 \sqrt{2 - x}$

$\Leftrightarrow x + 2 = 0 + 8 - 4 x + 12 \sqrt{2 - x} \Leftrightarrow 5 x - 15 = 12 \sqrt{2 - x}$

Điều kiện: $5 x - 15 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3$ (không thỏa mãn $- 2 \leq x \leq 2$ )

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất $x = \frac{6}{5}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 23:

Gọi S là tập nghiệm của phương trình $\sqrt{5 x^{2} + 4 x} - \sqrt{x^{2} - 3 x - 18} = 5 \sqrt{x}$ . Số phần tử của S là:

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Xem đáp án

$\sqrt{5 x^{2} + 4 x} - \sqrt{x^{2} - 3 x - 18} = 5 \sqrt{x} (1)$

ĐK: $\{\begin{matrix} 5 x^{2} + 4 x \geq 0 \\ x^{2} - 3 x - 18 \geq 0 \\ x \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq 0, x \leq - \frac{4}{5} \\ x \geq 6, x \leq - 3 \\ x \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow x \geq 6$

Khi đó $(1) \Leftrightarrow \sqrt{5 x^{2} + 4 x} = 5 \sqrt{x} + \sqrt{x^{2} - 3 x - 18}$

Dễ thấy x = 6 không là nghiệm phương trình nên với x > 6 ta chia cả hai vế cho $x^{2} - 6 x > 0$ ta được:

$2 + 3. \frac{x + 3}{x^{2} - 6 x} = 5. \frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x^{2} - 6 x}} (2)$

Đặt $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x^{2} - 6 x}} = t > 0$ thì (2) trở thành $3 t^{2} - 5 t + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 1 (T M) \\ t = \frac{2}{3} (T M) \end{matrix}$

+ Nếu $t = 1$ thì $\sqrt{x + 3} = \sqrt{x^{2} - 6 x}$

$\Leftrightarrow x + 3 = x^{2} - 6 x \Leftrightarrow x^{2} - 7 x - 3 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{7 + \sqrt{61}}{2} (T M) \\ x = \frac{7 - \sqrt{61}}{2} (L) \end{matrix}$

+ Nếu $t = \frac{2}{3}$ thì $\sqrt{x + 3} = \frac{2}{3} \sqrt{x^{2} - 6 x} \Leftrightarrow x + 3 = \frac{4}{9} (x^{2} - 6 x)$

$\Leftrightarrow 4 x^{2} - 33 x - 27 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 9 (T M) \\ x = - \frac{3}{4} (L) \end{matrix}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $s = \{\frac{7 + \sqrt{61}}{2}; 9\}$ hay S có 2 phần tử.

Đáp án cần chọn là: D