Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có \(SA = x\) và tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Khi thể tích khối chóp \(S.ABCD\) đạt giá trị lớn nhất thì \(x\) nhận giá trị nào sau đây?
A.\(x = \frac{{\sqrt {35} }}{7}\)
B.\(x = 1.\)
C.\(x = \frac{9}{4}\)
D. \(x = \frac{{\sqrt {34} }}{7}\)
Giải bởi Vietjack
Gọi
\(H\)là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD,\) do \(SB = SC = SD\) nên \(SH\) là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD,\) suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right).\)
Do tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\) là đường trung trực của đường thẳng \(BD\) do đó \(H \in AC.\)
Đặt \(\alpha = \widehat {ACD},0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \widehat {BCD} = 2\alpha ,\) suy ra \({S_{ABCD}} = 2{S_{BCD}} = BC.CD.\sin \widehat {BCD} = \sin 2\alpha .\)
Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow CD \bot SK,\) mà \(CD \bot SH\) suy ra \(CD \bot HK.\)
\(HC = \frac{{CK}}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{{2\cos \alpha }},SH = \sqrt {S{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {1 - \frac{1}{{4{{\cos }^2}\alpha }}} = \frac{{\sqrt {4{{\cos }^2}\alpha - 1} }}{{2\cos \alpha }}\).
Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}\frac{{\sqrt {4\cos \alpha - 1} }}{{2\cos \alpha }}.\sin 2\alpha = \frac{1}{3}\sin \alpha \sqrt {4{{\cos }^2}\alpha - 1} \)
Do đó \(V = \frac{1}{6}\left( {2\sin \alpha } \right)\sqrt {4{{\cos }^2}\alpha - 1} \le \frac{1}{6}\frac{{4{{\sin }^2}\alpha + 4{{\cos }^2}\alpha - 1}}{2} = \frac{1}{4}.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(2\sin \alpha = \sqrt {4{{\cos }^2}\alpha - 1} \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\alpha = 4{\cos ^2}\alpha - 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{5}{8}\)
\( \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{4}.\) Khi đó \(HC = \frac{2}{{\sqrt {10} }},SH = \frac{{\sqrt {15} }}{5}.\)
Gọi \(O = AC \cap BD,\) suy ra \(AC = 2OC = 2CD.\cos \alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{2}.\)
\(AH = AC - HC = \frac{{\sqrt {10} }}{2} - \frac{2}{{\sqrt {10} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\)
Vậy \(x = SA = \sqrt {S{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {\frac{3}{5} + \frac{9}{{10}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.\)
Đáp án D.
Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh \(a,\) khi cạnh đáy của hình chóp giảm đi 3 lần và vẫn giữ nguyên chiều cao thì thể tích của khối chóp giảm đi mấy lần:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.
![Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Trong đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\), có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(y = \left| {10f\left( {x - m} \right) - \frac{{ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1649521444/1649521622-image30.png)
Trong đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\), có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(y = \left| {10f\left( {x - m} \right) - \frac{{11}}{3}{m^2} + \frac{{37}}{3}m} \right|\) có 3 điểm cực trị?
Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào có tập nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng B, chiều cao bằng h là:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,AD = a\sqrt 2 ,\) đường thẳng \(SA\) vuông góc với \(mp\left( {ABCD} \right).\) Góc giữa \(SC\) và \(mp\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^0}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\)
Cho hàm số \(y = \left| {x + \sqrt {16 - {x^2}} } \right| + a\) có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là \(m,M,\) Biết \(m + M = {a^2}.\) Tìm tích \(P\) tất cả giá trị \(a\) thỏa mãn đề bài.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên dưới.
Khi đó
Cho hàm số \(y = \frac{{mx - 8}}{{2x - m}}.\) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
Một vật có phương trình chuyển động \(S\left( t \right) = 4,9{t^2};\) trong đó t tính bằng (s), S(t) tính bắng mét (m). Vận tốc của vật tại thời điểm t=6s bằng
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng 1, gọi \(M\) là trung điểm \(AD\) và \(N\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(BN = 2NC.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(CD\) là
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} + {10^{2020}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) là:
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 4}}\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(SA = AB = a.\) Góc giữa \(SA\) và \(CD\) là
