Đáp án đúng là: B

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta có tam giác \[DEF\] vuông tại \[E\] nên \[\sin \alpha = \frac{{DE}}{{DF}}.\]

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta có \[\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1:\frac{1}{6} = 1 \cdot 6 = 6.\]

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên:

⦁ \[b = a\sin B = a\cos C = c\tan B = c\cot C\,;\]

⦁ \[c = a\sin C = a\cos B = c\tan B = c\cot C.\]

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Vì tam giác \[MNP\] vuông tại \[M\] nên \[MN = NP.\sin P = 7.\frac{2}{9} = \frac{{14}}{9}.\]

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Do \[\alpha ,\,\,\beta \] là số đo các góc nhọn của một tam giác vuông nên \(\alpha + \beta = 90^\circ \).

Khi đó \(\sin \alpha = \cos \beta ,\,\,\cos \alpha = \sin \beta ,\,\,\tan \alpha = \cot \beta ,\,\,\cot \alpha = \tan \beta \) và \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\).

Do đó \(\tan \alpha - \cot \beta = \tan \alpha - \tan \alpha = 0.\)

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], ta được:

\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100.\] Suy ra \[AB = 10{\rm{\;cm}}.\]

Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên:

⦁ \[\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}.\] Do đó phương án A là khẳng định đúng.

⦁ \[\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5}.\] Do đó phương án B là khẳng định đúng.

⦁ \[\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.\] Do đó phương án C là khẳng định đúng.

⦁ \[\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.\] Do đó phương án D là khẳng định sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Với \(0^\circ < \alpha < 70^\circ \), ta có: \[90^\circ - \left( {70^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 20^\circ ;\,\,\,90^\circ - \left( {80^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 10^\circ .\]

Do đó:

\[A = \tan \alpha \cdot \tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \tan \left( {70^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {80^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {90^\circ - \alpha } \right)\]

\[\,\,\,\,\, = \tan \alpha \cdot \tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \cot \alpha \]

\[\,\,\,\,\, = \left( {\tan \alpha \cdot \cot \alpha } \right) \cdot \left[ {\tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 10^\circ } \right)} \right] \cdot \left[ {\tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 20^\circ } \right)} \right]\]

\[\,\,\,\,\, = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.\]

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] có: \[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\] (Định lí Pythagore)

Suy ra \[A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {8^2} - {6^2} = 28.\]

Do đó \[AB = 2\sqrt 7 \] (cm).

Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên \[\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{2\sqrt 7 }}{6} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}.\]

Do đó ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], có:

⦁ \[\cos B = \frac{{AB}}{{BC}}.\] Suy ra \[BC = \frac{{AB}}{{\cos B}} = \frac{5}{{\frac{5}{8}}} = 8\] (cm);

⦁ \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\] (theo định lí Pythagore)

Suy ra \[A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {8^2} - {5^2} = 39.\] Do đó \[AC = \sqrt {39} \] (cm).

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên \[AB = AC.\tan C = 12.\tan 40^\circ \approx 10,07\] (m).

Do đó chiều cao \[AB\] của cột cờ khoảng \[10,07\] m.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\cot 20^\circ 25' = \tan \left( {90^\circ - 20^\circ 25'} \right).\]

Đầu tiên, ta đưa máy tính về chế độ “độ”, sau đó ấn liên tiếp các phím

Màn hình hiện lên kết quả là \(3,262959062,\) làm tròn kết quả đến hàng phần trăm ta được: \(3,26.\)

Nghĩa là, \[M = 3,26.\]

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có \[\widehat {BAC} = 40^\circ \] và \[AB = 2,5\] (m).

Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\] nên \[BC = AB.\sin \widehat {BAC} = 2,5.\sin 40^\circ \approx 1,6\] (m).

Do đó khoảng cách từ tường đến vị trí đặt đầu thanh chống trên tấm nhựa khoảng \[1,6\] mét.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có: \[\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ .\]

Do đó hai góc \(B\) và \(C\) phụ nhau nên \(\cos C = \sin B.\)

Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[AH\] là đường cao nên \[AH \bot BC\] tại \[H.\]

Xét tam giác \[ABH\] vuông tại\(H,\) theo định lí Pythagore, ta có: \(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\)

Suy ra \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {10^2} - {5^2} = 75.\) Do đó \(AH = \sqrt {75} = 5\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Ta có \[\cos C = \sin B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{10}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Kẻ \[BH \bot AC\] tại \[H.\]

Tam giác \[ABC,\] có: \[\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \] (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \[\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 65^\circ } \right) = 40^\circ .\]

Vì tam giác \[BCH\] vuông tại \[H\] nên:

⦁ \[BH = BC.\sin \widehat {BCH} = 1{\rm{\;\;}}225.\sin 65^\circ \] (m);

⦁ \[CH = BC.\cos \widehat {BCH} = 1{\rm{\;\;}}225.\cos 65^\circ \] (m).

Vì tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\] nên \(BH = AH \cdot \tan \widehat {BAH}\)

Suy ra \[AH = \frac{{BH}}{{\tan \widehat {BAH}}} = \frac{{1{\rm{\;\;}}225 \cdot \sin 65^\circ }}{{\tan 40^\circ }}\] (m).

Khi đó \[AC = AH + CH = \frac{{1{\rm{\;\;}}225 \cdot \sin 65^\circ }}{{\tan 40^\circ }} + 1{\rm{\;\;}}225 \cdot \cos 65^\circ \approx 1{\rm{\;\;}}841\] (m).

Do đó khoảng cách \[AC\] khoảng \[1{\rm{\;\;}}841\] m.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ bên.

Khoảng cách từ gốc cây đến điểm bị gãy là \[AB.\]

Khoảng cách từ điểm thân tre bị gãy đến ngọn cây là \[BC.\]

Khoảng cách từ ngọn cây chạm đất đến gốc là \[AC.\]

Đặt độ dài \(BC = x{\rm{\;(m)}}\,\,\left( {0 < x < 9} \right)\).

Suy ra: \(AB = 9 - x.\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(AB = BC \cdot \cos B\)

Suy ra \(9 - x = x \cdot \cos 32^\circ \)

\(9 - x \approx 0,85x\)

\(1,85x \approx 9\)

\[x \approx 4,9{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Do đó điểm gãy cách gốc khoảng 4,9 m.

Vậy ta chọn phương án B.