7 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai (Vận dụng) có đáp án

Câu 1:

Cho phương trình $\frac{\sqrt{x^{2} - 3 x - 4}}{x + 1} = - 2$ . Biết phương trình đã cho có một nghiệm có dạng $\frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và b > 0. Khi đó giá trị biểu thức a² – b² bằng:

A. 55;

B. 0;

C. $\frac{55}{2}$ ;

D. –55.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\frac{\sqrt{x^{2} - 3 x - 4}}{x + 1} = - 2$ .

$\Rightarrow \sqrt{x^{2} - 3 x - 4} = - 2 (x + 1)$ .

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

x² – 3x – 4 = 4(x + 1)²

⇒ x² – 3x – 4 = 4(x² + 2x + 1)

⇒ 3x² + 11x + 8 = 0

⇒ x = –1 hoặc $x = - \frac{8}{3}$ .

Với x = –1, ta có $\frac{\sqrt{{(- 1)}^{2} - 3. (- 1) - 4}}{- 1 + 1} = - 2$ (vô lý)

Với $x = - \frac{8}{3}$ , ta có $\frac{\sqrt{{(- \frac{8}{3})}^{2} - 3. (- \frac{8}{3}) - 4}}{- \frac{8}{3} + 1} = - 2$ (đúng)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = –1 và $x = - \frac{8}{3}$ vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x = - \frac{8}{3}$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = - \frac{8}{3}$ .

Khi đó a = –8 và b = 3 (do b > 0).

Suy ra a² – b² = (–8)² – 3² = 55.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 2:

Giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = 4 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 1}$ và $y = \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 81}$ là:

A. A(5; 24);

B. $B (- \frac{13}{23}; \frac{168}{23})$ ;

C. Cả A, B đều đúng;

D. Cả A, B đều sai.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

$4 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 1} = \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 81}$

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được 16(2x² – 3x + 1) = 9x² + 54x + 81

⇒ 23x² – 102x – 65 = 0

⇒ x = 5 hoặc $x = - \frac{13}{23}$ .

Khi thay x = 5 và $x = - \frac{13}{23}$ vào phương trình đã cho, ta thấy cả x = 5 và $x = - \frac{13}{23}$ đều thỏa mãn.

Với x = 5, ta có $y = 4 \sqrt{{2.5}^{2} - 3.5 + 1} = 24$ .

Suy ra tọa độ giao điểm A(5; 24).

Với $x = - \frac{13}{23}$ , ta có $y = 4 \sqrt{2. {(- \frac{13}{23})}^{2} - 3. (- \frac{13}{23}) + 1} = \frac{168}{23}$ .

Suy ra tọa độ giao điểm $B (- \frac{13}{23}; \frac{168}{23})$ .

Vậy hai đồ thị có hai giao điểm là A(5; 24) và $B (- \frac{13}{23}; \frac{168}{23})$ .

Ta chọn phương án C.

Câu 3:

Cho phương trình:

$\sqrt{x^{2} + x + 10 - 2 \sqrt{x^{2} + x + 7}} = \sqrt{x^{2} + x + 15 - 6 \sqrt{x^{2} + x + 7}}$ .

Tập nghiệm của phương trình trên là:

A. $\{\frac{- 2 - \sqrt{91}}{4}\}$

B. $\{\frac{- 2 + \sqrt{91}}{4}; \frac{- 2 - \sqrt{91}}{4}\}$

C. $\{\frac{- 2 + \sqrt{91}}{4}\}$

D. ∅.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\sqrt{x^{2} + x + 10 - 2 \sqrt{x^{2} + x + 7}} = \sqrt{x^{2} + x + 15 - 6 \sqrt{x^{2} + x + 7}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + x + 7 - 2 \sqrt{x^{2} + x + 7} + 3} = \sqrt{x^{2} + x + 7 - 6 \sqrt{x^{2} + x + 7} + 8}$ (1)

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + x + 7}$ , t ≥ 0.

Phương trình (1) tương đương với: $\sqrt{t^{2} - 2 t + 3} = \sqrt{t^{2} - 6 t + 8}$

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

t² – 2t + 3 = t² – 6t + 8

⇒ 4t = 5

⇒ $t = \frac{5}{4}$ (nhận)

Với $t = \frac{5}{4}$ , ta có $\sqrt{{(\frac{5}{4})}^{2} - 2. \frac{5}{4} + 3} = \sqrt{{(\frac{5}{4})}^{2} - 6. \frac{5}{4} + 8}$ (đúng)

Vì vậy khi thay $t = \frac{5}{4}$ vào phương trình $\sqrt{t^{2} - 2 t + 3} = \sqrt{t^{2} - 6 t + 8}$ , ta thấy $t = \frac{5}{4}$ thỏa mãn.

Với $t = \frac{5}{4}$ , ta có $\sqrt{x^{2} + x + 7} = \frac{5}{4}$ .

Bình phương hai vế phương trình trên, ta được $x^{2} + x + 7 = \frac{25}{16}$ .

⇒ $x^{2} + x + \frac{87}{16} = 0$ (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Khi đó tập nghiệm của phương trình ban đầu là: ∅.

Ta chọn phương án D.

Câu 4:

Số giao điểm giữa đồ thị hàm số $y = \sqrt{3 x - 4}$ và đồ thị hàm số y = x – 3 là:

A. 2 giao điểm;

B. 4 giao điểm;

C. 3 giao điểm;

D. 1 giao điểm.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: $\sqrt{3 x - 4} = x - 3$ .

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được 3x – 4 = (x – 3)²

⇒ 3x – 4 = x² – 6x + 9

⇒ x² – 9x + 13 = 0

⇒ $x = \frac{9 + \sqrt{29}}{2}$ hoặc $x = \frac{9 - \sqrt{29}}{2}$ .

Với $x = \frac{9 + \sqrt{29}}{2}$ , ta có $\sqrt{3. \frac{9 + \sqrt{29}}{2} - 4} = \frac{9 + \sqrt{29}}{2} - 3$ (đúng)

Với $x = \frac{9 - \sqrt{29}}{2}$ , ta có $\sqrt{3. \frac{9 - \sqrt{29}}{2} - 4} = \frac{9 - \sqrt{29}}{2} - 3$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt $x = \frac{9 + \sqrt{29}}{2}$ và $x = \frac{9 - \sqrt{29}}{2}$ vào phương trình $\sqrt{3 x - 4} = x - 3$ , ta thấy chỉ có $x = \frac{9 + \sqrt{29}}{2}$ thỏa mãn.

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại một giao điểm.

Do đó ta chọn phương án D.

Câu 5:

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $(x - 2) \sqrt{2 x + 7} = x^{2} - 4$ bằng:

A. 10;

B. 5;

C. 13;

D. 14.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $(x - 2) \sqrt{2 x + 7} = x^{2} - 4$

$\Leftrightarrow (x - 2) \sqrt{2 x + 7} = (x - 2) (x + 2)$

$\Leftrightarrow (x - 2) (\sqrt{2 x + 7} - x - 2) = 0$

⇔ x – 2 = 0 hoặc $\sqrt{2 x + 7} - x - 2 = 0$

⇔ x = 2 hoặc $\sqrt{2 x + 7} = x + 2$ (2)

Giải (2):

Bình phương hai vế của phương trình (2), ta được:

2x + 7 = (x + 2)²

⇒ 2x + 7 = x² + 4x + 4

⇒ x² + 2x – 3 = 0

⇒ x = 1 hoặc x = –3.

Với x = 1, ta có $\sqrt{2.1 + 7} = 1 + 2$ (đúng)

Với x = –3, ta có $\sqrt{2. (- 3) + 7} = - 3 + 2$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 1 và x = –3 vào phương trình (2), ta thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn.

Do đó phương trình (2) có nghiệm là x = 1.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2 hoặc x = 1.

Khi đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình đã cho là: 2² + 1² = 5.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 6:

Cho ∆MNP vuông tại M có MN dài hơn MP 10 cm. Biết chu vi của ∆MNP là 50 cm. Độ dài của cạnh NP bằng khoảng:

A. 21,41 cm;

B. 11,5 cm;

C. 28,71 cm;

D. 32,21 cm.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có MN dài hơn MP 10 cm nên MN = MP + 10.

Xét ∆MNP vuông tại M có MN² + MP² = NP² (Định lí Pythagore)

Suy ra (MP + 10)² + MP² = NP²

Hay MP² + 20MP + 100 + MP² = NP²

Do đó NP² = 2MP² + 20MP + 100

Nên $N P = \sqrt{2 M P^{2} + 20 M P + 100}$

• Ta có chu vi của ∆MNP là 50 cm.

Suy ra: MN + NP + MP = 50.

Khi đó $M P + 10 + \sqrt{2 M P^{2} + 20 M P + 100} + M P = 50$

$\Leftrightarrow \sqrt{2 M P^{2} + 20 M P + 100} = 40 - 2 M P$ (1)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

2MP²+ 20MP + 100 = 1600 – 160MP + 4MP²

Þ 2MP² – 180MP + 1500 = 0

Þ MP ≈ 80,71 hoặc MP ≈ 9,29.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình (1), ta thấy chỉ có MP ≈ 9,29 thỏa mãn.

Do đó NP ≈ 21,41 cm.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 7:

Khoảng cách từ nhà An ở vị trí A đến nhà Bình là 200 m. Từ nhà, nếu An đi x mét theo phương tạo với AB một góc 120° thì sẽ đến nhà bác Mai ở vị trí M và nếu đi thêm 300 m nữa thì sẽ đến siêu thị ở vị trí S.

Khoảng cách từ nhà An ở vị trí A đến nhà Bình là 200 m. Từ nhà, nếu An đi x mét (ảnh 1)

Biết rằng quãng đường từ nhà Bình đến siêu thị gấp đôi quãng đường từ nhà Bình đến nhà bác Mai. Khi đó quãng đường từ nhà An đến nhà bác Mai là:

A. 50 m;

B. 75 m;

C. 100 m;

D. 200 m.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABM, ta có:

BM² = AM² + AB² – 2AM.AB.cosA

= x² + 200² – 2x.200.cos120°

= x² + 40 000 + 200x

Do đó $B M = \sqrt{x^{2} + 200 x + 40 000}$

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABS, ta được:

BS² = AS² + AB² – AS.AB.cosA

= (x + 300)² + 200² – 2.(x + 300).200.cos120°

= x² + 600x + 90 000 + 40 000 + 200x + 60 000

= x² + 800x + 190 000

Do đó $B S = \sqrt{x^{2} + 800 x + 190 000}$

Theo bài, quãng đường từ nhà Bình đến siêu thị gấp đôi quãng đường từ nhà Bình đến nhà bác Mai nên ta có:

BS = 2BM.

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 800 x + 190 000} = 2 \sqrt{x^{2} + 200 x + 40 000}$ (1)

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

x² + 800x + 190 000 = 4(x² + 200x + 40 000)

⇒ –3x² + 30 000 = 0

⇒ x = 100 (thỏa mãn x > 0) hoặc x = –100 (không thỏa mãn).

Vậy ta chọn phương án C.