Đáp án đúng là: B

Vì tứ giác \[ABCD\] là tứ giác nội tiếp nên

\(\widehat {BDC} = \widehat {BAC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[BC\])

\(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp)

\(\widehat {DCB} = \widehat {BAx}\) (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó)

Vậy ba phương án A, B, C đều đúng, phương án D sai.

Đáp án đúng là: C

Hình 1: Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat A + \widehat C = 115^\circ + 75^\circ = 190^\circ \ne 180^\circ \) nên không phải tứ giác nội tiếp.

Hình 2: Tứ giác \(EFGH\) có \(\widehat F + \widehat H = 85^\circ + 92^\circ = 177^\circ \ne 180^\circ \) nên không phải tứ giác nội tiếp.

Hình 3: Tứ giác \(MNPQ\) có các đỉnh nằm trên đường tròn \(\left( O \right)\) nên là tứ giác nội tiếp.

Hình 4: Tứ giác \(IKSR\) chỉ số đo của góc \(K\) nên chưa đủ điều kiện để kết luận tứ giác nội tiếp hay không.

Vậy Hình 3 là tứ giác nội tiếp.

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\widehat {DBO} = 90^\circ \) và \[\widehat {DFO} = 90^\circ \] (tính chất tiếp tuyến)

Tứ giác \[OBDF\] có \(\widehat {DBO} + \widehat {DFO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Vậy tứ giác \[OBDF\] là tứ giác nội tiếp.

Đáp án đúng là: C

Tứ giác \[ABCD\] nội tiếp nên có :

\(\widehat {DAB} + \widehat {BCD} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BCD} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).

Mà \(\widehat {BCD} + \widehat {BCM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Vậy \(\widehat {BCM} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).

Đáp án đúng là: B

Ta có

\[BD\] và \[CE\] là đường cao của tam giác \[ABC\] nên \(\widehat {BDC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \).

Suy ra tam giác \(BDC\) vuông tại \[D\] và tam giác \(BEC\)vuông tại \(E\).

Suy ra 4 điểm \(B,D,C,E\) cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

Suy ra \(BEDC\) là tứ giác nội tiếp.

Điểm \(D\) nằm trên \(AC\) nên \(ADCB\) không phải là hình tứ giác.

Xét tứ giác \(AHBC\) có:

\(\widehat {HAC} = \widehat {HAD} < 90^\circ \) (do tam giác \(HAD\) vuông tại D)

\(\widehat {HBC} = \widehat {DBC} < 90^\circ \) (do tam giác \(BDC\) vuông tại D)

Suy ra \(\widehat {HAC} + \widehat {HBC} < 180^\circ \).

Vậy tứ giác \(AHBC\) không là tứ giác nội tiếp.

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Lại có: \(BC \bot CP\) hay \(\widehat {BCP} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {AMB} + \widehat {BCP} = 180^\circ \).

Nên \[\widehat {PMA} + \widehat {PCA} = 180^\circ \].

Do đó tứ giác \[PMAC\] là tứ giác nội tiếp.

Đáp án đúng là: D

Vì \[AC\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] nên \(OA \bot AC\) hay \(\widehat {OAC} = 90^\circ \).

Vì \[MC\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] nên \(OM \bot MC\) hay \(\widehat {OMC} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {OAC} + \widehat {OMC} = 180^\circ \). Do đó \[OACM\] là tứ giác nội tiếp.

Vì \[BD\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] nên \(OB \bot BD\) hay \(\widehat {OBD} = 90^\circ \)

Vì \[MD\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] nên \(OM \bot MD\) hay \(\widehat {OMD} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {OBD} + \widehat {OMD} = 180^\circ \). Do đó \[OMDB\] là tứ giác nội tiếp.

Vậy đáp án D sai.

Đáp án đúng là: B

Xét đáp án A, ta thấy:

\(\widehat A + \widehat C = 50^\circ + 130^\circ = 180^\circ \)

\(\widehat B + \widehat D = 60^\circ + 140^\circ = 200^\circ \)

Vậy tứ giác \[ABCD\] trong đáp án A không là tứ giác nội tiếp

Xét đáp án B, ta thấy:

\(\widehat A + \widehat C = 65^\circ + 115^\circ = 180^\circ \)

\(\widehat B + \widehat D = 85^\circ + 95^\circ = 180^\circ \)

Vậy tứ giác \[ABCD\] trong đáp án B là tứ giác nội tiếp.

Xét đáp án C, ta thấy:

\(\widehat A + \widehat C = 82^\circ + 98^\circ = 180^\circ \)

\(\widehat B + \widehat D = 90^\circ + 100^\circ = 200^\circ \)

Vậy tứ giác \[ABCD\] trong đáp án C không là tứ giác nội tiếp.

Đáp án đúng là: A

Xét tứ giác \[AEHF\] có: \(\widehat A = \widehat E = \widehat F = 90^\circ \)

Suy ra tứ giác \[AEHF\] là hình chứ nhật.

Suy ra tứ giác \[AEHF\] là tứ giác nội tiếp (có tổng hai góc đối diện bằng \(180^\circ \)).

Do đó \(\widehat {AFE} = \widehat {AHE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[AE\])

Mà \(\widehat {AHE} = \widehat {ABH}\) (cùng phụ góc \[BHE\])

Suy ra \(\widehat {AFE} = \widehat {ABC}\).

Xét tứ giác \[BEFC\] có: \(\widehat {AFE} = \widehat {ABC}\)

Góc \[AFE\] là góc ngoài tại đỉnh \[F\].

Suy ra \[BEFC\] là tứ giác nội tiếp.

Đáp án đúng là: B

Ta có \[AB\] và \[AC\] là hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra \[AB = AC\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Xét tứ giác \[ABOC\] có:

\(AB = AC\) và \[OB = OC\].

Suy ra tứ giác \[ABOC\] chưa là hình thoi và không là hình bình hành, do đó đáp án A, D sai.

Có \(\widehat {ABO} = 90^\circ \) (do \[AB\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\])

\(\widehat {ACO} = 90^\circ \) (do \[AC\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\])

Suy ra \(\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác \[ABOC\] là tứ giác nội tiếp.

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\widehat {BCE} = \widehat {DCF}\) (hai góc đối đỉnh)

Đặt \(\widehat {BCE} = \widehat {DCF} = x\).

Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có:

\(\widehat {ABC} = \widehat {BCE} + \widehat E = x + 40^\circ \)

\(\widehat {ADC} = \widehat {DCF} + \widehat F = x + 20^\circ \)

Lại có \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp)

Suy ra \(\left( {x + 40^\circ } \right) + \left( {x + 20^\circ } \right) = 180^\circ \) hay \(x = 60^\circ \).

Do đó \(\widehat {ABC} = 60^\circ + 40^\circ = 100^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Tứ giác AHCK có:

\(\widehat {AHC} = 90^\circ \left( {AB \bot CD} \right)\)

\(\widehat {AKC} = 90^\circ \left( {AK \bot FC} \right)\)

Nên \(\widehat {AHC} + \widehat {AKC} = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác \[AHCK\] là tứ giác nội tiếp.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác \[ADB\] có \(\widehat {ADB} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra \[\Delta ADB\] vuông tại \[D.\]

Do đó \[A{D^2} = {\rm{ }}AH \cdot AB\] (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Mà \[AD \ne BD\,;{\rm{ }}AD < AB\] nên phương án A, B, C sai.

Đáp án đúng là: C

Xét \[\left( O \right)\] có \(\widehat {EAC} = \widehat {EDC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung).

Xét tứ giác nội tiếp \[AHCK\] có \(\widehat {KAC} = \widehat {KHC}\) nên \[\widehat {EDC} = \widehat {KHC} = \widehat {KAC}\].

Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \[KH\,{\rm{//}}\,ED\].

Xét tam giác CFD có \[KH\,{\rm{//}}\,ED\] mà \[H\] là trung điểm của \[DC\] (do \[AB \bot DC\]) nên \[L\] là trung điểm của \[CF\].

Xét tam giác \[ACF\] có \[AK\] vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên \[\Delta ACF\] cân tại \[A\].

Đáp án đúng là: D

Do tứ giác \[ABCP\] nội tiếp (vì có 4 đỉnh cùng thuộc đường tròn) và \(\widehat {BAP},\,\,\widehat {BCP}\) là các góc đối nên \(\widehat {BAP} + \widehat {BCP} = 180^\circ & \left( 1 \right)\).

Do \[ABCD\] là hình bình hành nên \[CD\,{\rm{//}}\,AB\], suy ra \(\widehat {ABC} + \widehat {BCP} = 180^\circ & \left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {BAP} = \widehat {ABC}\).

Mặt khác \[CP\,{\rm{//}}\,AB\] nên \[ABCP\] là hình thang cân. Đáp án A đúng.

Từ đó suy ra \[AP = BC & \left( 3 \right)\]. (Đáp án C đúng)

Do \[BC = AD\] (vì \[ABCD\] là hình bình hành). \[\left( 4 \right)\]

Từ \[\left( 3 \right)\] và \[\left( 4 \right)\] ta suy ra \[AP = AD\].

Đáp án B đúng.

Vậy cả ba đáp án A, B, C đều đúng.