10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 5. Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

Câu 1:

Cho hai điểm A(3; 1), B(4; 0). Đường thẳng không đi qua A, B có phương trình nào sau đây cách đều A và B?

A. –2x + 2y – 3 = 0;

B. x – y – 3 = 0;

C. x + 2y – 3 = 0;

D. 2x + y – 3 = 0.

Xem đáp án

Cho hai điểm A(3; 1), B(4; 0). Đường thẳng không đi qua A, B có phương trình nào sau đây cách đều A và B? (ảnh 1)

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng đi qua A(–1; 2) và cách B(3; 5) một khoảng bằng 3 là

A. Δ₁: y + 2 = 0 và Δ₂: 24x – 7y + 38 = 0;

B. Δ₁: y – 2 = 0 và Δ₂: 24x + 7y + 38 = 0;

C. Δ₁: y – 2 = 0 và Δ₂: 24x – 7y + 38 = 0;

D. Δ₁: y + 2 = 0 và Δ₂: 24x + 7y + 38 = 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi phương trình đường thẳng Δ là ax + by + c = 0 (với a² + b² ≠ 0).

Điểm A(–1; 2) thuộc vào đường thẳng Δ tức là –a + 2b + c = 0 suy ra c = a – 2b (1)

Khoảng cách từ B(3; 5) đến đường thẳng Δ bằng 3 nên ta có:

$\frac{|3 a + 5 b + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = 3 \Leftrightarrow |3 a + 5 b + c| = 3 \sqrt{a^{2} + b^{2}} (2)$

Thay (1) vào (2), ta có:

$|4 a + 3 b| = 3 \sqrt{a^{2} + b^{2}} \Leftrightarrow 16 a^{2} + 24 a b + 9 b^{2} = 9 a^{2} + 9 b^{2}$

$\Leftrightarrow 7 a^{2} + 24 a b = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 0 \\ 7 a + 24 b = 0 \end{array}$ .

Với a = 0, chọn b = 1 suy ra c = –2. Vậy đường thẳng Δ₁: y – 2 = 0.

Với 7a + 24b = 0, chọn b = –7 suy ra a = 24, c = 38. Vậy phương trình đường thẳng Δ₂: 24x – 7y + 38 = 0.

Câu 3:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng Δ: 2x + y – 1 = 0 và cách điểm M(3; – 2) một khoảng bằng $\sqrt{5}$ là

A. d₁: x – 2y – 12 = 0 và d₂: x – 2y – 2 = 0;

B. d₁: x – 2y – 12 = 0 và d₂: x – 2y + 2 = 0;

C. d₁: x – 2y + 12 = 0 và d₂: x – 2y – 2 = 0;

D. d₁: x – 2y + 12 = 0 và d₂: x – 2y + 2 = 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng Δ: 2x + y – 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{Δ} = (2; 1)$

Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng Δ nên d nhận ${\vec{n}}_{d} = (1; - 2)$ làm một vectơ pháp tuyến. Khi đó giả sử đường thẳng d có phương trình dạng: x – 2y + c = 0.

Vì d cách điểm M(3; – 2) một khoảng bằng $\sqrt{5}$ nên ta có:

$d (M, d) = \sqrt{5} \Leftrightarrow \frac{|3 - 2 \cdot (- 2) + c|}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \sqrt{5} \Leftrightarrow |c + 7| = 5 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c = - 12 \\ c = - 2 \end{array}$ .

Vậy có hai đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán là: d₁: x – 2y – 12 = 0 và d₂: x – 2y – 2 = 0.

Câu 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng d song song với d’: 3x + 4y – 1 = 0 và cách d’ một khoảng bằng 2 là

A. d: 3x + 4y – 9 = 0 hoặc d: 3x + 4y + 11 = 0;

B. d: 3x + 4y + 9 = 0 hoặc d: 3x + 4y – 11 = 0;

C. d: 3x + 4y + 3 = 0 hoặc d: 3x + 4y – 17 = 0;

D. d: 3x + 4y – 3 = 0 hoặc d: 3x + 4y + 17 = 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d song song với đường thẳng d’ nên phương trình đường thẳng d’ có dạng 3x + 4y + c = 0.

Lấy điểm M(–1; 1) thuộc vào d’ nên ta có:

$d (d, d^{'}) = d (M, d^{'}) = 2 \Leftrightarrow \frac{|- 3 + 4 + c|}{5} = 2 \Leftrightarrow |c + 1| = 10 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c = 9 \\ c = - 11 \end{array}$ .

Với c = 9 ta có d : 3x + 4y + 9 = 0.

Với c = –11 ta có d: 3x + 4y – 11 = 0.

Câu 5:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(0; 1), B(12; 5) và C(–3; 0). Đường thẳng có phương trình nào sau đây cách đều ba điểm A, B và C?

A. x – 3y + 4 = 0;

B. –x + y + 10 = 0;

C. x + y = 0;

D. 5x – y + 1 = 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\vec{A B} = (12; 4)$ và $\vec{A C} = (- 3; - 1) = - 4 \vec{A B}$ nên hai vectơ này cùng phương.

Do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng d cách đều A, B, C là đường thẳng song song hoặc trùng với AB.

Ta thấy trong 4 phương án, không có đường thẳng nào đi qua A nên ta loại trường hợp d trùng AB. Khi đó đường thẳng d // AB.

Ta thấy đường thẳng x – 3y + 4 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; - 3)$ nên nhận $\vec{A B} = (12; 4)$ làm một vectơ chỉ phương. Do đó đường thẳng này song song với AB.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 6:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 1), B(–2; 4) và đường thẳng Δ: mx – y + 3 = 0. Giá trị của tham số m để Δ cách đều hai điểm A, B là

A. m ∈ {1; –2};

B. m ∈ {–1; 2};

C. m ∈ {–1; 1};

D. m ∈ {–2; 2}.

Xem đáp án

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 1), B(–2; 4) và đường thẳng (ảnh 1)

Câu 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm cách đường thẳng Δ: 3x – 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. 3x – 4y + 8 = 0; 3x – 4y + 12 = 0;

B. 3x – 4y – 8 = 0; 3x – 4y + 12 = 0;

C. 3x – 4y – 8 = 0; 3x – 4y – 12 = 0;

D. 3x – 4y + 8 = 0; 3x – 4y – 12 = 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Giả sử M(x; y) là điểm cách đường thẳng Δ: 3x – 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2.

Ta có:

$d (M, Δ) = 2 \Leftrightarrow \frac{|3 x - 4 y + 2|}{5} = 2 \Leftrightarrow |3 x - 4 y + 2| = 10 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 x - 4 y + 12 = 0 \\ 3 x - 4 y - 8 = 0 \end{array}$ .

Vậy tập hợp điểm M là hai đường thẳng 3x – 4y – 8 = 0; 3x – 4y + 12 = 0.

Câu 8:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ: x + (m – 1)y + m = 0 (m là tham số bất kỳ) và điểm A(5; 1). Khoảng cách lớn nhất từ điểm A đến Δ bằng

A. $\sqrt{10}$ ;

B. $2 \sqrt{10}$ ;

C. $3 \sqrt{10}$ ;

D.

4 \sqrt{10}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi H(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng Δ luôn đi qua.

Khi đó x₀ + (m – 1)y₀ + m = 0 với mọi m

⇔ (y₀ + 1)m + x₀ – y₀ = 0 với mọi m

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y_{0} + 1 = 0 \\ x_{0} - y_{0} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y_{0} = - 1 \\ x_{0} = y_{0} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{0} = - 1 \\ y_{0} = - 1 \end{cases}$

Suy ra Δ luôn đi qua điểm cố định H(–1; –1).

Với A(5; 1) và H(–1; –1) ta có $\vec{A H} = (- 6; - 2)$ nên $A H = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(- 2)}^{2}} = 2 \sqrt{10} .$

Gọi M là hình chiếu của A trên Δ, ta có d(A, ∆) = AM ≤ AH.

Giá trị lớn nhất của d(A, Δ) = AH khi M ≡ H, suy ra maxd(A, Δ) = AH = $2 \sqrt{10}$ .

Câu 9:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: 5x + 3y – 3 = 0 và d₂: 5x + 3y + 7 = 0 song song nhau. Đường thẳng vừa song song và cách đều với d₁, d₂ là:

A. 5x + 3y – 2 = 0;

B. 5x + 3y + 4 = 0;

C. 5x + 3y + 2 = 0;

D. 5x + 3y – 4 = 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi M(x; y) là điểm nằm trên đường thẳng song song và cách đều với d₁, d₂.

Ta có $d (M (x; y), d_{1}) = d (M (x; y), d_{2}) \Leftrightarrow \frac{|5 x + 3 y - 3|}{\sqrt{5^{2} + 3^{2}}} = \frac{|5 x + 3 y + 7|}{\sqrt{5^{2} + 3^{2}}}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 5 x + 3 y - 3 = 5 x + 3 y + 7 (v ô l í) \\ 5 x + 3 y - 3 = - 5 x - 3 y - 7 \end{array}$

$\Leftrightarrow 5 x + 3 y + 2 = 0.$

Câu 10:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; −1) và B(3; 4). Gọi (d) là một đường thẳng bất kì luôn đi qua B. Khi khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) đạt giá trị lớn nhất, đường thẳng (d) có phương trình nào dưới đây?

A. x – y + 1 = 0;

B. 3x + 4y = 25;

C. 5x – 2y – 7 = 0;

D. 2x + 5y – 26 = 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng (d).

Khi đó ta có: $d (A, (d)) = A H \leq A B = \sqrt{{(3 - 1)}^{2} + {(4 + 1)}^{2}} = \sqrt{29}$ .

Do đó khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) đạt giá trị lớn nhất bằng $\sqrt{29}$ khi H ≡ B hay (d) ⊥ AB tại B.

Vì vậy (d) đi qua B và nhận $\vec{A B} = (2; 5)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó phương trình của đường thẳng (d) là 2(x – 3) + 5(y – 4) = 0 hay 2x + 5y – 26 = 0.