Cho hình lăng trụ có hai đáy là đường tròn tâm \(O\) và \(O',\) bán kính đáy bằng chiều cao bằng \(4a.\) Trên đường tròn đáy có tâm \(O\) lấy điểm \(A,D;\) trên đường tròn \[O'\]lấy điểm \(B,C\) sao cho \(AB\) song song với \(CD\) và \(AB\) không cắt \(OO'.\) Tính độ dài \(AD\) để thể tích khối chóp \(O'.ABCD\) đạt giá trị lớn nhất?
A.\(AD = 4a\sqrt 2 .\)
B. \(AD = 8a.\)
C.\(AD = 2a.\)
D. \(AD = 2a\sqrt 3 .\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án A.
Từ \(B,C\) kẻ các đường thẳng song song với đường sinh của hình trụ cắt đường tròn tâm \(O\) lần lượt tại \(B',C'.\)
Vì \(AD\) và \(BC\) là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {AB;CD} \right)\) với hai mặt phẳng song song nên \(AD//BC.\)
Suy ra: \(AD//B'C'\) hay \(AB'C'D\) là hình bình hành nộp tiếp nên nó là hình chữ nhật.
\(\left\{ \begin{array}{l}B'C' \bot DC'\\B'C' \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow B'C' \bot CD\) mà \(BC//B'C'\) suy ra \(BC \bot CD.\)
Vậy tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật.
Đặt \(BC = AD = 2x,\) gọi \(I,I'\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OI' \bot BC\\OO' \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OO'I'} \right) \Rightarrow \left( {OO'I'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) và có giao tuyến \(I'I.\)
Từ \(O'\) kẻ đường vuông góc với \(I'I\) tại \(H,\) suy ra \(O'H\) là đường cao của hình chóp \(O'.ABCD\).
Gọi \(J\) là giao điểm của \(OO'\) và \(I'I,J\) là trung điểm của \(OO'.\)
Ta có: \(OI = O'I' = \sqrt {O'{C^2} - I'{C^2}} = \sqrt {16{a^2} - {x^2}} .\)
\(DC' = 2.OI = 2\sqrt {16{a^2} - {x^2}} \Rightarrow DC = \sqrt {DC{'^2} + CC{'^2}} = \sqrt {4\left( {16{a^2} - {x^2}} \right) + 16{a^2}} = 2\sqrt {20{a^2} - {x^2}} \)
\(\frac{1}{{O'{H^2}}} = \frac{1}{{O'{J^2}}} + \frac{1}{{O'I{'^2}}} = \frac{{O'{J^2} + O'I{'^2}}}{{O'{J^2}.O'I{'^2}}} \Rightarrow O'H = \frac{{O'J.O'I'}}{{\sqrt {O'{J^2} + O'I{'^2}} }} = \frac{{2a.\sqrt {16{a^2} - {x^2}} }}{{\sqrt {20{a^2} - {x^2}} }}\)
Suy ra: \({V_{O'.ABCD}} = \frac{1}{3}.O'H.AD.DC = \frac{1}{3}.\frac{{2a\sqrt {16{a^2} - {x^2}} }}{{\sqrt {20{a^2} - {x^2}} }}.2x.2\sqrt {20{a^2} - {x^2}} = \frac{8}{3}.x\sqrt {16{a^2} - {x^2}} \)
\( = \frac{{8a}}{3}\sqrt {{x^2}\left( {16{a^2} - {x^2}} \right)} \le \frac{{8a}}{3}.\frac{{{x^2} + 16{a^2} - {x^2}}}{2} = \frac{{64{a^3}}}{3}.\)
Vậy \(\max {V_{O'.ABCD}} = \frac{{64{a^3}}}{3} \Leftrightarrow {x^2} = 16{a^2} - {x^2} \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 a \Rightarrow AD = 4\sqrt 2 a.\)
Cho \(x,y,z\) là ba số dương lập thành cấp số nhân; còn \({\log _a}x;{\log _{\sqrt a }}y;{\log _{\sqrt[3]{a}}}z\) lập thành cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức \(Q = \frac{{2017x}}{y} + \frac{{2y}}{z} + \frac{z}{x}.\)
Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4 - 3x}}{{4x + 5}}\) là
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 2x + 3\) tại điểm \(M\left( {2;7} \right)\) là
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) bán kính \(R\) có diện tích bằng
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} + 3{x^3} - 4m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}}} \right) = {x^3} - m\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]?\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\sqrt 2 .\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
Đội văn nghệ của lớp 12A có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh của đội văn nghệ sao cho 2 học sinh có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ.
Cho hàm số \(y = - {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 3\left( {2m - 1} \right)x + 2020.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)?\)
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau lập từ các số \(0;1;2;3;4;5;6;7.\) Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập hợp \(S.\) Tính xác suất để số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn.
Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x - 6{\log _6}\left( {4x} \right) + 1 = 0.\). Tính giá trị của \(S.\)
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có \({u_1} = 3\) và công sai d=2. Tìm \({u_{20}}?\)
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} - x}}\) là
Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển \({x^2}{\left( {x - 2} \right)^5} + {\left( {2x - 1} \right)^6}\) bằng
Cho hàm số \(f\left( x \right),\) bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:
Hàm số \(y = f\left( {1 - 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
