1) Với \(x > 9\) thì biểu thức P đã có nghĩa.

Ta có: \[P = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{{2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}} \right]\]

\[ = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right) + 8x}}{{4 - x}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x  - 1 - 2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{x - 2\sqrt x }}} \right] = \left( {\frac{{8\sqrt x  + 4x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{3 - \sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}} \right)\]

\( = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}} \right].\left( {\frac{{x - 2\sqrt x }}{{3 - \sqrt x }}} \right) = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}} \right).\left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{3 - \sqrt x }}} \right] = \frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}}\)

Vậy \(P = \frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}}\)

Cách 2: Đặt \(a = \sqrt x \) \(a \ge 0\)

Ta có: \(P = \left( {\frac{{4a}}{{2 + a}} + \frac{{8{a^2}}}{{4 - {a^2}}}} \right):\left( {\frac{{a - 1}}{{{a^2} - 2a}} - \frac{2}{a}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{{4a\left( {2 - a} \right)}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}} + \frac{{8{a^2}}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{a - 1}}{{a\left( {a - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {a - 2} \right)}}{{a\left( {a - 2} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{{4a\left( {2 - a} \right) + 8{a^2}}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}:\frac{{a - 1 - 2\left( {a - 2} \right)}}{{a\left( {a - 2} \right)}} = \frac{{4{a^2} + 8a}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}:\frac{{3 - a}}{{a\left( {a - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{4a\left( {a + 2} \right)}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}.\frac{{a\left( {a - 2} \right)}}{{3 - a}} = \frac{{4{a^2}}}{{a - 3}} = \frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}}\)

Nhận xét. Bài toán rút gọn biểu thức áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

2) Ta có: \(m\left( {\sqrt x  - 3} \right)P > x + 1 \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x  - 3} \right).\frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}} > x + 1\)

\( \Leftrightarrow 4mx > x + 1 \Leftrightarrow \left( {4m - 1} \right)x > 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m - 1 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}\\x > \frac{1}{{4m - 1}}\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Giải (*), do \(x > 9 \Leftrightarrow \frac{1}{{4m - 1}} > 9 \Leftrightarrow \frac{1}{9} > 4m - 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{18}} > m\)

Như vậy \(\frac{1}{4} < m < \frac{5}{{18}}\).

Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện của tham số để biến thỏa mãn một bất đẳng thức trước

1) Gọi chiều dài của thửa ruộng là \[x\] (m).

Chiều rộng là y (m).

Điều kiện:\[x,{\rm{ }}y > 0\] .

Diện tích thửa ruộng là \(x.y\).

Nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3 m thì diện tích thửa ruộng lúc này là: \(\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right)\) và diện tích tăng thêm 100m2, tức là \(\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\) (1)

Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích thửa ruộng còn lại là \(\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\) và diện tích giảm đi 68m2, tức là \(\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\) (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + 3x + 2y + 6 = xy + 100\\xy - 2x - 2y + 4 = xy - 68\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 94\\2x + 2y = 72\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 22\\x + y = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 22\\y = 14\end{array} \right.\)

Vậy diện tích thửa ruộng là: \(S = 22.14 = 308\left( {{m^2}} \right)\)

2) Đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 2\), nên ta có phưong trình: \( - 2 = a.0 + b \Leftrightarrow b =  - 2\)

Suy ra đường thẳng \(\left( d \right)\) có dạng: \(y = ax - 2\).

Đường thẳng \(\left( d \right):y = ax - 2\) cắt đồ thị \(\left( P \right):y = \frac{1}{4}{x^2}\) tại điểm có hoành độ bằng 2, nên ta có phương trình:\(a.2 - 2 = \frac{1}{4}{.2^2} \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\)

Vậy đường thẳng \(\left( d \right)\) là: \(y = \frac{3}{2}x - 2\).

1) Hệ Phương trình tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}2x + 3y - 2 = 0\\x - 5y - 3 = 0\end{array} \right.\\x - 3y = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 2 = 0\\x - 3y = 1\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x - 5y - 3 = 0\\x - 3y = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {1 + 3y} \right) + 3y - 2 = 0\\x = 1 + 3y\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}\left( {1 + 3y} \right) - 5y - 3 = 0\\x = 1 + 3y\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9y = 0\\x = 1 + 3y\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} - 2y - 2 = 0\\x = 1 + 3y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right),\,\,\left( { - 2; - 1} \right)\)

2) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\{x^2} - 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\\left[ \begin{array}{l}x \le  - 1\\x \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\)

Phương trình tương đương \[3\sqrt {x - 2}  - \sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}  = 0\]

\( \Leftrightarrow \sqrt {x - 2} \left( {3 - \sqrt {x + 2} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2}  = 0\\3 - \sqrt {x + 2}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x + 2 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 7\end{array} \right.\) (thõa mãn điều kiện)

3) + Xét \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)phương trình trở thành: \( - x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\), không thuộc khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\).

+ Xét \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{2}\), khi đó ta có

\(\Delta ' = {m^2} - \left( {2m - 1} \right).1 = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall m\); nên phương trình có nghiệm với mọi m.

Suy ra \(\sqrt {\Delta '}  = m - 1\).

Phương trình có nghiệm là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m + \left( {m - 1} \right)}}{{2m - 1}} = 1 \notin \left( { - 1;0} \right)\\x = \frac{{m - \left( {m - 1} \right)}}{{2m - 1}} = \frac{1}{{2m - 1}}\end{array} \right.\)

Theo bài ra, ta có: \( - 1 < \frac{1}{{2m - 1}} < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < \frac{1}{{2m - 1}}\\\frac{1}{{2m - 1}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m}}{{2m - 1}} > 0\\2m - 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0\)

Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) khi và chỉ khi \(m < 0\).

1) \(\Delta SBC\) và \(\Delta SMA\) có:

\(\widehat {BSC} = \widehat {MSA}\), \(\widehat {SCB} = \widehat {SAM}\) (góc nội tiếp cùng chắn )

\( \Rightarrow \Delta DBC\) đồng dạng với \(\Delta SMA\).

Nhận xét: Bài toán chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

2) Vì \(AB \bot CD\) nên .

Suy ra: \(\widehat {MHB} = \widehat {MKB}\) (vì cùng bằng )

\( \Rightarrow \) Tứ giác BMHK nội tiếp được đường tròn \( \Rightarrow \widehat {HMB} + \widehat {HKB} = 180^\circ \). (1)

Lại có: \(\widehat {HMB} = \widehat {AMB} = 90^\circ \) (2) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Từ (1) (2) suy ra \(\widehat {HKB} = 90^\circ \) do đó \(HK//CD\) (cùng vuông góc với AB).

Nhận xét: Bài toán chứng minh hai đường thẳng song song bằng cách chứng minh chúng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba.

3) Vẽ đường kính MN suy ra  .

Ta có:

Mà  và  nên \(\widehat {OSM} = \widehat {OMK}\)

\( \Rightarrow \Delta OSM\) đồng dạng với \(\Delta OMK\)

\( \Rightarrow \frac{{OS}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{OK}} \Rightarrow OK.OS = {R^2}\)

Nhận xét: Bài toán chứng minh một đẳng thức bằng cách chứng minh tam giác đồng dạng.