10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước có đáp án

Câu 1:

Điểm I thỏa mãn $\vec{I A} + 2 \vec{I B} = \vec{0}$ là:

A. I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ B về A với

I A = \frac{2}{3} A B

;

B. I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ A về B với

I A = \frac{2}{3} A B

;

C. I nằm trên nửa đường thẳng song song với AB theo hướng từ B về A với

I A = \frac{2}{3} A B

;

D. I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ B về A với

I A = \frac{1}{3} A B

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\vec{I A} + 2 \vec{I B} = \vec{I A} + 2 (\vec{I A} + \vec{A B}) = 3 \vec{I A} + 2 \vec{A B}$ .

Mà $\vec{I A} + 2 \vec{I B} = \vec{0}$

Do đó: $3 \vec{I A} + 2 \vec{A B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{I A} = - \frac{2}{3} \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{I A} = \frac{2}{3} \vec{B A}$

Vậy I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ B về A với $I A = \frac{2}{3} A B$ .

Câu 2:

Điểm K thỏa mãn: $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{C B}$ là:

A. K là trung điểm của BC;

B. K là trọng tâm của tam giác ABC;

C. K là trực tâm của tam giác ABC;

D. K là trung điểm của AB.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{C B}$

$\Leftrightarrow \vec{K A} + 2 \vec{K B} - \vec{C B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{K A} + \vec{K B} + (\vec{K B} + \vec{B C}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{K A} + \vec{K B} + \vec{K C} = \vec{0}$

Vậy K là trọng tâm của tam giác ABC.

Câu 3:

Cho tam giác ABC. Điểm P thỏa mãn $\vec{C P} = \vec{K A} + 2 \vec{K B} - 3 \vec{K C}$ với K tùy ý là điểm thỏa mãn:

A. $\vec{C P} = \vec{C A} + 2 \vec{C B}$

B. $\vec{C P} = \vec{C A} - 2 \vec{C B}$

C. $\vec{C P} = 2 \vec{C A} + 2 \vec{C B}$

D. $\vec{C P} = 2 \vec{C A} - 2 \vec{C B}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$\vec{C P} = \vec{K A} + 2 \vec{K B} - 3 \vec{K C}$

$\Leftrightarrow \vec{C P} = (\vec{K C} + \vec{C A}) + 2 (\vec{K C} + \vec{C B}) - 3 \vec{K C}$ (quy tắc ba điểm)

$\Leftrightarrow \vec{C P} = \vec{C A} + 2 \vec{C B}$

Vậy tập hợp điểm P thỏa mãn $\vec{C P} = \vec{C A} + 2 \vec{C B}$ .

Câu 4:

Cho tứ giác ABCD, I là trung điểm BD. Tìm điểm O thỏa mãn $\vec{O B} + 4 \vec{O C} = 2 \vec{O D}$

A. O là đỉnh của hình bình hành IBON với

\vec{I N} = \frac{5}{3} \vec{I C}

;

B. O là đỉnh của hình bình hành IBON với

\vec{I N} = \frac{4}{3} \vec{I C}

;

C. O là đỉnh của hình bình hành IBON với

\vec{I N} = \vec{I C}

;

D. O là đỉnh của hình bình hành IBON với

\vec{I N} = \frac{2}{3} \vec{I C}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$\vec{O B} + 4 \vec{O C} = 2 \vec{O D}$

$\Leftrightarrow \vec{O B} + 4 (\vec{O B} + \vec{B C}) = 2 (\vec{O B} + \vec{B D})$ (quy tắc ba điểm)

$\Leftrightarrow 3 \vec{O B} = 2 \vec{B D} - 4 \vec{B C}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{O B} = 2 (\vec{B D} - \vec{B C}) - 2 \vec{B C}$ (quy tắc trừ hai vectơ)

$\Leftrightarrow 3 \vec{O B} = 2 \vec{B D} - 4 \vec{B C}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{O B} = 2 \vec{B D} + 4 \vec{C B}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{O B} = 2 (\vec{C B} + \vec{B D}) + 2 \vec{C B}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{O B} = 2 \vec{C D} + 2 \vec{C B}$ (quy tắc ba điểm)

$\Leftrightarrow 3 \vec{O B} = 4 \vec{C I}$ (do I là trung điểm của BD nên $\vec{C D} + \vec{C B} = 2 \vec{C I}$ )

$\Leftrightarrow \vec{O B} = \frac{4}{3} \vec{C I}$

Cho tứ giác ABCD, I là trung điểm BD. Tìm điểm O thỏa mãn vecto OB+ 4 vecto OC= 2 vecto OD (ảnh 1)

Vậy O là đỉnh của hình bình hành IBON với $\vec{I N} = \frac{4}{3} \vec{I C}$ .

Câu 5:

Cho tứ giác ABCD và điểm O bất kì sao cho $\vec{O B} + 4 \vec{O C} - 2 \vec{O D} = \vec{0}$ . Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức $|\vec{M B} + 4 \vec{M C} - 2 \vec{M D}| = |3 \vec{M A}|$ .

A. M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA;

B. M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng DA;

C. M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng CA;

D. M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$|\vec{M B} + 4 \vec{M C} - 2 \vec{M D}| = |3 \vec{M A}|$

$\Leftrightarrow |(\vec{M O} + \vec{O B}) + 4 (\vec{M O} + \vec{O C}) - 2 (\vec{M O} + \vec{O D})| = |3 \vec{M A}|$ (quy tắc ba điểm)

$\Leftrightarrow |3 \vec{M O} + (\vec{O B} + 4 \vec{O C} - 2 \vec{O D})| = |3 \vec{M A}|$

$\Leftrightarrow |3 \vec{M O}| = |3 \vec{M A}|$ (do $\vec{O B} + 4 \vec{O C} - 2 \vec{O D} = \vec{0}$ )

$\Leftrightarrow |\vec{M O}| = |\vec{M A}|$

⇔ MO = MA.

Vậy M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA.

Câu 6:

Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết $2 \vec{M A} - 3 \vec{M B} = \vec{0}$ .

A. M nằm trên tia AB và AM = 4AB;

B. M nằm trên tia AB và AM = AB;

C. M nằm trên tia AB và AM = 3AB;

D. M nằm trên tia AB và AM = 2AB.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có:

$2 \vec{M A} - 3 \vec{M B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{M A} - 3 (\vec{M A} + \vec{A B}) = \vec{0}$ (quy tắc ba điểm)

$\Leftrightarrow - \vec{M A} - 3 \vec{A B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{A M} = 3 \vec{A B}$

Vậy M nằm trên tia AB và AM = 3AB.

Câu 7:

Cho tứ giác ABCD. Gọi I là trung điểm của BC. Xác định điểm M sao cho: $2 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ .

A. M là trung điểm AB;

B. M là trung điểm AI;

C. M là trung điểm BC;

D. M là trung điểm CI.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B.

Vì I là trung điểm của BC nên $\vec{M B} + \vec{M C} = 2 \vec{M I}$ .

Ta có:

$2 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{M A} + 2 \vec{M I} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} + \vec{M I} = \vec{0}$ .

Vậy M là trung điểm của AI.

Câu 8:

Cho tứ giác ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Xác định điểm P sao cho: $\vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} = 3 \vec{A P}$ .

A. P là trung điểm của AG;

B. P là trung điểm của AC;

C. P là trung điểm của AD;

D. P là trung điểm của AB.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên với điểm P thì $\vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} = 3 \vec{P G}$ .

Ta có:

$\vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} = 3 \vec{A P}$

$\Leftrightarrow \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} - 3 \vec{A P} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{P A} + (\vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{P A} + 3 \vec{P G} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{P A} + \vec{P G} = \vec{0}$ .

Vậy P là trung điểm của AG.

Câu 9:

Cho tứ giác ABCD. Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD. Xác định điểm N sao cho: $\vec{N A} + \vec{N B} + \vec{N C} + \vec{N D} = \vec{0}$ .

A. N là trung điểm của CD;

B. N là trung điểm của AB;

C. N là trung điểm của HD;

D. N là trung điểm của KH.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Vì K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD nên $\vec{N A} + \vec{N B} = 2 \vec{N K}; \vec{N C} + \vec{N D} = 2 \vec{N H}$ .

Do đó ta có:

$\vec{N A} + \vec{N B} + \vec{N C} + \vec{N D} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{N K} + 2 \vec{N H} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{N K} + \vec{N H} = \vec{0}$

Vậy N là trung điểm của KH.

Câu 10:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M bất kì nằm trong tam giác có hình chiếu xuống BC, CA, AB theo thứ tự là D, E, F. Tìm tập hợp điểm M biết $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F}$ cùng phương với $\vec{B C}$ .

A. M thuộc đoạn PQ với P và Q lần lượt là trung điểm của AB và AC;

B. M thuộc đoạn FQ với Q là trung điểm của AC;

C. M thuộc đoạn AD;

D. M thuộc đoạn ME.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M bất kì nằm trong tam giác có hình chiếu (ảnh 1)

Xét tứ giác AEMF có: $\hat{E A F} = \hat{A E M} = \hat{M F A} = 90 °$ .

Do đó, AEMF là hình chữ nhật.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\vec{M E} + \vec{M F} = \vec{M A}$ .

Do đó ta có: $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \vec{M D} + \vec{M A}$ .

Gọi I là trung điểm của AD.

Khi đó, $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \vec{M D} + \vec{M A} = 2 \vec{M I}$ .

Để $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F}$ cùng phương với $\vec{B C}$ thì $\vec{M I}$ cùng phương với $\vec{B C}$

Do đó, $\vec{M I}$ cùng phương với $\vec{P Q}$ (do PQ là đường trung bình của tam giác ABC song song với cạnh BC).

Vì M nằm trong tam giác ABC.

Do đó M thuộc đoạn PQ.