Đáp án cần chọn là: A

Gọi O là tâm của hình chữ nhật nên OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Khi đó bán kính đường tròn là R = OA = $\frac{AC}{2}$

Theo định lý Pytago ta có:

$A{C}^2=A{D}^2+D{C}^2=3^2+4^2=25\Rightarrow AC=5\left(vì AB=DC=4cm\right)\Rightarrow R=\frac{5}{2}$

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD, N là trung điểm BC ta được một hình cầu tâm O bán kính R = $\frac{5}{2}$

Diện tích mặt cầu là $S=4{\mathrm{\pi R}}^2=4\mathrm{\pi }{\left(\frac{5}{2}\right)}^2=25\mathrm{\pi }\left({\mathrm{cm}}^2\right)$.

Chú ý: Một số em có thể nhớ nhầm công thức diện tích thành S = R² dẫn đến ra kết quả D sai.

Đáp án cần chọn là: B.

Gọi O là tâm của hình chữ nhật nên OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Khi đó bán kính đường tròn là R = OA = $\frac{AC}{2}$

Theo định lý Pytago ta có:

$A{C}^2=A{D}^2+D{C}^2=6^2+8^2=100\Rightarrow AC=10 \left(vì AB=CD=8cm\right)\Rightarrow R=5cm.$

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD, N là trung điểm BC ta được một hình cầu tâm O bán kính R = 5cm

Diện tích mặt cầu là $S=4{\mathrm{\pi R}}^2=4\mathrm{\pi }.5^2=100\mathrm{\pi }\left({\mathrm{cm}}^2\right)$.

Chú ý: Một số em có thể nhớ nhầm công thức diện tích thành S = $\mathrm{\pi }$R² dẫn đến ra kết quả D sai.

Đáp án cần chọn là: B.

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên h = 2R với R là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ

Diện tích mặt cầu $S=4{\mathrm{\pi R}}^2$

Diện tích xung quanh của hình trụ là: $S_{xq}=2\mathrm{\pi Rh}=2\mathrm{\pi R}.2\mathrm{R}=4{\mathrm{\pi R}}^2$.

Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ là:

 $\frac{S}{S_{xq}}=\frac{4{\mathrm{\pi R}}^2}{4{\mathrm{\pi R}}^2}=1.$

Chú ý: Một số em có thể tính nhầm mối quan hệ giữa đường cao với bán kính của hình trụ h = R dẫn đến ra kết quả sai là D.

Đáp án cần chọn là: C.

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên h = 2R với R là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ

Diện tích mặt cầu $S=4{\mathrm{\pi R}}^2$.

Diện tích toàn phần của hình trụ là: $S_{tp}=S_{xq}+2{\mathrm{\pi R}}^2=4{\mathrm{\pi R}}^2+2{\mathrm{\pi R}}^2=6{\mathrm{\pi R}}^2$

Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ là:

$\frac{S}{S_{tp}}=\frac{4{\mathrm{\pi R}}^2}{6{\mathrm{\pi R}}^2}=\frac{2}{3}$.

Đáp án cần chọn là: A

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên h = 2R với R là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ

Thể tích hình cầu $V_C=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi R}}^3$;

Thể tích khối trụ $V_t={\mathrm{\pi R}}^2.2\mathrm{R}=2{\mathrm{\pi R}}^3$

Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là

$\frac{V_C}{V_t}=\frac{{\displaystyle \frac{4}{3}}{\mathrm{\pi R}}^3}{2{\mathrm{\pi R}}^3}=\frac{2}{3}$.

Chú ý: Một số em có thể tính nhầm thành tỉ số giữa thể tích khối trụ và thể tích khối cầu dẫn đến ra đáp án sai là B.

Đáp án cần chọn là: B.

Từ đề bài suy ra chiều cao của hình trụ là h = 3R với R là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ

Thể tích hình cầu $V_C=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi R}}^3$;

Thể tích khối trụ $V_t={\mathrm{\pi R}}^2.3\mathrm{R}=3{\mathrm{\pi R}}^3$.

Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là

$\frac{V_C}{V_t}=\frac{{\displaystyle \frac{4}{3}}{\mathrm{\pi R}}^3}{3{\mathrm{\pi R}}^3}=\frac{4}{9}$.

Chú ý: Một số em có thể tính nhầm thành tỉ số giữa thể tích khối trụ và thể tích khối cầu dẫn đến ra đáp án sai là C.

Đáp án cần chọn là: C

Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu R = $\frac{a}{2}$ với a là cạnh hình lập phương

Khi đó ta có diện tích mặt cầu $S=4{\mathrm{\pi R}}^2=4\mathrm{\pi }{\left(\frac{\mathrm{a}}{2}\right)}^2={\mathrm{\pi a}}^2$

Diện tích toàn phần của hình lập phương $S_{td}=6a^2$

Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình lập phương là

$\frac{S}{S_{tp}}=\frac{{\mathrm{\pi a}}^2}{6a^2}=\frac{\mathrm{\pi }}{a}$

Chú ý: Một số em có thể quên mất số $\mathrm{\pi }$ trong khi tính diện tích mặt cầu nên ra tỉ số sai là $\frac{1}{6}$ dẫn đến chọn đáp án B sai.

Đáp án cần chọn là: A

Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu R = $\frac{a}{2}$ với a là cạnh hình lập phương

Diện tích toàn phần của hình lập phương $S_{tp}=6a^2=24\iff a=2cm.$

Suy ra R = $\frac{2}{2}$ = 1cm

Khi đó ta có diện tích mặt cầu $S=4{\mathrm{\pi R}}^2=4\mathrm{\pi }.1^2=4\mathrm{\pi }\left({\mathrm{cm}}^2\right)$.

Chú ý: Một số em có thể quên mất số 4 trong khi tính diện tích mặt cầu nên chọn đáp án B sai.

Đáp án cần chọn là: A.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đường kính BC

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R = $\frac{BC}{2}$.

Theo định lý Pytago ta có $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=2a^2\Rightarrow BC=a\sqrt{2}\Rightarrow R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC ta được hình cầu có bán kính $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ nên diện tích mặt cầu là

$S=4{\mathrm{\pi R}}^2=4\mathrm{\pi }{\left(\frac{\mathrm{a}\sqrt{2}}{2}\right)}^2=2{\mathrm{\pi a}}^2$

Chú ý: Một số em có thể sử dụng sai công thức diện tích mặt cầu $S={\mathrm{\pi R}}^2$ nên chọn đáp án B sai.

Đáp án cần chọn là: A.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đường kính BC

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R = $\frac{BC}{2}$.

Theo định lý Pytago ta có $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=2.6^2\Rightarrow BC=6\sqrt{2}$

$\Rightarrow R=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$.

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC ta được hình cầu có bán kính $R=3\sqrt{2}$ nên diện tích mặt cầu là

$S=4{\mathrm{\pi R}}^2=4\mathrm{\pi }{\left(3\sqrt{2}\right)}^2=72\mathrm{\pi }\left({\mathrm{cm}}^2\right)$.

Chú ý: Một số em có thể sử dụng sai công thức diện tích mặt cầu $S={\mathrm{\pi R}}^2$ nên chọn đáp án B sai.

Đáp án cần chọn là: C.

Vì ABC là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm O của tam giác

Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp R = OH = $\frac{AH}{3}$

Xét tam giác vuông ABH có: $A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2=a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Suy ra R = $\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH ta được hình cầu bán kính R = $\frac{a\sqrt{3}}{6}$ $\Rightarrow$ V = $\frac{4}{3}{\mathrm{\pi R}}^3=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{\left(\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{6}\right)}^3=\frac{\sqrt{3}{\mathrm{\pi a}}^3}{54}$

Chú ý: Một số em có thể nhớ sai công thức thể tích hình cầu thành $V={\mathrm{\pi R}}^3$ dẫn đến tính toán ra đáp án B sai.

Đáp án cần chọn là: D.

Vì ABC là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm O của tam giác

Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp R = OH = $\frac{AH}{3}$

Xét tam giác vuông ABH có: $A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2={12}^2-{\left(\frac{12}{2}\right)}^2=108$.

 $\Rightarrow AH=6\sqrt{3}$.

Suy ra R = $\frac{AH}{3}=6\sqrt{3}$.

Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH ta được hình cầu bán kính $R=2\sqrt{3}\Rightarrow V=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi R}}^3=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{\left(2\sqrt{3}\right)}^3=32\mathrm{\pi }\sqrt{3}\left({\mathrm{cm}}^3\right)$.

Chú ý: Một số em có thể nhớ sai công thức thể tích hình cầu thành $V={\mathrm{\pi R}}^3$ dẫn đến tính toán ra đáp án C sai.