Cho biểu thức: \[P = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)\] với \(x > 9\).
1) Rút gọn biểu thức P?
2) Tìm m để với mọi giá trị \(x > 9\) ta có \(m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1\)
Giải bởi Vietjack
1) Với \(x > 9\) thì biểu thức P đã có nghĩa.
Ta có: \[P = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right]\]
\[ = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right) + 8x}}{{4 - x}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x - 1 - 2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{x - 2\sqrt x }}} \right] = \left( {\frac{{8\sqrt x + 4x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{3 - \sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}} \right)\]
\( = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}} \right].\left( {\frac{{x - 2\sqrt x }}{{3 - \sqrt x }}} \right) = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}} \right).\left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{3 - \sqrt x }}} \right] = \frac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\)
Vậy \(P = \frac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\)
Cách 2: Đặt \(a = \sqrt x \) \(a \ge 0\)
Ta có: \(P = \left( {\frac{{4a}}{{2 + a}} + \frac{{8{a^2}}}{{4 - {a^2}}}} \right):\left( {\frac{{a - 1}}{{{a^2} - 2a}} - \frac{2}{a}} \right)\)
\( = \left[ {\frac{{4a\left( {2 - a} \right)}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}} + \frac{{8{a^2}}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{a - 1}}{{a\left( {a - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {a - 2} \right)}}{{a\left( {a - 2} \right)}}} \right]\)
\( = \frac{{4a\left( {2 - a} \right) + 8{a^2}}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}:\frac{{a - 1 - 2\left( {a - 2} \right)}}{{a\left( {a - 2} \right)}} = \frac{{4{a^2} + 8a}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}:\frac{{3 - a}}{{a\left( {a - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{4a\left( {a + 2} \right)}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}.\frac{{a\left( {a - 2} \right)}}{{3 - a}} = \frac{{4{a^2}}}{{a - 3}} = \frac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\)
Nhận xét. Bài toán rút gọn biểu thức áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
2) Ta có: \(m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1 \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x - 3} \right).\frac{{4x}}{{\sqrt x - 3}} > x + 1\)
\( \Leftrightarrow 4mx > x + 1 \Leftrightarrow \left( {4m - 1} \right)x > 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m - 1 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}\\x > \frac{1}{{4m - 1}}\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)
Giải (*), do \(x > 9 \Leftrightarrow \frac{1}{{4m - 1}} > 9 \Leftrightarrow \frac{1}{9} > 4m - 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{18}} > m\)
Như vậy \(\frac{1}{4} < m < \frac{5}{{18}}\).
Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện của tham số để biến thỏa mãn một bất đẳng thức trước
Cho x; y là hai số thực thỏa mãn \(xy + \sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)} = 1\). Chứng minh rằng \(x\sqrt {1 + {y^2}} + y\sqrt {1 + {x^2}} = 0\).
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB (CD không đi qua tâm O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S; SC cắt \(\left( {O;R} \right)\) tại điểm thứ hai là M.
1) Chứng minh \(\Delta SMA\) đồng dạng với \(\Delta SBC\).
2) Gọi H là giao điểm của MAvà BC; K là giao điểm của MD và AB. Chứng minh BMHK là tứ giác nội tiếp và \(HK//CD\).
3) Chứng minh: \(OK.OS = {R^2}\).
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100m2. Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m2. Tính diện tích thửa ruộng đó.
2) Xác định a, b để đường thẳng \(\left( d \right):ax + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 2\) và cắt đồ thị \(\left( P \right):y = \frac{1}{4}{x^2}\) tại điểm có hoành độ bằng 2.
1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {2x + 3y - 2} \right)\left( {x - 5y - 3} \right) = 0\\x - 3y = 1\end{array} \right.\)
2) Giải phương trình: \(3\sqrt {x - 2} - \sqrt {{x^2} - 4} = 0\).
3) Cho phương trình \(\left( {2m - 1} \right){x^2} - 2mx + 1 = 0\). Tìm m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\)?
